음수(수학)
1. 개요
0보다 작은 수. 마이너스(−) 기호를 붙여 나타낸다. 반대말은 양수(陽數). 중국어나 일본어에서는 양수를 정수(正数), 음수를 부수(负数/負数)라 쓴다.
한국의 수학 교과과정에서는 중1 수학에서 처음 소개되며,[1] 이 때 음수의 사칙연산과 크기 비교 방법을 배운다.
- 음수를 더하는 것은 그 반대 부호의 양수를 빼는 것과 같다.
5 + (-3) = 5 - 3 = 2.
- 음수를 빼는 것은 그 반대 부호의 양수를 더하는 것과 같다.
5 - (-3) = 5 + 3 = 8.
- 음수의 곱셈은, 부호 상관 없이 두 수를 곱한 뒤에, 다음 규칙에 따라 부호를 붙인다.
(+) * (+) => (+), (+) * (-), (-) * (+) => (-), (-) * (-) => (+)
- 음수의 나눗셈의 경우에도, 부호 상관 없이 두 수를 나눈 뒤에 곱셈과 동일한 규칙에 따라 부호를 붙인다.
- 음수의 크기는 항상 양수보다 작으며, - 뒤에 오는 값 즉 절대값이 클수록 더 작아진다. -5 < -3.
- 음수를 배움으로서 직선 위에 모든 수를 배치한 수직선(number line)을 생각할 수 있고, 수직선에서 오른쪽으로 갈수록 크기가 커진다는 개념을 생각할 수 있다.
이 중 아마 사람들을 가장 놀라게 하는 부분은 '''음수 곱하기 음수는 양수'''라는 부분일 것이다. 0보다 작은 수끼리 곱했는데 0보다 큰 수가 나온다니! 중1들을 멘붕시키는 이 개념은 중2때 부등식을 처음 배울 때 '''음수를 곱하면 크기가 역전된다''' (즉 $$a<b$$이고 $$c<0$$이면 $$ac>bc$$)는 내용으로 변주되어 또 한번 혼란을 불러일으키게 된다. 그리고 음수 기호가 붙어 있지만 실제로는 양수도 이따금씩 나오곤 한다.[2]
위안이 될지는 모르겠지만, 이걸 곤란해하는 사람들은 요즘의 중1뿐만은 아니었던 듯하다. 작가 스탕달[3]도 자전적 소설에서 “1만 프랑의 빚과 5백 프랑의 빚을 곱하면 어떻게 5백만 프랑의 이익이 된다는 말인가?”라고 했다는 걸 보면... (출처: 네이버캐스트 오늘의 과학 "-1×-1=1인 이유는?") 사실 음수는 그 조작 난이도에 비해선 수학에 상당히 늦게 들어온 편으로, 0과 음수의 개념이 제대로 쓰인 것은 잘 봐줘야 16세기 즈음이다. 심지어는 미적분이 등장할 때에도 음수를 자연스럽게 받아들이지 못하는 수학자들이 있었을 정도로, 그만큼 음수 개념을 받아들이는 것이 동서고금을 막론하고 처음 보는 사람들에겐 난해하다고 생각해도 될 것이다.
물론 요즘에는 처음 배우는 사람들이나 그렇고, 음수는 수학에서라면 어느 분야에서나 의식하기 힘들 정도로 깊게 들어와 있고, 실생활에서도 여러 가지 상황에서 유용하게 쓰이곤 한다.
참고로 음함수와는 전혀 관계 없다.
2. 실생활에서의 활용
음수는 0 밑으로 기준이 필요할 때 사용될 수 있는데, 섭씨 온도에서 영하라던가, 해수면 아래 땅의 해발고도가 음수라던가 등등에서 찾아볼 수 있다. 스포츠에서 점수 등을 나타낼 때 이 방향으로 많이 쓰인다. 골프에서 음수는 기준 타수보다 덜 쳤다는 뜻이며, 전체 스코어로 봤을 때는 언더파에 해당한다. 즉, -3은 기준 타수보다 3타 덜 쳤다는 뜻이다. 축구 리그에서의 골득실차, 다른 리그에서의 세트 득실, 승점 등등에도 음수가 등장한다.
이전과의 차이를 나타낼 때 증가/감소의 구분을, 감소의 경우 음수량으로 나타내어 훨씬 편리하게 나타낼 수 있다. 증가율 -1% = 1% 감소했다 이런 식으로. 이러한 이유로 경제 및 금융 분야에서 마이너스 성장, 마이너스 금리 등등 음수가 잘 튀어나오는 편이다.
전류 항목에도 나와 있지만, 전자의 전하량이 음수로 정의된 것은 역사적으로 전류를 먼저 양에서 음으로 흐르는 방향으로 정의했고, 그 다음에 전자가 발견되어서 일어난 현상이다. 전기 관련을 제외하면 대신에 (개수는 물론이고) 길이나 질량을 포함한 대개의 물리량에는 보통 음수가 사용되지 않는다. 중고등학교의 수학 과목 시험에서는 이를 이용한 '답의 범위줄이기'를 많이 하는 편이다. 물론 '보통'이다 뿐이지 실제로 음의 질량을 갖는 반물질은 아직 발견되지는 않았으나 만약 존재한다면 그 성질에 대해 연구하는 사람들도 있는 등, 음수가 사용될 수도 있는 가능성은 새로운 물리법칙을 나타내는 방식에 따라서 얼마든지 열려 있다.
한자사전에서는 음수의 사용을 금기시하는 풍조가 있다. 부수에서 획이 빠진 글자[4]는 0획으로 표기하거나, 아예 엉뚱한 부수로 할당하는 경우가 대다수이다.
3. 음수의 역사
지금은 이렇게 유용하게 쓰이는 음수이지만, 근대 이전 대부분의 사람들에게는 음수는 상상조차 할 수 없는 개념이었다.
고대문명 시절에는 말할 것도 없었고, 수학이 추상적으로도 발달하기 시작한 고대 그리스 수학에서도 작은 수에서 큰 수를 빼는 것은 금지되어 있었다. 방정식의 해가 양수에서 나오지 않으면 그 방정식은 의미가 없는 것이었다. 마치 초등학교 교과에서 음수의 정석적인 취급인 존재의 부정을 생각해보면 얼추 비숫할 것이다. 수를 대수학적으로 생각하기보다는 도형들과 그 비율에 결부시키는 것을 선호한 그리스 사람들의 입장에서는 음수를 더욱 생각해내기 힘들었을 수도 있었을 것이다. 뭐 그 당시에는 0도 존재하지 않았던 시절이었으니 말이다.
중화권을 제외하면 0과 음수의 개념은 고대 대수학이 시작되었다고 할 수 있는 인도 수학, 아라비아 수학에서 처음 나타났고 시도되었다. 7세기 브라마굽타가 발견한 이차방정식의 근의 공식은 양수/음수해를 가리지 않는 통합적인 공식을 제공하고 브라마굽타는 여기서 음수해까지 논의하는 모습을 보인다. 하지만 이후의 알콰리즈미의 저서에서는 음수를 인정하지 않고, 또 이후의 기록에선 음수가 등장하는 등 오락가락한다.
이 시절 음수가 없었을 때에도 방정식의 이론은 계속 발전했지만 사용하기는 꽤 불편했다. 이차방정식의 예를 들어보면, 음수를 잘 아는 현대인은 모든 이차방정식을 $$x^2 + ax + b = 0$$의 형태로 나타내어 (최고차항 계수는 나눈다고 한다면) 근의 공식을 쓸 수 있다. 하지만 음수를 생각하지 않는다면 $$x^2 + ax = b$$, $$x^2 = ax + b$$, $$x^2 + b = ax $$ (여기서 $$a,b$$는 모두 양수) 이 셋은 서로 다른 방정식이다. 음수를 고려하지 않으면 다른 식으로 변형을 할 수 없기 때문이다. 즉 공식 3개를 따로 풀어야 했던 것이다. (알콰리즈미 항목도 참고하면 좋다.) 유럽 수학자들의 16세기의 방정식 풀기 대결의 주제였던 3차방정식의 경우는 더욱 심각했다. 누구는 $$x^3 + ax = b$$ 꼴은 잘 푸는데 $$x^3 = ax + b$$ 꼴은 손도 대지 못하고, 또 다른 누구는 반대로 저건 푸는데 다른건 못 풀고, 이런 식이었다. 현대수학 입장에서 보면 당췌 이해할 수 없는 대환장파티가 음수 하나가 없어서 일어났던 것이다. 심지어는 타르탈리아의 공식을 갖다 베껴서 이 3차방정식 배틀을 종결시킨 카르다노도 이 한계에서 벗어나지는 못해서, 3차방정식을 13개 유형으로 분류해 풀이법을 써야 했다. 지금으로는 공식 하나로 끝날 내용을 말이다.
하지만 카르다노의 3차방정식 풀이법이 담긴 <위대한 술법(Ars Magna)>은 (비록 계수는 양수만 생각했지만) 풀이의 중간과정에서는 음수를 사용하여 음수를 수학의 주무대로 드디어 끌어왔다는 데에 의미가 있었다. 복소수 항목에도 언급되어 있지만 카르다노는 이 저서에서 심지어 음수의 제곱근까지 등장시키는 대인배적 모습을 보인다. 지금의 관점에서 보면 고대부터 여태까지 3차방정식을 푸는 동안 음수가 제대로 등장하지 않은 것이 기가 차긴 하지만, 그만큼 유럽 수학자들이 음수를 받아들이는 건 이 이후에도 매우 힘든 과정이었다. 그 카르다노도 25년 뒤 "음수 곱하기 음수가 양수라는 것은 양수 곱하기 양수가 음수가 된다는 것보다 더 틀린 말이다"라는 개드립을 친 걸 보면... 그래도 데카르트의 해석기하학과 뉴턴, 라이프니츠의 미적분학 등등 음수와 수직선의 개념이 자연스럽게 쓰이는 상황이 늘어나면서 수학자들은 음수에 조금씩 가까워지기 시작했고, 실수에 대한 대수학적, 형식적인 태도가 정립된 후에야 비로소 주류수학자들은 더 이상 음수의 의미에 대해서 의심하지 않게 된다.
어찌 보면 음수가 어쩔 수 없이 필요할 정도로 수학이 발전한 후에야 사람들이 음수를 인정했다고 생각할 수도 있겠지만, 서양과는 다르게 흥미롭게도 중화권의 경우에는 무려 3세기의 구장산술부터 음수의 개념이 사용되었다. 빚과 자산을 양음으로 나타내는 현실적인 쓰임새 뿐만 아니라, 등식에서의 이항을 활용하는 부분처럼 추상적 표현으로서의 음수 활용도 등장한다. 여기서는 양수를 빨간 산가지, 음수를 검은 산가지로 표시하였는데 이는 현대에 정리된 흑자와 적자의 네이밍과는 반대이다. 물론 음수끼리의 곱셈 같은 내용은 어디에도 나와 있지 않는 등 수 체계로서 음수를 완벽하게 규정했다고 보기는 어렵다. 방정식은 수치적으로 잘 풀었지만 형식주의적인 기호대수는 결국 생각해내지 못했던 산학 특유의 한계점의 연장선상으로 볼 수도 있을 것이다.
4. 음수 곱하기 음수는 왜 양수일까?
정말 원론적인 이유는 그렇게 하라고 정했기 때문이긴 하다. 다시 말해서 음수 곱하기 음수가 무조건 양수가 되어야 하는 이유는 어디에도 없다. 음수 곱하기 음수가 음수인 수학의 세계를 만드는 것도 불가능하지 않다. 그러나 그런 수학은 매우 복잡해지며, 역시 '음수 곱하기 음수는 양수'로 약속하는 편이 제일 속이 편하다.
수나 연산법칙이 확장되는 과정은 보통 '기존의 법칙을 잘 만족시키며 일반화할 수 있는 체계'를 목표로 한다. 고상하게 말하면 수학교육학 동네에서 Peacock의 "형식 불역의 원리"(principle of the performance of equivalent forms)라 부르는 이름이 있긴 하지만 [5] 그게 중요한 건 아니고, 간단히 말하면 '''결합법칙, 교환법칙, 분배법칙을 비롯한 사칙연산의 성질은 음수에 대해서도 성립해야 한다'''는 것이다. 이것을 고려하면 분배법칙을 이용해 $$(-1) \times (-1)=1$$을 다음처럼 이해할 수 있다. 만약 $$1 + (-1) = 0$$이 맞다면, 1을 곱하면 $$1 \times 1 + (-1) \times 1 = 0$$이다. 한편 -1을 곱하면 $$ (-1) \times 1 + (-1) \times (-1) = 0$$이다. 둘을 비교하면 $$(-1) \times (-1)=1 \times 1 = 1$$일 수밖에 없다. [6]
하지만 이 형식적 설명만 갖고는 학생들에게는 별로 도움이 되지 못한다. 그렇다고 음수에 대한 직관적 모형을 생각하자니, 보통 쉽게 떠올리는 생각하는 음수에 대한 직관적인 모형인 자산과 부채 혹은 수직선의 왼쪽 둘다 음수의 곱셈을 설명하긴 매우 곤란하다. 이 문제 때문에 (음수)*(음수)=(양수)를 설명하는 건 은근히 골때리는 문제로, 두 가지를 조화시키기 위해 수학교사들은 지금도 수많은 노력을 하고 있다.
가장 직관적인 설명은 복소평면을 이용하는 것이다. 허수단위 [math(i)]에 대해서 $$i^2 = -1$$이 성립하고, $$i$$를 곱하면 좌표가 원점 기준 반시계 방향으로 90도 회전하는 성질을 이용하면 $$(-1) \times (-1) = (-1)\times i \times i = 1$$이 성립함을 보일 수 있다.
[image]
네이버캐스트 오늘의 과학 "-1×-1=1인 이유는?"
동 캐스트의 질의응답. 여러 가지 방법들이 잘 정리되어 있다
[1] 6차 교육과정에서는 초6 과정에 음의 정수를 소개하였으나, 7차 교육과정 이후로 중1 과정에서 음수를 유리수와 같이 처음 설명하는 것으로 변경되어 현재까지 이어지고 있다.[2] 대표적으로 $$-\ln \dfrac{1}{2}$$. 로가리듬을 배웠다면 알겠지만 '''밑이 1보다 큰 수, 진수가 0과 1 사이의 수인 로그값은 음수값을 띠므로''', 여기에 $$-1$$을 곱함으로써 결과적으로는 양수가 되는 것이다. 이외에도 $$-\sin 4, -\cos 3$$ 같은 것들이 있다.[3] 적과 흑의 그 스탕달 맞다.[4] 王, 烏, 了 등[5] 형식불역의 원리의 다른 예로는 중2 과정에 나오는 지수의 확장을 적용하는 방식이 있다.[6] 이 설명도 엄밀하지 않다고 느껴지는 수학 전공자들은 수 체계 항목에서 정수의 구성방법을 참고해도 좋다. 다만 수학 전공자가 아닌 이상에야 전혀 쓸모없는 내용임을 감안하자.