원기둥

1. 개요

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'''원기둥(Cylinder)'''는 두 밑면이 합동 관계의 원이고, 한 밑면의 원주에서 다른 밑면까지의 가장 가까운 점까지의 선분을 포함한 3차원 입체도형이다. 이때, 해당 선분들의 집합은 원기둥의 옆면을 생성한다.
원기둥은 한 축을 중심으로 직사각형을 1회전하여 얻을 수 있는 회전체의 일종이다. 그렇기 때문에 원기둥의 회전축과 평행한 평면으로 잘라내면 그 단면으로 직사각형을 얻고, 회전축과 수직인 평면으로 잘라내면 그 단면으로 원을 얻는다.
이 문서에서는 직원기둥에 대한 분석을 주력적으로 하였다. 따로 표기하지 않는 이상은 직원기둥에 대한 것이다.

2. 상세

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2.1. 원기둥의 구성 요소

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• 밑면: 원기둥에서 서로 합동인 두 원. 위 그림에서는 반지름의 길이가 $$r$$인 원 두 개가 밑면이다.[1]
• 옆면: 원기둥에서 두 밑면을 감싸는 곡면.
• 높이: 원기둥에서 두 밑면 사이의 거리이다. 위 그림에서는 $$h$$이다.

2.2. 원기둥의 전개도

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위 그림과 같이 옆면에 해당하는 직사각형 1개와 두 밑면에 해당하는 원 2개로 구성되어 있다. 해당 전개도로 밑면의 반지름의 길이가 $$r$$이고, 높이가 $$h$$인 원기둥을 만들 수 있다.
직사각형의 가로 길이는 곧 원을 감싼다는 것에 착안하면, $$l=2\pi r$$이 되어야 함을 쉽게 추측할 수 있다.

2.3. 원기둥의 겉넓이와 부피

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2.3.1. 겉넓이

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이것은 곧 위의 전개도의 넓이와 같으므로

$$\displaystyle 2 \cdot \pi r^{2}+2\pi r \cdot h=2\pi r(r+h) $$[2]

[1] '밑에 있는 면만이 밑면이고 위에 있는 면은 윗면(...)'이라고 생각해서는 안 된다. 두 원이 모두 밑면인 것이다.

[2] 우변의 형태로 만들어지는 원리에 대해서는 인수분해 문서 참조.

이다. $$2 \pi r =l$$임을 상기하면 이것을

$$\displaystyle l(r+h) $$

으로도 나타낼 수 있다.

2.3.2. 부피

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원기둥의 부피는 밑면의 넓이와 높이의 곱과 같다. 즉,

$$\displaystyle \pi r^{2}h $$

임을 알 수 있다.

2.4. 공간 좌표 상에서의 원기둥

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공간 좌표 상에서 방정식을 통하여 원기둥은 두 밑면은 표현하지 못하고, 높이가 무한한 옆면만을 표현할 수 있다.
$$z$$축이 회전축인 원기둥을 고려해보자. 원기둥을 $$z=k$$평면으로 자르면, 밑면의 반지름의 길이 $$r$$이 나오므로

$$z = x^2+y^2-r^{2} $$

로 쓸 수 있다.
식이 왠지 익숙한데, 원의 방정식이 저기서 $$z=0$$인 경우이다.

3. 기타

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• 구식 용어로 원기둥은 원통으로 부르기도 한다.
• 보통 한국 교육과정 상에서는 위에서 다뤘던 직원기둥 만을 다룬다. 위에서 다룬 공식들도 당연히 직원기둥에만 적용되는 것. 하지만 원뿔과 마찬가지로 모든 원기둥이 직원기둥일 필요는 없으며, 윗면과 밑면이 수직 위아래로 있지 않고 살짝 비껴가 있으면 빗원기둥이 된다.
• 쌍대(dual)는 쌍원뿔이다.
• 좌표계 중에 원기둥 형태의 좌표계가 있는데, 반지름과 각도와 높이로 구성된다. HSB 색좌표가 실 사용 예 중 하나.
• 정육면체, 구와 함께 미술 소묘할 때의 기본적인 도형이다.
• 통나무집은 대부분 이렇게 생긴 나무를 쌓아서 만든다.

4. 관련 문서

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• 수학 관련 정보
• 기하학