자기 쌍극자 모멘트

1. 개요

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'''Magnetic dipole moment'''
자기장 속에서 토크의 크기를 결정짓는 물리량을 '''자기 쌍극자 모멘트'''라 한다. 여기서 자기 쌍극자란, 'N극과 S극을 갖는 작은 물체'를 말한다. 쉽게 생각하면 극히 작은 막대자석이라 생각하면 된다.
전류 고리 또한 자기장을 생성함에 따라 자기 쌍극자 모멘트를 생각해줄 수 있다.
전류 $$ I $$가 흐르는 전류 고리에 대해 자기 쌍극자 모멘트 $$ \mathbf{m} $$의 크기는

$$ \displaystyle m=IA $$

로 전류와 고리의 면적 $$ A $$을 곱한 값이며, 방향은 오른손 법칙을 따른다. 아래 그림을 참조한다.

여담으로 대부분 전자기학을 배우기 전의 학부 수준 이하에서는 사각 전류고리를 일정한 자기장 영역에 넣었을 때 받는 돌림힘을 구하면서 자기 모멘트를 정의하는 것이 일반적이다.

2. 자기 퍼텐셜의 다중극 전개

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그림과 같이 폐곡선에 시계방향으로 선형 전류 $$ I $$가 흐르는 것을 고려해보자.[1]

폐곡선에 흐르는 선형 전류이므로 점 $$\textrm{P}$$에서 자기 퍼텐셜은 아래와 같이 나온다.

$$ \displaystyle \mathbf{A}(\mathbf{r}) =\frac{\mu_0 I}{4\pi} \oint \frac{1}{\xi}\, d \mathbf{l'} $$

[1] 여기서는 선형 전류에 대해서만 논의하고 일반적인 전류밀도를 갖는 경우는 학부 ~ 대학원 수준이므로 결론 도출만 하도록 하겠다.

이때, $$ \boldsymbol{\xi}=\mathbf{r}-\mathbf{r'} $$임을 이용하면,

$$ \displaystyle \xi^{-1}=(r^{2}+r'^{2}-2rr' \cos{\theta})^{-1/2} $$

이다. 이때, $$ r\gg r' $$라면, 이것을 르장드르 다항식의 생성함수 꼴로 전개할 수 있다.

$$ \displaystyle (r^{2}+r'^{2}-2rr' \cos{\theta})^{-1/2}=\frac{1}{r}\sum_{n=0}^{\infty } \left ( \frac{r'}{r} \right )^{n} P_{n}(\cos{\theta})= \sum_{n=0}^{\infty } \frac{{r'}^{n}}{r^{n+1}} P_{n}(\cos{\theta}) $$

이상에서 자기 퍼텐셜은

$$ \displaystyle \mathbf{A}(\mathbf{r}) =\frac{\mu_0 I}{4\pi} \oint \left [ \sum_{n=0}^{\infty } \frac{{r'}^{n}}{r^{n+1}} P_{n}(\cos{\theta}) \right ]\, d \mathbf{l'} $$

로 전개된다. 따라서

$$ \displaystyle \mathbf{A}(\mathbf{r}) =\frac{\mu_0 I}{4\pi} \left [\frac{1}{r} \oint \,d{\mathbf{l'}} +\frac{1}{r^2} \oint r' \cos{\theta}\,d{\mathbf{l'}}+\frac{1}{r^3} \oint \,r'^{2}\left ( \frac{3}{2}\cos^{2}{\theta}-\frac{1}{2} \right )\,d{\mathbf{l'}}+\cdots \right ] $$

가 된다. 이때, 첫째 항부터 홀극항, 쌍극자항, 사극자항, $$ \cdots $$, $$ 2^{n-1} $$극자항이라 부른다.
이때, 자기홀극은 존재하지 않으므로 1항은 없어지며[2] 우리가 논의할 대상은 자기 쌍극자이므로 이제부터는 제 2항만 갖고 논의한다. 제 2항은 그림을 참고하면, 아래와 같이 바꿀 수 있다.

$$ \displaystyle \mathbf{A}(\mathbf{r}) =\frac{\mu_0 I}{4\pi}\frac{1}{r^2} \oint r' \cos{\theta}\,d{\mathbf{l'}}=\frac{\mu_0 I}{4\pi}\frac{1}{r^2} \oint (\hat{\mathbf{r}} \cdot \mathbf{r'})\,d{\mathbf{l'}} $$

[2] 폐곡선에 대한 선적분이므로 1항은 어떤 이유라도 상쇄된다.

이것에 대해 수학적 처리[3]를 하면,

$$ \displaystyle \mathbf{A}(\mathbf{r}) =\frac{\mu_0 I}{4\pi}\frac{1}{r^2} \oint (\hat{\mathbf{r}} \cdot \mathbf{r'})\,d{\mathbf{l'}}=\frac{\mu_0 }{4\pi}\frac{1}{r^2}\left ( I \int d \mathbf{a} \right ) \times \hat{\mathbf{r}} $$

[3] 스토크스 정리를 적용한다

로 쓸 수 있다. 여기서 $$ d \mathbf{a} $$는 미소 벡터 넓이이다.
위에서 나온

$$ \displaystyle I \iint d \mathbf{a} =I\mathbf{a} \equiv \mathbf{m} $$

을 자기 쌍극자 모멘트라 정의한다. 이때, 벡터넓이의 방향은 오른손 법칙을 따른다.
위의 경우는 가장 간단한 선형 전류에 대한 논의였고, 일반적인 전류밀도 $$ \mathbf{J}(\mathbf{r'}) $$를 가지는 계에 대한 자기 쌍극자 모멘트는

$$ \displaystyle \mathbf{m}=\frac{1}{2} \int \mathbf{r'} \times \mathbf{J}(\mathbf{r'}) \,dV' $$

가 된다. 다만, 선형 전류에 비해선 증명하기 꽤 까다로우며, 이것은 위키러들의 몫으로 남겨둔다.

3. 자기 쌍극자의 물리량

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3.1. 퍼텐셜과 자기장

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위의 논의에서 자기 쌍극자에 의한 자기 퍼텐셜은

$$ \displaystyle \mathbf{A}(\mathbf{r}) =\frac{\mu_0 }{4\pi}\frac{1}{r^2}\left ( I \iint d \mathbf{a} \right ) \times \hat{\mathbf{r}}=\frac{\mu_0 }{4\pi}\frac{\mathbf{m} \times \hat{\mathbf{r} }}{r^2} $$

이 됨을 알 수 있고, 자기 퍼텐셜과 자기장 사이 관계는

$$ \displaystyle \mathbf{B}=\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A} $$

이므로

$$ \displaystyle \mathbf{B} =\frac{\mu_{0}}{4\pi r^{2}}\left [ 3(\mathbf{m}\cdot \hat{\mathbf{r}})\hat{\mathbf{r}}-\mathbf{m} \right ] $$

전기 쌍극자가 만드는 전기장과 유사한 결과를 얻었음을 알 수 있다. 증명은 아래와 같다.

<^|1>원점에 놓이고, $$ \hat{\mathbf{z}} $$ 방향의 자기 쌍극자 $$ \mathbf{m}=m\hat{\mathbf{z}} $$를 고려해보자. 위의 논의에서 자기 퍼텐셜은 $$ \displaystyle \mathbf{A}=\frac{\mu_0 }{4\pi}\frac{\mathbf{m} \times \hat{\mathbf{r} }}{r^2} $$이었다.구면 좌표계에서 이 문제를 생각하며, $$ \displaystyle \hat{\mathbf{z}}=\cos{\theta}\hat{\mathbf{r}}-\sin{\theta}\hat{\boldsymbol{\theta}} $$을 이용하면, $$ \displaystyle \mathbf{A}=\frac{\mu_0 }{4\pi}\frac{m\sin{\theta} }{r^2} \hat{\boldsymbol{\phi}} $$이다. 이때, 자기장 $$ \mathbf{B} $$은 자기 퍼텐셜 $$ \mathbf{A} $$의 회전 $$ \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A} $$로 주어지므로 $$ \displaystyle \mathbf{B}=\frac{\mu_0 m}{4\pi} \frac{2\cos{\theta}\,\hat{\mathbf{r}}+\sin{\theta}\,\hat{\boldsymbol{\phi}} }{r^3} $$ 이때, 위 식을 다시 쓰면, $$ \displaystyle \mathbf{B}=\frac{\mu_0 m}{4\pi}\frac{3\cos{\theta}\,\hat{\mathbf{r}}-( \cos{\theta}\,\hat{\mathbf{r}}-\sin{\theta}\,\hat{\boldsymbol{\phi}})}{r^3} $$ 다음을 고려하면, $$ \displaystyle \hat{\mathbf{z}}=\cos{\theta}\hat{\mathbf{r}}-\sin{\theta}\hat{\boldsymbol{\theta}},\,\,\,\,\, \mathbf{m}=m\hat{\mathbf{z}},\,\,\,\,\,\displaystyle m\cos{\theta}=\mathbf{m} \cdot \hat{\mathbf{r}} $$아래와 같은 결과를 얻는다. $$ \displaystyle \mathbf{B}=\frac{\mu_{0}}{4\pi r^{3}}\left [ 3(\mathbf{m}\cdot \hat{\mathbf{r}})\hat{\mathbf{r}}-\mathbf{m} \right ] $$

자기 쌍극자가 형성하는 자기력선은 아래와 같다. 전류 고리가 극히 작아진 것이라 생각하면 쉽게 이해할 수 있다.

3.2. 힘과 돌림힘, 에너지

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자기 쌍극자가 자기장 내에서 받는 힘은 아래와 같이 표현된다.

$$ \displaystyle \mathbf{F}=(\mathbf{m} \cdot \boldsymbol{\nabla}) \mathbf{B} $$

자기 쌍극자 모멘트가 일정한 자기장 $$ \mathbf{B} $$ 속에 놓이게 되면, 돌림힘을 받게 되며, 아래와 같이 표현된다.

$$ \displaystyle \displaystyle \boldsymbol{\tau}=\mathbf{m} \times \mathbf{B} $$

자기 쌍극자 모멘트가 일정한 자기장 $$ \mathbf{B} $$ 속에 놓였을 때, 가지는 에너지는

$$ \displaystyle U=-\mathbf{m} \cdot \mathbf{B} $$

가 된다.

4. 자화 밀도

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5. 관련 문서

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• 물리학 관련 정보
• 자기장
• 자기장 세기
• 다중극 전개