자기장 세기
1. 개요
'''Magnetic field intensity'''
전기장에서 물질의 효과를 고려한 전기 변위장을 도입했듯, 자기장에서도 자화 물질의 효과를 고려한 새로운 장을 생각할 필요가 있어 나오게 된 물리량이다.
매질의 자화와 관계없이 정의할 수 있으며 매질 외부에서 실험적으로 조절하는 것이 간단하다. 실험적 편의 때문인지 전기 변위장과는 비교도 할 수 없을 만큼 자주 언급된다.
기호로는 $$\mathbf{H}$$로 나타내며, 단위는 $$\textrm{A/m}$$가 된다. $$\mathbf{B} = \mu \mathbf{H}$$라는 관계가 성립한다. (단, $$\mu$$는 매질의 투자율, $$\mathbf{B}$$는 자기장이다.)
$$\mathbf{H}$$라는 표기는 1873년 맥스웰의 저서 《전기자기론(A Treatise on Electricity and Magnetism)》에서 유래하였다.
로마자 기호를 따라 '$$\mathbf{H}$$-field'라고 부르기도 한다. 마찬가지로 다른 주요장인 자기장, 전기장, 전기 변위장도 편하게 $$\mathbf{B}$$-field, $$\mathbf{E}$$-field, $$\mathbf{D}$$-field라고 부르기도 한다.
명칭에 대한 논쟁이 있다. $$\mathbf{B}$$-field를 자기장이라 부르는 사람과 $$\mathbf{B}$$-field 대신 $$\mathbf{H}$$-field를 자기장이라 부르는 사람이 있다. $$\mathbf{H}$$-field를 자기장이라 부르는 사람들은 $$\mathbf{B}$$-field를 '자속밀도'나 '자기 유도'라 표현한다. 맥스웰도 《전기자기론》에서 $$\mathbf{B}$$-field를 자기 유도(magnetic induction)라 부르고 $$\mathbf{H}$$-field를 자기장(magnetic field)이라고 불렀다. 반대로 $$\mathbf{B}$$-field만을 자기장이라 부르는 게 타당하고 $$\mathbf{H}$$-field는 다르게 불러야 한다고 주장하는 사람들은 $$\mathbf{B}$$-field를 '자속밀도'나 '자기 유도'라 부르는 것을 매우 싫어한다. 해당 표현들은 이미 다른 의미로도 사용되고 있기 때문이다.
일반적으로는 $$\mathbf{B}$$-field와 $$\mathbf{H}$$-field 둘 모두를 자기장이라고 통용해서 부른다. 이 때문에 위키피디아에서도 Magnetic field를 검색하면 $$\mathbf{B}$$-field와 $$\mathbf{H}$$-field를 모두 서술하고 있다. 어쨌든 $$\mathbf{B}$$-field와 $$\mathbf{H}$$-field는 서로 다른 물리량이며, 용어의 혼선이 있을 수 있기 때문에 주의하여야 한다. 심지어 이 용어의 혼선 때문에 맥스웰조차도 계산 실수를 한 적이 있다!
$$\mathbf{H}$$-field에 대해 한국어로는 '자기 강도', '자계 강도', '자계 세기', '보조장' 등으로, 원어도 'Magnetic field intensity', 'Magnetic field strength', 'Auxiliary magnetic field', 'Magnetic field'[1] 등으로 다양한 명칭이 쓰이고 있다. 여기서는 가장 통용되는 'Magnetic field intensity'를 택했으며, 번역명은 한국물리학회가 2016년에 발행한 용어집에 따랐다.
별 말이 없는 이상 이 문서는 정자기학의 자기장 세기를 다룬다.
2. 상세
2.1. 자화 밀도
어떤 물질에 자화가 일어나면, 물질 내에 있는 자기 쌍극자는 외부 자기장 방향[2]으로 정렬하게 된다. 따라서 단위 부피 당 들어있는 자기 쌍극자 $$\mathbf{m}$$을 나타내는 '''자화 밀도(Magnetization)''' $$\mathbf{M}$$을 도입한다. 따라서
$$\displaystyle \mathbf{M} \equiv \frac{ \mathbf{m}}{V} $$
$$\displaystyle \mathbf{m}=\iiint \mathbf{M}(\mathbf{r'}) \,dV' $$
2.2. 자화 전류
자화 물질이 자화가 되면 물질 내부엔 자기 쌍극자가 정렬하게 된다고 하였다. 이때, 자기 쌍극자에선 전류가 흐르므로 자화가 되면 물질 내부엔 자화 전류가 흐른다. 이때, 부피와 관련된 자화 전류 밀도를 $$\mathbf{J}_{m}$$, 면적과 관련된 자화 전류 밀도를 $$\mathbf{K}_{m}$$이라 한다.
2.3. 자화 물질의 자기 퍼텐셜
2.3.1. 자기 벡터 퍼텐셜
자기 쌍극자 문서에서 자기 쌍극자의 자기 퍼텐셜은 아래와 같이 주어짐을 보았다.
$$\displaystyle \mathbf{A}(\mathbf{r})=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{\mathbf{m} \times (\mathbf{r-r'})}{\left| \mathbf{r-r'} \right|^{3}} $$
$$\displaystyle \mathbf{A}(\mathbf{r})=\iiint_{V} \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{\mathbf{M}(\mathbf{r'}) \times (\mathbf{r-r'})}{\left| \mathbf{r-r'} \right|^{3}}\,dV ' $$
$$\displaystyle \mathbf{A}(\mathbf{r})=\iiint_{V} \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{\mathbf{M}(\mathbf{r'}) \times \hat\boldsymbol{\xi}}{{\xi}^{2}} \,dV' $$
$$\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \left( \frac{1}{\xi} \right) = -\frac{\hat\boldsymbol{\xi}}{ \xi^{2}}, \,\,\, \displaystyle \boldsymbol{\nabla} ' \left( \frac{1}{\xi} \right) = \frac{\hat\boldsymbol{\xi}}{ \xi^{2}} $$
$$\displaystyle \mathbf{A}(\mathbf{r})=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \iiint_{V} \mathbf{M}(\mathbf{r'}) \times \boldsymbol{\nabla} ' \left( \frac{1}{\xi} \right) \,dV' $$
$$\displaystyle \boldsymbol{\nabla} ' \times \left( \frac{\mathbf{M}(\mathbf{r'})}{\xi} \right)=\frac{\boldsymbol{\nabla} ' \times \mathbf{M}(\mathbf{r'})}{\xi}+\boldsymbol{\nabla} ' \left( \frac{1}{\xi} \right) \times \mathbf{M}(\mathbf{r'}) $$
$$ \displaystyle \mathbf{A}(\mathbf{r})=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \left[- \iiint_{V} \boldsymbol{\nabla} ' \times \left( \frac{\mathbf{M}(\mathbf{r'})}{\xi} \right) \,dV '+\iiint_{V} \frac{\boldsymbol{\nabla} ' \times \mathbf{M}(\mathbf{r'})}{\xi} \,dV ' \right] $$
$$\displaystyle \mathbf{A}(\mathbf{r})=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \left[ \iint_{S} \frac{\mathbf{M} \times \hat\mathbf{n}}{\xi} \,da'+\iiint_{V} \frac{\boldsymbol{\nabla} ' \times \mathbf{M}}{\xi} \,dV ' \right] $$
$$\displaystyle \mathbf{A}(\mathbf{r})=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \left[ \iint_{S} \frac{\mathbf{K}_{m}}{\xi} \,da'+\iiint_{V} \frac{ \mathbf{J}_{m}}{\xi} \,dV ' \right] $$
$$\displaystyle \mathbf{J}_{m}=\boldsymbol{\nabla} ' \times \mathbf{M} \qquad\qquad \mathbf{K}_{m}=\mathbf{M} \times \hat{\mathbf{n}} $$
2.3.2. 자기 스칼라 퍼텐셜
윗 문단에서 논의했던 벡터 퍼텐셜
$$\displaystyle \mathbf{A}(\mathbf{r})=\iiint \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{\mathbf{M(r')} \times \boldsymbol{\xi}}{\xi^{3}} \,dV' $$
$$\displaystyle \mathbf{B}(\mathbf{r})=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \iiint \boldsymbol{\nabla} \times \left[ \frac{\mathbf{M(r')} \times \boldsymbol{\xi}}{\xi^{3}}\right] \,dV' $$
$$ \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \left[ \frac{\mathbf{M(r')} \times \boldsymbol{\xi}}{\xi^{3}} \right]=\mathbf{M(r')} \left[ \boldsymbol{\nabla} \cdot \frac{\boldsymbol{\xi}}{\xi^{3}} \right]-[\mathbf{M(r')} \cdot \boldsymbol{\nabla}]\,\frac{\boldsymbol{\xi}}{\xi^{3}} $$
$$ \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \cdot \frac{\boldsymbol{\xi}}{\xi^{3}} =4 \pi \delta(\boldsymbol{\xi}) $$
$$\displaystyle [\mathbf{M(r')} \cdot \boldsymbol{\nabla}]\,\frac{\boldsymbol{\xi}}{\xi^{3}}=\boldsymbol {\nabla} \left[ \mathbf{M(r')} \cdot \frac{\boldsymbol{\xi}}{\xi^{3}} \right]-\mathbf{M(r')} \times \left[ \boldsymbol{\nabla} \times \frac{\boldsymbol{\xi}}{\xi^{3}} \right] $$
$$\displaystyle [\mathbf{M(r')} \cdot \boldsymbol{\nabla}]\,\frac{\boldsymbol{\xi}}{\xi^{3}}=\boldsymbol {\nabla} \left[ \mathbf{M(r')} \cdot \frac{\boldsymbol{\xi}}{\xi^{3}} \right] $$
$$ \displaystyle \mathbf{B}(\mathbf{r})=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \left[ -\iiint \boldsymbol {\nabla} \left[ \mathbf{M(r')} \cdot \frac{\boldsymbol{\xi}}{\xi^{3}} \right]\,dV'+4 \pi \iiint \mathbf{M(r')} \delta(\boldsymbol{\xi}) dV ' \right] $$
$$ \displaystyle \mathbf{B}(\mathbf{r})=- \mu_{0} \boldsymbol{\nabla} \left[\iiint \frac{1}{4 \pi} \frac{\mathbf{M(r')} \cdot \boldsymbol{\xi}}{\xi^{3}} \,dV' \right]+\mu_{0} \mathbf{M(r)} $$
$$\displaystyle \frac{1}{4 \pi} \iiint \frac{\mathbf{M(r')} \cdot \boldsymbol{\xi}}{\xi^{3}} \,dV' \equiv \Phi_{m} $$
$$\displaystyle \mathbf{B}(\mathbf{r})=\mu_{0}[-\boldsymbol{\nabla} \Phi_{m}+ \mathbf{M(r)} ] $$
더 나아가서 퍼텐셜의 형태를 보면,
$$\displaystyle \frac{1}{4 \pi} \iiint \frac{\mathbf{M(r')} \cdot \boldsymbol{\xi}}{\xi^{3}} \,dV' \equiv \Phi_{m} $$
$$\displaystyle \frac{1}{4 \pi} \left[ \iiint \frac{\sigma_{m}}{\xi}\,da'+\int \frac{\rho_{m}}{\xi}\,dV' \right] $$
$$\displaystyle \rho_{m}=-\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{M} \qquad \qquad \sigma_{m}=\mathbf{M} \cdot \hat{\mathbf{n}} $$
$$\displaystyle \iiint \sigma_{m} \,da '+\iiint \rho_{m} \,dV '=0 $$
$$ \displaystyle \mathbf{B(r)}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \left[ \iiint \frac{\rho_{m} \, \boldsymbol{\xi}}{\xi^{3}} \,dV'+\int \frac{\sigma_{m} \, \boldsymbol{\xi}}{\xi^{3}} \,da' \right]+\mu_{0}\mathbf{M(r)} $$
2.4. 물질에서의 앙페르 법칙
어떤 물질에 자화가 되었다면 자화 전류가 흐른다. 그러나, 외부 자기장이 가해졌다면, 자유 전류가 흐를 수 있다. 따라서 물질 속에서는 자화 부피 전류 밀도 $$\mathbf{J}_{m}$$과 자유 부피 전류 밀도 $$\mathbf{J}_{f}$$ 모두 존재할 수 있으므로 앙페르 법칙은 아래와 같이 쓸 수 있다.
$$\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{B}=\mu_{0}(\mathbf{J}_{f}+\mathbf{J}_{m}) $$
$$\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{B}=\mu_{0}(\mathbf{J}_{f}+\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{M}) $$
$$\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \left( \frac{\mathbf{B}}{\mu_{0}}-\mathbf{M} \right)=\mathbf{J}_{f} $$
$$\displaystyle \frac{\mathbf{B}}{\mu_{0}}-\mathbf{M} \equiv \mathbf{H} $$
$$\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{H}=\mathbf{J}_{f} $$
$$\displaystyle \iint (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{H}) \cdot d \mathbf{a}=\iint \mathbf{J}_{f} \cdot d\mathbf{a} $$
$$\displaystyle \int \mathbf{H} \cdot d \mathbf{l}=I_{f} $$
2.5. 다른 표현
물질이 선형적이고, 등방적이라면, 자화 물질의 자화 밀도는 다음과 같은 꼴로 나타내어질 수 있다.
$$\displaystyle \mathbf{M}=\chi \mathbf{H} $$
$$\displaystyle \mathbf{B}=\mu_{0}(\mathbf{H}+\chi \mathbf{H}) $$
$$\displaystyle \mathbf{B}=\mu\mathbf{H} $$
2.6. 자기장 세기의 발산
자기장은 비발산장으로, $$\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{B}=0$$이 성립함을 자기장 문서에서 보았다. 다만, 우리가 다루는 '자기장 세기'는
$$\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{H}=\boldsymbol{\nabla} \cdot \left(\frac{\mathbf{B}}{\mu_{0}}-\mathbf{M} \right) $$
$$\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{H}=-\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{M} \neq 0 $$
2.7. 쉬운 버전의 정리
기존의 맥스웰 방정식중 하나인 앙페르의 법칙은 진공에서 정의되었다. 가장 일반적으로 이 법칙에 따르면
$$\displaystyle \oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l} = \mu_0 I_{\text{enc}}$$
$$\displaystyle \oint \frac{\mathbf{B}}{\mu_o}\cdot d\mathbf{l} = I_f+I_i$$
일단 폐곡선인 $$l$$의 미소 길이을 둘러싼 작은 미소 폐곡선 $$\Delta S$$를 고려하자. 폐곡선을 새로 뚫는 유도 전류는 전부 폐곡선 바로 근처에 있다. 따라서 폐곡선의 길이당 전류는 $${(I_a \cdot A)}/{\Delta A}$$다. 여기서 $$I_a$$가 미소부피 안에 있는 폐곡선 전류량[4], $$A$$는 미소 폐곡선 내부의 넓이이다. 이제 이 물리량을 폐곡선 전체에 대해 선미분하면 $$I_i$$가 주어진다. 하지만 여기서 $$I_a \cdot A$$는 미소 부피 안에있는 작은 자기장 모멘트 $$\mathbf{m}$$와 같다. 이제 정리하면
$$\displaystyle \frac{\Delta I_i}{\Delta l} = \frac{m}{\Delta V}$$
[4] 미소부피의 크기가 원자 1개라고 생각하면 이건 원자핵 주위를 '돌고'있는 전자들의 전류라고 생각하면 된다
$$\displaystyle I_i = \oint \mathbf{M} \cdot d\mathbf{l}$$
$$\displaystyle \oint \left(\frac{\mathbf{B}}{\mu_o} - \mathbf{M} \right)\cdot d\mathbf{l} = I_f$$
[8] 폐곡선을 관통하지 않으니
$$\displaystyle \mathbf{H} \equiv \frac{\mathbf{B}}{\mu_o} - \mathbf{M}$$
3. 정자기학의 경계치 문제
3.1. 장의 경계 조건
위의 논의로 거시적인 정자기학의 방정식은 아래와 같이 요약된다고 할 수 있다.
$$\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{B}=0 \qquad\qquad \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{H}=\mathbf{J}_{f} $$
[image]
위 그림과 같이 각각의 자화 밀도가 각각 $$\mathbf{M}_{1}$$, $$\mathbf{M}_{2}$$인 매질 1, 매질 2를 고려하자.
$$\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{B}=0 $$
$$\displaystyle \iint_{S} \mathbf{B} \cdot d \mathbf{a}=0 $$
$$\displaystyle \iint_{S} \mathbf{B} \cdot d \mathbf{a}=[(\mathbf{B_{2}}-\mathbf{B_{1}})\cdot \hat \mathbf{n}]\,A=0 $$
$$\displaystyle \mathbf{B_{1}} \cdot \hat\mathbf{n} = \mathbf{B_{2}} \cdot \hat\mathbf{n} $$
$$\displaystyle (\mathbf{H_{2}} -\mathbf{H_{1}}) \cdot \hat\mathbf{n}=-(\mathbf{M_{2}} -\mathbf{M_{1}}) \cdot \hat\mathbf{n} $$
이번에는 $$\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{H}=\mathbf{J}_{f}$$임을 이용하자. 맨 위 그림과 같은 사각 경로를 잡고, $$h \rightarrow 0$$의 극한을 취하면, 경계면을 가로지르는 부분에 대한 적분 값은 기여하지 않으므로
$$\displaystyle \oint \mathbf{H} \cdot d \mathbf{l}=[(\mathbf{B_{2}}-\mathbf{B_{1}})\cdot \hat \mathbf{t}]\,l $$
$$\displaystyle h \rightarrow 0 \qquad I_{f} \rightarrow K_{f}l $$
$$\displaystyle (\mathbf{H_{2}}-\mathbf{H_{1}})\cdot \hat \mathbf{t}=K_{f} $$
$$\displaystyle [\mathbf{H_{2}}-\mathbf{H_{1}}]_{t}=\mathbf{K}_{f} \times \hat\mathbf{n} \qquad\qquad \hat{\mathbf{n}} \times (\mathbf{H_{2}}-\mathbf{H_{1}})=\mathbf{K}_{f} $$
$$\displaystyle \mathbf{B_{1}} \cdot \hat\mathbf{n} = \mathbf{B_{2}} \cdot \hat\mathbf{n} \qquad \qquad \hat{\mathbf{n}} \times (\mathbf{H_{2}}-\mathbf{H_{1}})=\mathbf{K}_{f} $$
3.2. 퍼텐셜의 경계 조건
이번에는 퍼텐셜의 경계 조건을 알아보도록 하자.
[image]
위 그림과 같이 폐곡선을 잡도록 하자. 자기 선속(Magnetic flux)은
$$\displaystyle F=\oint \mathbf{A} \cdot d \mathbf{l} $$
$$\displaystyle \oint \mathbf{A} \cdot d \mathbf{l}=[(\mathbf{A_{2}}-\mathbf{A_{1}}) \cdot \hat\mathbf{t}]\,l=0 $$
$$\displaystyle \mathbf{A_{1}} \cdot \hat{\mathbf{t}}=\mathbf{A_{2}} \cdot \hat{\mathbf{t}} $$
이상의 조건을 종합하면,
$$\displaystyle \mathbf{A_{1}}=\mathbf{A_{2}} $$
자기 스칼라 퍼텐셜은 위에서 다뤘듯이,
$$\displaystyle \mathbf{H} = -\boldsymbol{\nabla} \Phi_{m} $$
$$\displaystyle \Phi_{m}=-\int \mathbf{H} \cdot d \mathbf{r} $$
$$\displaystyle -\int_{\textrm{a}}^{\textrm{b}} \mathbf{H} \cdot d \mathbf{r} = \mathit{\Delta}\Phi_{m} $$
$$\displaystyle \mathit{\Delta}\Phi_{m} =\Phi_{2}-\Phi_{1}=0 $$
$$\displaystyle \Phi_{1}=\Phi_{2} $$
3.3. 경계치 방정식
3.3.1. 자기 벡터 퍼텐셜
다음을 고려하자.
$$\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{B}=\mu \mathbf{J}_{f} $$
$$ \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{B}=\boldsymbol{\nabla} \times (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A})$$
이고, 벡터 항등식을 사용하면,$$ \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A})=\boldsymbol{\nabla}(\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{A})-\nabla^{2}\mathbf{A} $$
으로 놓을 수 있고, 정자기학에서는 쿨롱 게이지(Coulomb Gauge) 조건 $$ \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{A}=0 $$
을 도입할 수 있으므로$$ \displaystyle \nabla^{2}\mathbf{A}=-\mu \mathbf{J}_{f}$$
가 나오게 된다. 이때, 직교 좌표계를 사용하면,$$ \displaystyle \nabla^{2}A_{i}=-\mu \,[\mathbf{J}_{f}]_{i}\,\,\,(i=x,\,y,\,z) $$
의 각 성분 마다의 푸아송 방정식을 얻는다.3.3.2. 자기 스칼라 퍼텐셜
자기장 세기에 대하여,
$$ \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{H}=\mathbf{J}_{f} $$
로 쓸 수 있음을 위해서 보았다. 그런데, $$\mathbf{J}_{f}=0$$인 구역에서$$ \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{H}=0 $$
으로 $$\mathbf{H}$$는 비회전장이 된다. 따라서 이때 자기 스칼라 퍼텐셜 도입이 가능해진다. 따라서$$ \displaystyle \mathbf{H}=- \boldsymbol{\nabla} \Phi_{m} $$
형태로 쓸 수 있고[9],$$ \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{H}=-\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{M} =\rho_{m}$$
임을 이용하면,[9] 이것은 위에서 '자화 물질의 자기 스칼라 퍼텐셜'을 구하면서 얻었던 것과 같은 결과를 얻었음에 주목하라.
$$ \displaystyle {\nabla}^{2} \Phi_{m}=- \rho_{m} $$
로 푸아송 방정식이 얻어지고, 이것은 정전기학에서 다뤘던 것과 유사하다. 또한, $$\rho_{m}=0$$인 곳에서는 라플라스 방정식$$ \displaystyle {\nabla}^{2} \Phi_{m}=0 $$
이 된다. 학부 수준에서는 선형 물질을 다루기 때문에 $$\rho_{m}=0$$인 경우가 많으므로 이 방법으로 문제를 해결하는 것이 더 쉽다. 다만, 선형 물질이 아니더라도 $$\rho_{m}=0$$을 만족하는 경우가 몇몇 존재하기 때문에 반드시 이것을 구해보고 이 방법을 적용하는 게 현명하다.3.4. 관련 예제
4. 자기장 차폐
전기장 문서에서 정전기적 평형 상태에서 도체 내부의 전기장이 0이 됨을 논의했다. 따라서 전기장 차폐의 경우 도체로만 둘러싸이게 하면, 쉽게 차폐할 수 있다.
다만, 자기장의 경우엔 현실적으로 완벽히 차폐할 수 없다. 그러나, 상대적으로 높은 투자율을 가진 물질 예로 들면, 금속에 둘러싸이게 하면, 어느정도 차폐가 되는 효과를 보인다. 아래의 예를 참고하라.
4.1. 예
[image]
위 그림과 같이 내부와 외부의 반지름이 $$R_{1}$$, $$R_{2}$$인 구각(Spherical shell)을 고려하자. 구각의 투자율은 $$\mu_{1}$$이고, 그 외 영역은 $$\mu_{2}$$이다. 또한 외부에선 자기장 세기 $$\mathbf{H_{0}}=H_{0}\hat{\mathbf{z}}$$를 걸어주고 있다. 외부에서 전류가 없는 상황이므로 자기 스칼라 퍼텐셜을 사용할 수 있고, 물질이 모두 선형적이라고 가정하면,
$$ \displaystyle {\nabla}^{2} \Phi_{m}=0 $$
$$ \displaystyle -\boldsymbol{\nabla}\Phi_{0}\cdot d \mathbf{r}=\mathbf{H} \cdot d\mathbf{r} \, \rightarrow \, \Phi_{0}=-\int \mathbf{H} \cdot d\mathbf{r} $$
$$ \displaystyle \Phi_{m}=-H_{0}r\cos{\theta} $$
$$ \displaystyle \Phi_{m}=\sum_{n=1}^{\infty}\, [c_{n}r^{n}+d_{n}r^{-(n+1)}]\,P_{n}(\cos{\theta}) $$
[10] 상수 항은 퍼텐셜 특성 상 무시할 수 있으므로 무시했다.
$$ \displaystyle \begin{aligned} \Phi_{1}&=A r \cos{\theta}+\frac{B}{r^{2}}\cos{\theta} && (r<R_{1}) \\ \Phi_{2}&=C r \cos{\theta}+\frac{D}{r^{2}}\cos{\theta} && (R_{1}<r<R_{2}) \\ \Phi_{3}&=-H_{0} r \cos{\theta}+\frac{E}{r^{2}}\cos{\theta} && (R_{2}>r) \end{aligned}$$
$$ \displaystyle \begin{aligned} \Phi_{1}(r=R_{1})&=\Phi_{2}(r=R_{1}) \\ \Phi_{2}(r=R_{2})&=\Phi_{3}(r=R_{2}) \\ \mu_{2} \left. \frac{\partial \Phi_{1}}{\partial r} \right|_{r=R_{1}} &= \mu_{1} \left. \frac{\partial \Phi_{2}}{\partial r} \right|_{r=R_{1}} \\ \mu_{1} \left. \frac{\partial \Phi_{2}}{\partial r} \right|_{r=R_{2}} &= \mu_{2} \left. \frac{\partial \Phi_{3}}{\partial r} \right|_{r=R_{2}} \end{aligned}$$
$$ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle A=C+\frac{D}{R_{1}^{3}} \\ \displaystyle C+\frac{D}{R_{2}^{3}}=-H_{0}+\frac{E}{R_{2}^{3}} \\ \displaystyle \mu_{2}A=\mu_{1}C-\frac{ \mu_{1} D}{R_{1}^{3}} \\ \displaystyle \mu_{1}C-\frac{ \mu_{1} D}{R_{2}^{3}}=-\mu_{2}H_{0}-\frac{\mu_{2}E}{R_{2}^{3}} \end{array}\right.$$
이제부터는 관심있는 영역인 구각 내부($$r<R_{1}$$) 영역만을 살펴보기로 하자. 위의 방정식을 풀면,
$$ \displaystyle A=-\frac{9 \mu_{1}\mu_{2}H_{0}}{(2 \mu_{1}+\mu_{2})( \mu_{1}+\mu_{2})-2(R_{1}/R_{2})^{3}(\mu_{1}-\mu_{2})^{2}}$$
$$ \displaystyle \Phi_{1}=-\frac{9 \mu_{1}\mu_{2}H_{0}z}{(2 \mu_{1}+\mu_{2})( \mu_{1}+\mu_{2})-2(R_{1}/R_{2})^{3}(\mu_{1}-\mu_{2})^{2}} $$
$$ \displaystyle \mathbf{H_{1}}=\frac{9 \mu_{1}\mu_{2}}{(2 \mu_{1}+\mu_{2})( \mu_{1}+\mu_{2})-2(R_{1}/R_{2})^{3}(\mu_{1}-\mu_{2})^{2}} \mathbf{H_{0}} $$
$$ \displaystyle \mathbf{H_{1}}=\frac{9 (\mu_{2}/\mu_{1})}{[2 +(\mu_{2}/\mu_{1} ) ] [ 1+(\mu_{2}/\mu_{1} ) ]-2(R_{1}/R_{2})^{3}[1-(\mu_{2}/\mu_{1} ) ]^{2}} \mathbf{H_{0}} $$
$$ \displaystyle \mathbf{H_{1}} \, \rightarrow \, 0 $$