자기 퍼텐셜

 


1. 개요
2. 자기 벡터 퍼텐셜
2.1. 유일성 여부
2.2. 방정식
2.3. 자기 선속과의 관계
2.4. 경계 조건
2.5. 자기 쌍극자의 자기 벡터 퍼텐셜
3. 자기 스칼라 퍼텐셜
4. 관련 문서


1. 개요

'''Magnetic potential'''
전기장에서 퍼텐셜을 도입하였듯, 비슷하게 자기장에서도 퍼텐셜을 도입한 것이다.
이 문서에서는 정자기학 조건에서의 자기 퍼텐셜을 다루며, 정자기학에서 자기 퍼텐셜을 언급하면 거의 "자기 벡터 퍼텐셜"'을 말하며, 그 외에도 특정한 조건에서 정의되는 "자기 스칼라 퍼텐셜" 두 가지가 있다.

2. 자기 벡터 퍼텐셜

자기장은 일반적으로 발산이 0인 비발산장이다. 즉,

$$ \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{B}=0 $$
이때, 자기장은 어떤 벡터의 회전이라 가정할 수 있다. 그 벡터를 $$\mathbf A$$라 하면

$$ \displaystyle \mathbf{B}=\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A} $$
이며, 이것을 처음 식의 발산 연산에 대입하면 이것 또한 0인 것에서 그 타당성을 생각해볼 수 있다. 따라서 여기서 나온 벡터 $$\mathbf A$$를 "자기 벡터 퍼텐셜"이라 하며, 줄여서 "벡터 퍼텐셜"이라 하기도 한다.

2.1. 유일성 여부

이때, 어떤 스칼라 $$\Phi$$에 그레이디언트 연산을 취했을 때,

$$ \displaystyle \mathbf{A'} \equiv \mathbf{A}+\boldsymbol{\nabla} \Phi $$
를 고려하자. 이때, 양변에 회전 연산을 취하면,

$$ \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A'} =\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A}+\boldsymbol{\nabla} \times(\boldsymbol{\nabla} \Phi) $$
벡터 해석학적으로 우변의 제2항은 0이 되므로

$$ \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A'} =\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A} $$
이 되고, 두 퍼텐셜 $$\mathbf A$$, $$\mathbf{A'}$$은 같은 장을 기술하는 퍼텐셜임을 알 수 있다. 이 논의를 통해, 어떤 자기장을 기술하는 자기 벡터 퍼텐셜은 여러 개 존재한다는 사실을 알 수 있다. '''즉, 한 장을 기술하는 자기 벡터 퍼텐셜은 유일하지 않다.'''

2.2. 방정식

앙페르 법칙에서

$$ \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{B} = \mu_{0} \mathbf{J} $$
임을 알 수 있었고, 자기 벡터 퍼텐셜을 이용하면

$$ \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A} ) = \mu_{0} \mathbf{J} $$
로 쓸 수 있다. 이때, 벡터 항등식을 사용하면

$$ \displaystyle \nabla^{2} \mathbf{A}- \boldsymbol{\nabla}(\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{A}) = -\mu_{0} \mathbf{J} $$
로 쓸 수 있다. 이때, 정자기학에서는 '''쿨롱 게이지(Coulomb gauge)'''를 도입하여 $$\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{A}=0$$으로 둔다. 따라서 다음과 같은 식으로 정리된다.

$$ \displaystyle \nabla^{2} \mathbf{A(r)}= -\mu_{0} \mathbf{J(r)} $$
이때, 직교 좌표계에서 위 식은 아래와 같이 푸아송 방정식으로 나온다.

$$ \displaystyle \nabla^{2} A_{i}(\mathbf{r})= -\mu_{0} J_{i}(\mathbf{r}) \qquad (i=x,\,y,\,z) $$
이것은 전기 퍼텐셜을 기술하는 푸아송 방정식과 모양이 유사하므로 이것의 해는

$$ \displaystyle A_{i}(\mathbf{r})=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \int \frac{J_{i}(\mathbf{r'})}{\xi}\,dV ' \qquad (i=x,\,y,\,z) $$
로 정리된다. 이때, $$\xi$$는 분리 벡터의 크기이다. 또한, 각 성분의 합으로 아래와 같이 쓸 수 있음을 얻는다.

$$ \displaystyle \mathbf{A(r)}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \int \frac{\mathbf{J(r')}}{\xi}\,dV ' $$
따라서, 위 방정식을 이용하면 자기 벡터 퍼텐셜을 구할 수 있다. 또한, '''자기 벡터 퍼텐셜의 방향은 전류 밀도 방향과 같다는 것을 알 수 있다.'''

2.3. 자기 선속과의 관계

어떤 면적 $$S$$를 지나가는 자기 선속(Magnetic flux) $$F$$는 아래와 같이 구할 수 있다.

$$ \displaystyle F=\iint_{S} \mathbf{B} \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{a} $$
이때, 자기 벡터 퍼텐셜을 이용하면

$$ \displaystyle F=\iint_{S} (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A}) \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{a} $$
이고, 스토크스 정리를 사용하면, $$S$$를 둘러싸는 폐곡선 $$C$$에 대한 적분으로 바뀌고,

$$ \displaystyle F=\oint_{C} \mathbf{A} \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{l} $$
로 쓸 수 있음을 구할 수 있다. 따라서 자기 선속을 이용해서도 자기 벡터 퍼텐셜은 구할 수 있다.

2.4. 경계 조건

[image]
위 그림과 같이 매질 I, II를 고려하자. 정자기학에서 쿨롱 게이지 조건

$$ \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{A}=0 $$
을 만족하므로 이것은

$$ \displaystyle \oiint_{S} \mathbf{A} \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{a}=0 $$
을 만족한다는 것과 동치이다. 따라서 $$S$$를 윗면과 아랫면 모두 면적 $$A$$이고 높이 $$h$$인 원기둥으로 잡자. 이때, $$h \rightarrow 0$$일 때, 옆면에 해당하는 영역의 적분 값은 상쇄된다. 따라서

$$ \displaystyle \oiint_{S} \mathbf{A} \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{a}=[\mathbf{A_{2}}\boldsymbol{\cdot} \hat{\mathbf{n}}-\mathbf{A_{1}}\boldsymbol{\cdot} \hat{\mathbf{n}}]\,l=0 $$
이다. $$\hat{\mathbf{n}}$$은 영역 I에서 II를 향하며, 경계면에 수직한 벡터이다.

$$ \displaystyle \mathbf{A_{1}}\boldsymbol{\cdot} \hat{\mathbf{n}}=\mathbf{A_{2}}\boldsymbol{\cdot} \hat{\mathbf{n}} $$
로 경계면을 가로지를 때, 자기 벡터 퍼텐셜의 수직 성분은 연속임을 알 수 있다.
이번엔

$$ \displaystyle F=\oint_{C} \mathbf{A} \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{l} $$
를 이용하자. 선적분 영역을 위 그림과 같이 잡고, $$h \rightarrow 0$$일 때를 고려하자. 이 경우, 경계면을 가로지르는 영역에 대한 선적분 값은 상쇄된다. 따라서

$$ \displaystyle \oint_{C} \mathbf{A} \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{l}=[\mathbf{A_{2}}\boldsymbol{\cdot} \hat{\mathbf{t}}-\mathbf{A_{1}}\boldsymbol{\cdot} \hat{\mathbf{t}}]\,l $$
이 된다. 이때, $$\hat{\mathbf{t}}$$는 경계면에 접하는 단위 벡터이다. 그런데, $$h \rightarrow 0$$이라는 점에서 해당 폐곡선 안을 통과하는 자기 선속은 면적이 0으로 수렴하기 때문에, 적분 값은 0으로 수렴한다. 따라서

$$ \displaystyle \mathbf{A_{2}}\boldsymbol{\cdot} \hat{\mathbf{t}}-\mathbf{A_{1}}\boldsymbol{\cdot} \hat{\mathbf{t}}=0 $$
에서

$$ \displaystyle \mathbf{A_{1}}\boldsymbol{\cdot} \hat{\mathbf{t}}=\mathbf{A_{2}}\boldsymbol{\cdot} \hat{\mathbf{t}} $$
로 경계면을 가로지를 때, 자기 벡터 퍼텐셜의 접선 성분은 연속임을 알 수 있다.
따라서 두 성분이 모두 연속이므로, 위의 논의는 경계면을 가로지를 때 자기 벡터 퍼텐셜은 연속이어야 함을 얻는다. 즉, 경계면을 가로지를 때

$$ \displaystyle \mathbf{A_{1}}=\mathbf{A_{2}} $$
를 만족하여야 한다.

2.5. 자기 쌍극자의 자기 벡터 퍼텐셜



2.6. 관련 예제



3. 자기 스칼라 퍼텐셜

위의 자기 벡터 퍼텐셜은 자기장이 비발산장이기 때문에 정의될 수 있었다. 그러나 자기장도 특정한 조건에서는 비회전장을 만족하기 때문에 전기장처럼 스칼라 퍼텐셜을 도입할 수 있다. 앙페르 법칙

$$ \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{B} = \mu_{0} \mathbf{J} $$
에서 전류 밀도 $$\mathbf{J}=0$$이 성립하는 영역에 한해선

$$ \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{B} =0 $$
으로 자기장 또한 비회전장이 된다. 따라서 장을 어떤 스칼라의 그레이디언트를 취하여 기술할 수 있다. 즉,

$$ \displaystyle \mathbf{B} =-\mu_{0} \boldsymbol{\nabla} \Phi_{m} $$
의 형태[1]로 기술할 수 있으며, 여기서 나온 스칼라 $$\Phi_{m}$$를 "자기 스칼라 퍼텐셜"이라 한다.

4. 관련 문서


[1] 앞에 붙은 $$\mu_{0}$$는 자기장 세기#s-4.2 문서를 읽어보면 알 수 있다.