단진자
1. 개요
'''단진자(Simple pendulum)'''는 고정된 점과 질점이 일정한 거리를 유지하면서 연직면 상에서 움직이는 진동자를 일컫는다. 이 단진자는 열역학 제3법칙에 위배되는 대표적인 영구기관 중 하나이다.
2. 단진자 운동 분석
[image]
위 그림과 같이 실로 매달린 추가 중력을 받으며 왕복운동을 하고 있다. 실의 길이는 일정하므로 추의 위치는 평형점에서 떨어진 각도 하나로 나타낼 수 있다. 즉 '''운동의 자유도는 1'''이다.
질량이 $$ m $$인 추가 길이 $$ l $$인 실에 매달리며 평형점으로 부터 $$ \theta $$만큼 떨어져 있다고 하면, 운동 방정식을 $$ \theta $$에 관한 미분 방정식으로 표현할 수 있다. 평형점으로 부터 각도 $$ \theta $$ 만큼 떨어져 있을 때, $$m$$이 받는 토크는 중력 분력 $$mg\sin{\theta}$$에 의한 것이며, 이 힘은 고정점으로 부터 $$l$$만큼 떨어져 있다는 것을 상기하면, 운동 방정식은 아래와 같이 세울 수 있다.[1]
$$ \displaystyle ml^{2} \ddot{\theta}=-mgl \sin{\theta}$$
[1] 이 문서에서는 분수꼴$$\displaystyle \left( {\mathrm{d}^{2}y \over \mathrm{d}x^{2}} \right)$$인 라이프니츠 표기가 아닌, 변수에 점을 찍는($$\ddot{x}$$) 뉴턴 표기를 쓴다.
$$ \displaystyle \ddot{\theta}+\frac{g}{l} \sin{\theta}=0$$
2.1. 근사법
기준선으로 부터의 각 $$\theta$$가 매우 작다면[2], $$\sin{\theta} \approx \theta $$로 근사할 수 있으므로 위에서 구한 미분방정식은
으로 바뀌고, 위 방정식은 선형 방정식으므로 쉽게 풀린다. 따라서 이 방정식의 해는
$$ \displaystyle \theta(t)=\theta_{0} \sin{(\omega_{0} t + \phi )}, \qquad \omega_{0} \equiv \sqrt{\frac{g}{l}}$$
$$x=l \sin{\theta}\approx l \theta$$임을 이용하면,
$$ \displaystyle x(t)=x_{0} \sin{( \omega_{0} t + \phi )}$$
또한, 위의 미분 방정식에서 단진자의 각진동수 $$\omega_{0}=\sqrt{g/l}$$을 얻으므로 단진자의 주기는
$$ \displaystyle T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$$
다만, 이것은 근사해서 구한 주기이므로 초기 각도가 커질 수록 실제 진자의 주기와 맞지 않게 된다. 이에 대한 건 아래에 서술하였다.
진자의 속도와 가속도는 각각 $$x(t)$$를 시간에 대해 도함수와 이계도 함수로 주어지므로
$$ \displaystyle \begin{aligned} \dot{x}(t)&= \omega_{0} x_{0} \cos{( \omega_{0} t + \phi )} \\ \ddot{x}(t)&=-\omega_{0}^{2}x_{0} \sin{( \omega_{0} t + \phi )} \end{aligned}$$
여담으로, 단진자의 최하점에서 물체에 작용하는 힘은 없고, 관성으로 인해 진자가 움직인다고 생각할 수 있는데, 그것은 틀린 생각이다. 단진자는 최하점 부근에서 원궤도로 움직이기 때문에 최하점에서 '''구심력에 해당하는 힘이 존재한다.''' 또한, 위의 가속도 식에서 적절한 조건을 대입하면, 최하점에서 가속도는 [math(0)]이 나오는데 이것은 진자의 운동을 진동면에 투영했고, 진동면 기준에서 최하점에선 받는 힘(정확히 말하면, '복원력')이 없기 때문에 이런 결과가 나온 것이다.
2.2. 일반적인 풀이
맨위에서 구했던 것은 진동 각도가 작을 때 즉, 작은 진폭을 가질 때만 유효한 풀이이다. 여기서 부터는 정확한 풀이를 다룬다.
처음에 구했던 미분 방정식은 비선형 항이 있어서 풀기가 매우 힘들다. 따라서 역학적 에너지 보존을 이용하자. 진자의 최하점을 높이 $$y=0$$으로 놓고, 최고 높이 즉, 초기 높이를 $$y_{0}$$라 놓으면,
$$ \displaystyle \frac{1}{2}ml^{2} \dot{\theta}^{2}+mgy=mgy_{0}$$
$$ \displaystyle \frac{1}{2}ml^{2} \dot{\theta}^{2}+mgl(1-\cos{\theta})=mgl(1-\cos{\theta_{0}})$$
$$ \displaystyle \dot{\theta}^{2}=2\omega_{0}^{2} \left [ \cos{\theta} -\cos{\theta_{0}} \right]$$
$$ \displaystyle \dot{\theta}= 2\omega_{0} \left [ \sin^{2}{\frac{\theta_{0}}{2}} -\sin^{2}{\frac{\theta}{2}} \right ]^{1/2}$$
$$ \displaystyle \int_{0}^{T/4}\, dt =\frac{T}{4}=\frac{1}{2 \omega_{0}} \int_{0}^{\theta_{0}} \left [ \sin^{2}{\frac{\theta_{0}}{2}} -\sin^{2}{\frac{\theta'}{2}} \right ]^{-1/2} \, d\theta '$$
$$ \displaystyle T=\frac{2}{ \omega_{0}} \int_{0}^{\theta_{0}} \left [ \sin^{2}{\frac{\theta_{0}}{2}} -\sin^{2}{\frac{\theta'}{2}} \right ]^{-1/2} \, d\theta '$$
$$ \displaystyle \sin{(\theta_{0}/2)}=k \qquad \qquad \frac{\sin{(\theta'/2)}}{\sin{(\theta_{0}/2)}}=z$$
$$ \displaystyle dz=\frac{\cos{(\theta'/2)}}{2\sin(\theta_{0}/2)} \,d\theta'=\frac{\sqrt{1-k^{2}z^{2} } }{2k}\,d\theta'$$
$$ \displaystyle T=4 \sqrt{\frac{l}{g}} \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt {1-z^2} \sqrt{1-k^2z^2}} \, dz$$
$$ \displaystyle T=4 \sqrt{\frac{l}{g}}K(k)$$
이때, 식을 다시 쓰면,
$$ \displaystyle T=2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}} \left[ \frac{2}{\pi} K(k) \right]$$
$$ \displaystyle \frac{2}{\pi} K(k) =\sum_{n=0}^{\infty }\left [ \frac{(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}} \right ]^{2}k^{2n}=\sum_{n=0}^{\infty }\left [ \frac{(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}} \right ]^{2} \sin^{2n}{\left(\frac{\theta_{0}}{2} \right)}$$
$$ \displaystyle T=2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}} \left[1+ \sum_{n=1}^{\infty }\left [ \frac{(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}} \right ]^{2}\sin^{2n}{\left(\frac{\theta_{0}}{2} \right)} \right ]$$
위식이 진동형태가 되는 것은 $$0<k<1$$일 때이고, 그 외에선, 연직 원운동하게 된다.
이것으로도 각도가 커질 수록 근사적으로 구했던 주기와는 차이가 난다는 것을 알 수 있으며, 각도에 따른 오차 즉, 근사적인 해의 신뢰도는 아래의 표와 같다.
정밀한 주기가 필요 없다면, 대략 $$0<\theta_{0}<20^{\circ}$$ 범위에서 오차율을 $$1\, \%$$ 이내로 줄일 수 있다. 따라서 해당 범위에선 근사 해도 별 무리 없이 쓸 수 있다.
마지막으로, $$\theta(t)$$를 구해보고자 한다. 위의 결과를 활용하면, $$\theta$$까지 도달하는 데 걸린 시간 $$t$$는 다음과 같이 구할 수 있다.
$$ \displaystyle t =\frac{1}{2 \omega_{0}} \int_{0}^{\theta} \left [ \sin^{2}{\frac{\theta_{0}}{2}} -\sin^{2}{\frac{\theta'}{2}} \right ]^{-1/2} \, d\theta '$$
[3] $$\displaystyle \lim_{k \to 1} K(k)=\infty$$
$$ \displaystyle \omega_{0} t = \int_{0}^{x} \frac{1}{\sqrt {1-z^2} \sqrt{1-k^2z^2}} \, dz$$
$$ \displaystyle x \equiv \frac{\sin{(\theta/2)}}{k}$$
$$\displaystyle x= \mathrm{sn}\,(\omega_{0} t ; k)$$
$$\displaystyle \theta(t)=2 \sin^{-1}{[k \, \mathrm{sn}\,(\omega_{0} t ; k) ]} $$
$$\displaystyle \theta(t)=2 \sin^{-1}{\left[ \sin{\left(\frac{\theta_{0}}{2} \right)} \, \mathrm{sn}\,\left[\omega_{0} (t-t_{0}) ; \sin{\left(\frac{\theta_{0}}{2} \right)}\right] \right]}$$
다음은 $$ \theta(0)=17 \pi/18 \equiv \theta_{0}$$, $$ \dot{\theta}(0)=0$$인 경우에 대해, $$\theta(t)$$를 근사법을 이용했을 때, 나오는 $$\theta_{a}(t)$$와 일반적인 방법으로 했을 때의 $$\theta_{g}(t)$$를 나타낸 것이다.
[image]
$$T_{a}$$, $$T_{g}$$는 각 경우에 대한 운동의 주기이다.
2.2.1. 심화: 연직면 상의 원운동
이제 진자의 역학적 에너지가 좀 더 커져서 최고점인 $$\theta_{0}=\pi$$에 이르고도, 운동 에너지가 모두 퍼텐셜 에너지로 전환되지 않는 경우를 다루고자 한다. 위 경우에서 역학적 에너지 보존을 이용해서 다음과 같이 운동 방정식을 쓸 수 있었다.(우변은 최고점에서의 역학적 에너지이다.)
$$ \displaystyle \frac{1}{2}ml^{2} \dot{\theta}^{2}+mgl(1-\cos{\theta})=mgl(1-\cos{\pi})$$
$$ \displaystyle \frac{1}{2}ml^{2} \dot{\theta}^{2}+mgl(1-\cos{\theta})=mgl(1-\cos{\pi})+\frac{1}{2}ml^{2} \dot{\theta}'^{2}$$
$$ \displaystyle \begin{aligned} \dot{\theta}^{2}&=4\omega_{0}^{2}-4\omega_{0}^{2} \sin^{2}{\frac{\theta}{2}}+ \dot{\theta}'^{2} \\ &=4\omega_{0}^{2} \left[ \left( 1+\frac{\dot{\theta}_{0}^{2}}{4\omega_{0}^{2}} \right)-\sin^{2}{\frac{\theta}{2}} \right] \end{aligned}$$
$$ \displaystyle k'^{-2} \equiv 1+\frac{\dot{\theta}_{0}^{2}}{4\omega_{0}^{2}} $$
$$ \begin{aligned} \displaystyle \dot{\theta}^{2} &= 4\omega_{0}^{2} \left[\frac{1}{k'^{2}}-\sin^{2}{\frac{\theta}{2}} \right] \end{aligned}$$
$$ \displaystyle dt=\frac{k'}{2 \omega_{0}} \frac{1}{\displaystyle \sqrt{1-k'^{2} \sin^{2}{\frac{\theta}{2} } }} \, d \theta$$
$$ \displaystyle dt=\frac{k'}{\omega_{0}} \frac{1}{\displaystyle \sqrt{1-k'^{2} \sin^{2}{\phi} } } \, d \phi$$
$$ \displaystyle \int_{0}^{T/2}dt=\frac{T}{2}=\frac{k'}{ \omega_{0}} \int_{0}^{\pi/2} \frac{1}{\displaystyle \sqrt{1-k'^{2} \sin^{2}{\phi} } } \, d \phi$$
$$ \displaystyle T=2\sqrt{\frac{lk'^{2}}{g}}K(k')$$
이번엔 $$\theta(t)$$를 구해보도록 하자. $$\theta$$까지 이르는데 걸린 시간 $$t$$는
$$ \displaystyle t=\frac{k'}{ \omega_{0}} \int_{0}^{\theta/2} \frac{1}{\displaystyle \sqrt{1-k'^{2} \sin^{2}{\phi} } } \, d \phi$$
$$ \displaystyle \frac{\omega_{0}t}{k'}=\int_{0}^{x} \frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}\sqrt{1-k^{2}z^{2} } }\,dz$$
$$ \displaystyle x=\sin{\frac{\theta}{2}}$$
$$ \displaystyle x=\mathrm{sn}\, \left( \frac{\omega_{0}t}{k'}; k' \right)$$
$$\displaystyle \begin{aligned} \theta(t)&=2 \sin^{-1} \left[ \mathrm{sn}\, \left( \frac{\omega_{0}(t-t_{0})}{k'}; k' \right) \right] \end{aligned}$$
[image]
참고적으로 (모든 마찰이 무시되고 이상적인 조건의) 진자는 외력이 가해지지 않는 이상은 지속적으로 회전하기 때문에 시간에 증가함에 따라 각변위는 지속적으로 증가하게 된다.
2.3. 평면 진자의 위상도
이번엔 평면 진자의 위상도에 대해 논의해보자.
진자의 역학적 에너지를 $$E$$라 하면, 최고점에서
$$ \displaystyle mgl(1-\cos{\theta_{0}})=2mgl \sin^2{\frac{\theta_{0}}{2}}=E$$
$$ \displaystyle \sin^2{\frac{\theta_{0}}{2}}=\frac{E}{2mgl} $$
$$ \displaystyle \dot{\theta}=\pm 2\omega_{0} \left [ \sin^{2}{\frac{\theta_{0}}{2}} -\sin^{2}{\frac{\theta}{2}} \right ]^{1/2}$$
$$ \displaystyle \dot{\theta}=\pm 2 \sqrt{\frac{g}{l}} \left [ \frac{E}{2mgl} -\sin^{2}{\frac{\theta}{2}} \right ]^{1/2}$$
[image]
위상도에서 굵은 선은 $$\theta_{0}=\pi$$일 때를 나타낸 것이고, 이때, $$E=2mgl$$이 된다.[5] 여기서 본 개형이 cosine 함수임은 위 식에서 쉽게 추측할 수 있다. 나중에 후술하겠지만, $$\theta_{0}=\pi$$일 때 진자는 '''이 개형을 따라 운동하지 않는다.'''
위의 굵은 선을 기준으로 내부는 $$E<2mgl$$, 외부는 $$E>2mgl$$인 영역이다.
우선, $$E<2mgl$$ 부분 먼저 논의해보자. 초기 각도가 매우 작다면, 진자는 매우 작은 진폭으로 운동할 것이다. 따라서 $$\sin{\theta} \approx \theta $$가 된다. 따라서 이때의 개형은
$$ \displaystyle \dot{\theta}=\pm 2 \sqrt{\frac{g}{l}} \left [ \frac{E}{2mgl} -\theta^{2} \right ]^{1/2}$$
[5] 즉, 추가 최하점에서 $$2l$$만큼의 높이에 있을 때가지는 퍼텐셜 에너지다.
그러나 각이 커짐에 따라 타원의 개형에서 조금 벗어나긴 하지만, 개형은 폐곡선 형태이다. 따라서 $$E<2mgl$$ 영역에서 진자는 진동함을 알 수 있다.
점 A는 진자가 초기에 아무런 각을 갖지 않았을 때를 나타내며, 진자의 평형점을 나타낸다.
다음으로는 $$E=2mgl$$ 즉, $$\theta_{0}=\pi$$일 때이다. 이 조건에서 개형을 따라 진자가 운동하지 않는 것은 위에서 보았듯, 주기가 무한대인 것에서 쉽게 예측할 수 있고, 그렇지 않더라도, 질량이 거의 없는 강체 막대로 연결되어 있을 경우, 진자는 움직이지 않고 있을 수 있다.[7] 이때 진자를 움직이게 하려면, 힘이 가해져야 하고, 이 힘은 곧 진자 계의 에너지를 변화시킨다. 따라서 진자는 굵은 선을 따라 운동할 수 없다. 따라서 $$\theta_{0}=\pi$$일 때 진자의 운동은 점 B로 표현되나, 작은 힘에도 진자가 운동할 수 있게 만들기 때문에 불안정한 평형점이다. 또한, 처럼 실제로 궤도를 따라 계는 운동하지 않으나, 이 궤도를 중심으로 운동 양상이 달라지는 궤도를 '''분리 궤도'''라 한다.
$$E>2mgl$$인 영역에서는 진자가 최고점에 도달하더라도, 운동 에너지가 존재하기 때문에 주기가 없는 연직 원운동을 하게 된다. 따라서 이 영역에서 위상도는 폐곡선 형태를 띄지 않는다.
3. 기타
3.1. 줄의 길이가 변하는 진자
3.2. 푸코의 진자
3.3. 이중 진자
그림과 같이 단진자에 하나의 진자를 더 연결해놓은 형태의 진자를 '''이중 진자(Double pendulum)라 한다.'''
[image]
$$m_{\textrm{1}}$$이 매달려 있는 점을 원점으로 두면, $$m_{\textrm{1}}$$의 위치를 좌표로 표현할 수 있다.
$$\displaystyle (x_{1},\,y_{1})=(l_{1}\sin{\theta_{1}},\,-l_{1}\cos{\theta_{1}}) $$
$$\displaystyle (x_{2},\,y_{2})=(l_{1}\sin{\theta_{1}}+l_{2}\cos{\theta_{2}},\,-[l_{1}\cos{\theta_{1}}+l_{2}\cos{\theta_{2}}]) $$
$$\displaystyle \begin{aligned} T&=\frac{1}{2}m_{1}(\dot{x}_{1}^{2}+\dot{y}_{1}^{2})+\frac{1}{2}m_{2}(\dot{x}_{2}^{2}+\dot{y}_{2}^{2}) \\ &=\frac{1}{2}m_{1}(l_{1} \dot{\theta}_{1})^{2}+\frac{1}{2}m_{2}[(l_{1}\dot{\theta}_{1})^{2}+(l_{2} \dot{\theta}_{2})^{2}+2l_{1}l_{2}\dot{\theta}_{1}\dot{\theta}_{2}\cos{(\theta_{1}-\theta_{2})}] \end{aligned} $$
$$\displaystyle \begin{aligned} U&=m_{1}gy_{1}+m_{2}gy_{2} \\ &=-[m_{1}gl_{1}\cos{\theta_{1}}+m_{2}g(l_{1}\cos{\theta_{1}}+l_{2}\cos{\theta_{2}}) ] \end{aligned} $$
이때, 라그랑지안 $$\mathscr{L} \equiv T-U$$로 정의되고, 일반화좌표 $$\theta_{i}$$에 대한 운동 방정식은 아래의 오일러 방정식을 풀면 된다.
$$\displaystyle \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \theta_{i}}-\frac{d }{dt}\left (\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{\theta_{i} } } \right )=0 $$
$$\displaystyle \begin{aligned} \theta_{1}&:\,(m_{1}+m_{2})l_{1}\ddot{\theta}_{1}+m_{2}l_{2}\ddot{\theta}_{2}\cos{(\theta_{1}-\theta_{2})}+m_{2}l_{2}\dot{\theta}_{2}^{2}\sin{(\theta_{1}-\theta_{2})}+(m_{1}+m_{2})g\sin{\theta_{1}}=0 \\ \theta_{2}&:\,m_{2}l_{2}\ddot{\theta}_{2}+m_{2}l_{1}\ddot{\theta_{1}}\cos{(\theta_{1}-\theta_{2})}-m_{2}l_{1}\dot{\theta}_{1}^{2}\sin{(\theta_{1}-\theta_{2})}+m_{2}g\sin{\theta_{2}}=0 \end{aligned}$$
기존 단진자에서 진자를 하나 더 건 경우인데, 단진자와 비교하면 분석하기 '''매우 어렵다.''' 위의 미분방정식은 컴퓨터가 아닌 이상 매우 풀기 어렵다. 아래는 이중 진자를 컴퓨터로 시뮬레이션 한 영상이다. 역시 복잡하게 나온 미분 방정식답게 매우 복잡하게 운동함을 알 수 있다.
이 이중 진자는 혼돈이 일어나는 대표적인 예이다. 즉, 초기조건에 민감하게 반응하며, 운동 경로는 예측하기 어렵다. 이것은 직접 확인해보는 것이 무슨 말인지 이해하기 쉽다. 여기서 이중 진자를 시물레이션 할 수 있는 툴을 다운로드 받을 수 있으며, 다양한 초기 조건[8]을 주고, 이중 진자가 어떻게 운동하는 지 지켜보면, 초기조건에 따라 다르다는 사실을 확인할 수 있다.
3.4. 하위헌스의 진자시계
[image]
그림에서 진자의 끝은 사이클로이드 모양으로 궤적을 그리며, 위쪽 부분의 받쳐주는 호도 역시 사이클로이드 모양이다. 이러한 호를 따라가는 진자는 진폭에 관계없이 주기가 정확히 일정하기 때문에 좀 더 정확한 진자시계를 만들 수 있다.
아래의 문서에서 더 자세한 정보를 얻을 수 있다:
4. 참고 거리
- 진폭이 작은 상황에 한하여, 진자의 주기는 추의 질량이나 진폭에는 의존하지 않고 오로지 실의 길이에만 상관이 있음을 알 수 있다. 이를 이용하여 시계추의 주기를 추의 늘어진 거리를 조절함으로써 설정할 수 있다.
- 단진자 운동은 진자 팔의 길이의 제곱근에 비례하는 거의 일정한 주기를 가지므로 최초의 근대적 시계나 괘종시계 등에 쓰였다. 통상 길이가 $$\mathrm{25\,cm}$$ 정도면 주기가 1초, $$\mathrm{1\,m}$$ 가량이면 2초 정도이다.[9] 진자의 팔 길이만 일정하고 진폭이 크지 않으면, 주기는 추의 무게에 상관없이 상당히 높은 시간 안정성을 가지므로 쿼츠(수정발진자)가 보편화되기전에는 가정의 괘종시계는 주로 진자를 이용하였다. 괘종시계의 진자의 팔은 온도 팽창 계수가 매우 낮은 Invar라는 니켈합금으로 만들어 온도의 영향을 최소화 한다. 그래도 통상 한달에 몇 분 정도는 오차가 있어서 한달에 한 번 정도는 시간을 맞춰 줘야 했다
5. 관련 문서
[8] 두 물체의 초기 위치를 말한다.[9] 미터법 초기에는 아예 이걸 미터의 정의로 삼으려는 시도도 있었으나 당시의 기술로도 중력가속도가 상수가 아님은 명백하게 측정 가능했고 길이를 재기위해 시간을 측정한다는 아이디어가 반발을 사서 자오선 기준에 밀렸다.