차원 정리
Rank theorem
1. 개요
차원 정리[1]는 rank와 nullity간의 관계를 설명해주는 정리이다.
2. Rank와 Nullity
Rank는 계수, 차수로도 불린다.
2.1. 행렬의 경우
행렬의 행벡터들로 생성(span, generate)[2]한 벡터공간을 '''행공간(row space)''', 열벡터들로 생성한 벡터공간을 '''열공간(column space)''' 또는 '''상(image)'''이라고 하고, 행렬 $$A$$의 행공간을 $$\mathrm{row}(A)$$, 열공간을 $$\mathrm{col}(A)$$ 또는 $$\mathrm{im}(A)$$[3]라 표기한다. 이때 다음의 정리가 성립한다.
$$\dim \left(\mathrm{row} \left(A\right) \right)=\dim(\mathrm{col}(A)) $$ [4]
이 때 이 값을 행렬 $$A$$의 '''Rank'''라고 하고, $$\mathrm{rank}(A)$$로 표기한다.행렬 $$A$$에 대해 $$A\mathbf{x}=\mathbf{0}$$[5]의 해 x들을 모은 집합은 벡터공간이 된다. 이때 이 공간을 '''영공간(null space)''' 또는 '''핵(kernel)'''이라고 하며 $$\mathrm{null}(A)$$ 또는 $$\ker(A)$$라고 표기한다. 영공간의 차원을 '''Nullity'''라고 하며[6] $$\mathrm{nullity}(A)$$로 표기한다.
2.2. 선형 변환의 경우
선형 변환#s-2 참고.
3. 행렬 버전
- m×n 행렬 A에 대해 $$ \mathrm{rank}(A)+\mathrm{nullity}(A)=n$$
3.1. 증명
3.1.1. 보조정리: 행동치와 계수
이 자체만으로도 충분히 유용한 경우가 많으나, 본 정리의 증명에 필수적이기에 보조정리로 분류하였다.
$$A$$는 기본행연산을 통해 $$B$$로 변환될 수 있다. 다시 말해, $$B$$의 각 행은 $$A$$의 각 행의 선형결합(Linear Combination)이다.A와 B가 행동치(Row Equivalent)[8]
인 행렬이라고 하자. 이때 $$row(A)=row(B)$$이다.
이는 $$B$$의 각 행의 임의의 선형결합이 $$A$$의 각 행 사이 어떤 선형결합으로 표현될 수 있음을 의미한다. 따라서 $$row(B) \subset row(A)$$.
마찬가지로, $$A$$의 각 행의 모든 선형결합을 $$B$$의 각 행의 선형결합으로 표현될 수 있다. 그러므로 $$row(A) \subset row(B)$$.
위 두 결과에 의해, $$row(A)=row(B)$$. ■
3.1.2. 본정리의 증명
$$A$$가 $$m \times n$$ 행렬일 때 $$\mathrm{rank}(A)+\mathrm{nullity}(A)=n$$이다.
4. 선형 변환 버전
4.1. 증명
5. 같이 보기
[1] 영어로는 Dimension Theorem, Rank Theorem, Rank-Nullity Theorem 등으로 부른다.[2] 선형결합(일차결합, Linear Combination)을 다 모은다는 뜻이다.[3] 대소문자에 주의할 것. $$\mathrm{Im}(A)$$라고 쓰면 허수부만 취한다는 뜻이 된다. 때문에 허수부를 취하는 함수 표기를 $$\Im \left(A\right)$$로 쓰기도 한다.[4] 벡터공간 V에 대해 V의 차원을 $$\dim(V)$$로 표기한다.[5] 영벡터[6] 즉 dim(null(A))=nullity(A)[7] free variables의 개수[8] 기본행연산을 통해 서로 변환될 수 있는 관계