차원
次元
1. 수학
공간의 성질을 나타내는 수로, 보통의 경우에는 공간에서 독립적으로 움직일 수 있는 방향의 개수를 의미한다. 쉽게 생각하면 0차원은 점으로, 1차원은 선, 2차원은 면, 3차원은 입체로 간주할 수 있다.[1] 시각적으로 표현하면 직교좌표계에 몇 개의 좌표나 축이 필요한지로도 나타낼 수 있다.
일반적으로 유클리드 공간을 비롯한 벡터 공간에서는 기저(basis)의 개수를 말한다. 어찌 보면 벡터 공간 자체가 더 높은 차원의 공간을 추상적으로 생각하기 위해 만들어진 것이다. 6차원, 7차원 이런 공간도 단순히 좌표 6개, 7개의 순서쌍으로 나타나지는 공간일 뿐으로 생각할 수 있다. 물론 선형대수학을 어느 정도 공부해야 확실히 이해할 수 있는 내용이긴 하다.[2] 곡선과 곡면 등의 더욱 일반적 도형, 즉 다양체의 경우에는, 점 부분에서 움직일 수 있는 방향 또는 필요한 좌표의 개수로 생각할 수 있다. 구면이나 클라인의 병 등의 곡면이 3차원이나 4차원에 놓여 있다고 할지라도 2차원 도형으로 간주되는 이유이다.
n차원 유클리드 공간에서 흔히 생각하는 다변수함수는 n-1변수함수이다.[3]
대개 일상생활에서는 이 정도로 충분하지만, 수학자들이 여기에 해당되지 않는 다른 종류의 공간을 생각할 때는 통상적인 차원의 정의를 제각기 다른 방식으로 일반화시킨 차원을 들고 오기도 한다. 위상수학자들의 르베그 차원, 음의 차원 공간[4], 대수기하학자들의 초월 차수(transcendence degree)나 크럴 차원(Krull dimension), 측도론에서 보는 하우스도르프 차원 등등 쓰임새에 따라 다양한 종류의 차원이 있다. 이 중 하우스도르프 차원은 정수가 아니라 0.63 이런 식으로 양의 실수값을 가질 수 있는 가장 이질적인 녀석인데, 그 정의와 쓰임새는 프랙탈 이론 항목에 소개되어 있다.
1.1. 역사
우리가 중,고등 학교 수학 시간에 배우는 기하학을 만든 기원전 3세기 사람인 유클리드는 0, 1, 2, 3차원에 대해 이렇게 정의했다.
이 정의는 3->2->1->0차원으로 내려가는 차원의 정의를 사용하고 있다.입체의 단면은 면이다. 면의 단면은 선이다. 선의 단면은 점이다.
킬리키아의 심플리키우스에 따르면 2세기 수학자 프톨레마이오스는 차원에 관하여(Περὶ διαστάσεως)라는 책을 저술했다고 한다. 다만 이 책은 오늘날에는 전해지지 않는다. 이 책에서 프톨레마이오스는 세개보다 많은 수직선을 긋는 것이 불가능하다는 이유로 3차원 너머는 존재하지 않는다고 주장했다.#
19세기에 이르러 차원이 체계적으로 다뤄지기 시작한다. 수학자 아우구스트 뫼비우스는 1827년에 4차원 회전을 통해 거울상 이성질체를 변환하는 문제에 대해서 연구했다.[5] 19세기의 수학자 케일리와 리만도 다차원 공간의 성질에 대해서 연구하였다.
유클리드의 정의를 역이용해 프랑스의 수학자 앙리 푸앵카레[6]는 차원의 정의를 새롭게 만들었다.
즉 0차원의 도형(점)을 1차원의 방향(선)으로 움직이면 선이 생기고 선을 2차원의 방향으로 움직이면 도형이 생기고, 면을 3차원의 방법으로 움직이면 입체가 생긴다. '''따라서 3차원의 입체를 4차원의 방향으로 움직이면 4차원의 물체가 생기지 않을까?'''라고 생각한 것.[7] 이 방법을 사용하면 4차원 이상의 차원을 생각할 수 있고, 기하학에서 사용할 수 있다.단면이 0차원(점)이 되는 것을 1차원(선)이라 부른다. 단면이 1차원이 되는 것을 2차원(면)이라 부른다. 단면이 2차원이 되는 것을 3차원(입체)이라 부른다. '''단면이 3차원이 되는 것을 4차원(초입체)이라 부른다.'''
이에 따라서 시공간을 4차원으로 생각하기도 한다. 과거와 미래라는 방향은 상하좌우전후의 축에 정확히 수직으로 교차하는 시간축이며, 즉, 현재라고 하는 것은 시공간의 3차원 단면이라고 할 수 있다.
여기서 더 나아가서 경우의 수(평행세계)를 시공간에 수직하는 5번째 차원으로 정의하기도 한다. 단위시간당 경우의 수는 여러개로 분화하는데, 이를 처음에는 같은게 무수히 있다가 각각 다르게 무수히 분화하는 것으로 정의된다.
1.2. 물리학에서의 차원
'차원'을 가장 잘 설명하고 있는 곳. 네이버 포스트 베스트 댓글도 함께 보자. 원 안의 동전을 빼는 법을 예시로 들고 있는데 나름 알기쉽게 설명되어 있다.
이론 물리학에서는 차원이란 단어를 허구한 날 쓰기에 수학에서 말하는 차원에 익숙해져있다가, 6차원 7차원 $$n$$차원등의 단어를 들으면 정신이 해당 차원으로 날아가 버린다.
2. 측정학
'''물리량(Physical Quantity)'''의 차원. 물리량 중에는 다른 단위로 표현될 수 없는 기본량(base quantity)이 존재하며 이것이 수학에서의 차원과 똑같은 성질을 지니기 때문에 이러한 명칭이 붙었다. 따라서 본 개념은 단위의 일종으로 생각할 수 있으나 엄밀히 말하자면 단위에 차원이라는 속성이 있는 것이므로 차원이 상위개념이며, 단위가 다르지만 같은 물리량을 나타낸다면 그 단위들은 '차원이 같다'고 표현한다. 예를 들어 미터, 인치, 리(里)는 모두 길이의 단위로서 차원이 $$\sf L$$로 같지만 킬로그램, 초, 미터는 각각 질량, 시간, 길이의 단위로서 차원이 각각 $$\sf M$$, $$\sf T$$, $$\sf L$$로 모두 다르다. 기호 뿐만 아니라 차수가 달라도 다른 차원이며 대표적으로 넓이는 $${\sf L}^2$$, 부피는 $${\sf L}^3$$으로 길이의 차원 $$\sf L$$과 다르다.
한편, 차원이 같다고 해서 실제 물리량까지 꼭 같지는 않은데 대표적으로 진동수와 각진동수가 있다. 이 둘은 차원이 $${\sf T}^{-1}$$로 같지만 각진동수는 진동수에 무차원(차원 기호가 $$\sf1$$)인 $$2\pi\,\rm rad$$이 곱해진 물리량이기 때문에 전자는 단위가 $$\rm s^{-1}$$, 후자는 단위가 $$\rm rad\,s^{-1}$$이다.[8]
표기시에 물리량은 이탤릭체, 단위는 로만체로 나타내기 때문에 차원 기호는 이들과의 구분을 위해 산세리프의 직립체로 나타내는 것이 일반적이다.
국제 단위계에서 정한 기본량은 다음과 같으며 각각 고유한 물리량 기호, 차원 기호가 있다.
라디안, 스테라디안 같이 차원이 없는 물리량들은 차원 분석을 하면 차원이 모두 약분되어 $$1$$이 되기 때문에 차원 기호를 $$\sf1$$로 나타낸다.[9] 그러나 이 숫자는 단순히 수학적으로 계산된 결과일 뿐, 예를 들면 진동수의 단위가 $$\rm Hz = s^{-1}$$이라고 해서 '진동수는 $$-1$$의 차원을 갖는다'고 표현하지 않으며 그냥 '차원이 $${\sf T}^{-1}$$이다'라고 표현한다. '''어디까지나 본 차원의 정의는 측정학(metrology)에서의 이야기이지, 이론 물리학에서 말하는 $$\boldsymbol n$$차원과는 별개의 이야기이다.'''
한편, 물질량의 단위인 몰은 본래 입자의 개수를 의미하는 단위이기 때문에 원래대로라면 무차원의 단위(즉 차원 기호가 $$\sf1$$)여야 하지만 위 표에서 알 수 있듯이 $$\sf N$$이라는 고유의 차원 기호를 쓴다. 이에 대한 비판 역시 끊이지 않고 있는데 자세한 것은 몰 문서 참조.
기본적으로 물리량은 측정을 통해서만 그 값을 알 수 있으며, 어떤 물체의 질량을 자로 재서 알 수 없듯이, 한 차원의 물리량을 측정하는 방식으로 다른 차원의 물리량을 측정할 수 없다. 이는 곧 '''차원이 다른 물리량끼리 덧셈, 뺄셈을 할 수 없다'''는 것을 의미한다. 서로 다른 두 양을 단순히 더한다고 별 의미가 생기진 않는 걸 생각하면 왜 그런지 설명이 될 것이다.
- $$6\,{\rm m} + 36\,{\rm kg} =~???$$
- $$3\,{\rm m^2} + 5\,{\rm N} - 985\,{\rm hPa} =~???$$
단적인 예시로 우주의 팽창에 관하여라는 유사과학 서적에서도 이런 차원 개념의 부재로 인한 초보적인 실수를 찾아 볼 수 있다. 해당 서적에서는 광속 $$c$$에 대해, $$1{\rm\,s}\times c=300000{\rm\,km}$$이며, 여기서 '''상수인 $$c$$를 생략'''하여 $$\rm1\,s=300000\,km$$, 즉 '''1초는 30만$$\rm km$$라는 공간'''[11]에 대응된다는 결론을 도출하는데, 이는 $${\sf LT}^{-1}$$이라는 차원을 가진 상수 $$c$$를 좌변에서 멋대로 지워버렸기 때문에 생긴 오류에 불과하며[12], 실제로 $$c$$를 없애기 전 양변의 차원은 $$\sf L$$로 동등했음을 알 수 있다. 즉, 저건 초보적인 계산 오류 그 이상도 이하도 아니다. 위는 간단한 식의 예시지만, 복잡한 계산을 다룰 때에도 이러한 오류를 피하기 위해 계산할때 양변의 차원이 맞는지 체크하는 습관을 들인다면 좋다.
다만 곱셈, 나눗셈은 가능하며, 곱셈의 경우 어느 한 물리량이 다른 물리량과 동시에 작용하여 의미를 갖는 것[13], 나눗셈의 경우 어느 한 물리량에 대한 다른 물리량의 비[14]로서의 의미를 갖는다. 물론 마구잡이로 곱하거나 나눈다고 해서 말이 되는 건 아니며, 오로지 그것이 물리적으로 의미를 가져야만 가치를 인정받을 수 있다. $$\rm kg^2m$$ 같은건 물리적으로 아무런 의미가 없는 잉여의 예.[15] 또한 [math(\rm kg\,m^2s^{-3}A^{-1})], [math(\rm m^2s^{-2})] 같이 단위만 갖고는 어디에 쓰이는 지 알기 어려운 것도 있기 때문에 각종 유도 단위의 사용이 허용되어 있다. 단, 이런 SI 기본 단위의 사용이 구속력을 지니지는 않기 때문에 어디까지나 권장되는 수준에 머물러 있으며 분야에 따라서는 SI 단위가 아닌 것들도 많이 쓰인다.
플랑크 단위계는 어떤 물리학적인 고찰 없이 순수하게 물리 상수들의 차원 분석만을 통해 구성된 단위계로, 기본 단위인 플랑크 질량 $$m_{\rm P}$$, 플랑크 길이 $$l_{\rm P}$$, 플랑크 시간 $$t_{\rm P}$$, 플랑크 온도 $$t_{\rm P}$$, 플랑크 전하 $$q_{\rm P}$$가 광속 $$c$$, 디랙 상수 $$\hbar$$, 중력 상수 $$G$$, 볼츠만 상수 $$k_{\rm B}$$, 쿨롱 상수 $$k_{\rm e} = \dfrac1{4\pi\varepsilon_0}$$의 조합(수식)으로 정의되며 각각 $$\sf M$$, $$\sf L$$, $$\sf T$$, $$\sf \Theta$$, $$\sf IT$$의 차원을 갖는다는 특징이 있다. 앞선 물리량 $$l$$, $$m$$, $$t$$ 등의 차원과 무슨 차이가 있겠냐 싶겠지만, 플랑크 단위계의 기본 단위들은 모두 물리 상수의 조합으로 구성되어있기 때문에 '''구체적인 값이 있는 상수이자 그 자체로 차원 단위'''라는 특징이 있다.[16] 또한 앞선 물리 상수들은 플랑크 단위계의 기본 단위를 이용해서 전부 대체되기 때문에[17] 결과적으로 각종 물리 공식들에서 $$c = \hbar = G = k_{\rm B} = k_{\rm e} = 1$$이 된 듯한 간단한 식으로 바뀐다는 특징이 있다.[18]
이와 비슷하게 상대론에선 광속이 매우 큰 수이면서 중요한 상수로 자주 나오기 때문에 계산상 편의를 위해서 빛의 속도가 1이 되도록 길이와 시간의 단위를 조정, $$E=mc^2$$으로 에너지와 질량 사이의 단위 변환이 자주 필요하기 때문에 질량의 단위를 에너지의 단위로 사용한다. 또한 화학이나 양자역학 등에선 $$\rm kg$$이 무의미할 만큼 작은 스케일을 다루기 때문에 탄소 원자의 질량을 12로 놓은 원자단위나, 전자볼트를 사용한다.[19]
SI 단위를 제외한 도량형은 차원 개념이 빈약하다.[20][21] 가령 입체각의 단위인 스테라디안($$\rm sr$$)은 정의가 (넓이)$$\div$$(넓이)이므로 $$\rm m^2/m^2$$라는 차원으로 생각할 수 있지만, 야드파운드법, 미국 단위계, 척관법에는 '''아예 대응 단위조차 없다.'''
3. 일상에서 말하는 차원
사고방식이나 정신 세계의 복잡한 정도를 수학에서 말하는 차원에 빗대어 표현한 것. 차원이 많아지면 측정해야 하는 것이 하나 더 늘어나게 되고, 더 다양한 구조를 띨 수 있게 되며, 하위 차원을 볼 수 있으니 꽤 적절한 비유라고 할 수 있다.
수학에서 말하는 차원대로라면 차원이 높을수록 더 많은 것에 대해 고려하고 더 깊은 생각, 더 기발한 생각을 해야겠지만, 어째서인지 차원의 숫자가 3을 넘어가면 그 사람이 '''얼마나 비현실적이고 황당한 생각을 하는가'''를 나타내게 된다. 그래서 흔히 주변을 보지 못하고 무식하게 앞만 보고 나가는 사람을 1차원적이라고 하지만, 황당한 생각을 자주 하는 사람은 4차원 정신세계를 지녔다고 한다. 4차원 캐릭터보다 더 황당하면 5차원, 그보다 더하면 6차원... 이런식으로 표현하지만, 이미 4차원도 충분히 당황스럽기 때문에 5 이상의 숫자는 잘 등장하지 않는다. 다만 4×2=8이어서 그런지, 8차원이나 그 배수 차원의 경우, 다른 차수의 차원에 비해서는 자주 언급되는 편이다.
반대로 3차원 이하의 경우는 주로 비하적인 용례로 쓰인다. 2차원은 주로 씹덕들에게 쓰는 드립으로, 만화같은데서 "나는 2차원 여자에만 관심있어, 3차원 여자는 필요 없음."뭐 이딴 식으로 씹덕을 묘사하는 경우가 많다. 1차원은 주로 '1차원적인 생각','1차원에만 머물러 있다'같은 식으로, 어떤 상황을 지나치게 단순하게 인식하고 대응하는 경우 비판하는 용례로 쓴다.[22]
위 같은 용례 외에도 일반인들과는 비교를 불허하는 먼치킨이 있다면 차원이 다르다는 식으로 사용되기도 한다.
4. 일본의 퓨전 재즈 밴드
Dimension
5. 서브컬쳐에서
dimension
물리량, 공간적 및 시간적인 치수로써의 원뜻보다는 시공간이 아예 다른 세계(=이차원#s-2)라는 뜻으로 쓰인다. 작게는 장르소설에 나오는 요정이 사는 세계나 마계 같은 곳부터 시작해서 좀 더 확장하면 평행세계와 그 변형세계까지 가고 크게는 과학법칙까지 다른 등 아예 딴살림을 차린 세계를 뜻하는 용어로 쓰인다. 여기에 대해서는 플레인 문서 참조.
그리고 우리가 사는 3차원보다 고차원[23]에서 거주하는 존재들도 있는걸로 나온다. 이런 존재들은 우리가 사는 차원의 법칙을 무시하거나, 3차원을 사는 우리들의 관점으로 마법과도 같은 일들을 간단하게 행사하는 신적인 존재들로 나온다. 가령 믹시즈피틀릭, Q(스타 트렉), 비욘더.
2차원 콤플렉스라는 것도 있는데, 2차원상의 인물과 관계된 말이다.
5.1. 마블 코믹스
포켓 디멘션 참조.
5.2. 유희왕
이차원#s-3 참조.
5.3. 네이버 웹툰 쿠베라
차원(쿠베라) 참조.
6. 관련 문서
[1] 간혹 점조차도 없는 무(無)의 공간을 -1차원으로 간주하는 경우도 있다. 또한 -1차원 도형은 Null Polytope 라고 불린다.[2] 예를 들어서 $$\left(x, y\right)$$라는 순서쌍을 고려하면 이는 $$x\left(1, 0\right)+y\left(0, 1\right)$$로 나뉘어 2개의 기저 단위벡터로 만들 수 있으므로 2차원이라고 볼 수 있다. 하지만, $$\left(x, x\right)$$는 $$\sqrt{2}x\left(\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}}\right)$$라는 하나의 기저 단위벡터로 만들 수 있으므로 1차원이 된다. 특히 $$n$$개의 $$n$$차원 벡터를 모아놨을 때, 이것이 실제로 이루는 벡터공간이 $$n$$차원인지, 아니면 그보다 낮은 차원인지를 따지는 것은 선형대수학에서 매우 중요하게 여기는 요소다.[3] n-1개의 변수를 이용해서 나오는 함수값까지 총 n개의 요소가 한 세트로 성립하기 때문.[4] https://en.wikipedia.org/wiki/Negative-dimensional_space[5] August Ferdinand Möbius, Der barycentrische Calcul(1827)[6] 푸앵카레 추측의 원안자[7] 따라서 4차원의 물체를 3차원의 공간으로 자르면 단면이 3차원의 물체가 된다.[8] 그래서 수학 분야와는 다르게 물리학에서는 $$\rm rad$$을 생략하지 않기도 한다.[9] 차원 기호가 $$\sf1$$일뿐 '''무차원'''이다. 1차원이 아님은 물론 '''$$\bf0$$차원도 아니다.'''[10] 물론 단위가 없는 미세구조상수처럼 무차원량인 것도 존재하긴 한다.[11] 심지어 길이도 아니고 공간이다.[12] 플랑크 단위계처럼 $$c=1$$로 놓는 단위계도 문제가 있는 것 아니냐고 생각할 수 있겠지만, 플랑크 단위계에서는 애초에 '''모든 물리량이 규격화(normalization)되어있어 무차원량이기 때문에 문제가 없다'''.(플랑크 단위계 참고) 즉, 플랑크 단위계에서는 [math(E = mc^2)]을 $$E = m$$으로 나타내는데 엄밀히는 $$E_{\rm N} = m_{\rm N}$$처럼 규격화됐음을 의미하는 표기를 같이 병기해줘야한다. 문제는 이걸 일일이 다 표기하면 매우 번거롭기 때문에 규격화 표기를 떼고 그냥 물리량 기호만 쓰는 경우가 태반이다. 게다가 규격화를 거친 단위계다보니 구체적인 값을 계산할 때에는 일일이 환원하는 귀찮은 작업을 거쳐야해서 보통 구체적인 값이 필요없는 분야에서 주로 쓰인다.[13] 일반화하면 적분의 개념[14] 일반화하면 미분의 개념[15] 다만, 언젠가 의미를 가질 수 있을 가능성까지 무시하면 안 된다.[16] 이 때문에 플랑크 단위계의 몇몇 단위들은 우리 우주에서 관측 가능하고 유의미한 최소 단위라고 해석하는 시각도 있다. 가령 플랑크 길이 $$l_{\rm P}$$의 구체적인 값은 $$l_{\rm P} = \sqrt{\dfrac{\hbar G}{c^3}} = 1.616\,255(18)\times\boldsymbol{10^{-35}}\rm\,m$$로 매우 작은 값이다. 단, 플랑크 질량 $$m_{\rm P}$$는 약 $$\rm0.0218\,mg$$으로 생각보다 그렇게 작은 값은 아니다.[17] 이를테면 $$c = \dfrac{l_{\rm P}}{t_{\rm P}}$$ 같은 식.[18] $$c$$의 경우 $$E = mc^2$$으로부터 유도 단위인 플랑크 에너지 $$E_{\rm P}$$를 정의할 수 있는데 $$E_{\rm P} = m_{\rm P}c^2$$이므로 $$c = \sqrt{\dfrac{E_{\rm P}}{m_{\rm P}}}$$로도 나타낼 수 있다. 이걸 원래 식에 대입하면 $$E = m\dfrac{E_{\rm P}}{m_{\rm P}}$$가 되고 식을 정리하면 $$\dfrac E{E_{\rm P}} = \dfrac m{m_{\rm P}}$$가 된다. 이때 각 물리량은 단위와 차원이 같은 것끼리 약분되어 무차원량이 된 상황이고(이를 '규격화'라고 한다) $$\dfrac E{E_{\rm P}} = E_{\rm N}$$, $$\dfrac m{m_{\rm P}} = m_{\rm N}$$으로 나타내면 $$E_{\rm N} = m_{\rm N}$$, 즉 마치 $$E = mc^2$$에서 $$c = 1$$이 된 듯한 식이 된다. 문제는 저 규격화 기호를 일일이 쓰기가 매우 번거롭기 때문에 '''보통 생략하고''' $$E = m$$처럼 쓰는데 차원을 고려하면 하나도 말이 안 되는 식이다.[19] 그래서 정확히는 $${\rm eV}/c^2$$를 써야 하지만 이것 역시 편의상 $$c^2$$을 떼는 경우가 비일비재하다.[20] 아예 같은 차원임에도 여러 단위가 물려 있다. 단위 간의 간격이 제멋대로인 것은 덤. 심지어 온스 같이 한 단위를 둘 이상의 차원에 돌려쓰는 경우도 있다.[21] 사실 간격이 다른 이유는 '측정하려는 대상에는 거기에 맞는 단위를 써야 한다'는 불문율 때문이기도 한데, SI 단위의 경우 차원이 같기만 하면 접두사만 바꿔서 생각하는 것으로 끝나지만, 전통 도량형은 작은 물건의 차원, 중간 물건의 차원, 큰 물건의 차원 등이 ''암묵적으로'' 정해져 있고(당연히 외부인을 위한 설명은 일절 없다.) 이를 어길 경우 눈총을 받게 된다.[22] 이게 비유가 아니라 진짜인 경우도 있다. 예시로 우주의 팽창에 관하여라는 책은 우리가 사는 공간이 1차원이라며 공간이 3차원이라고 믿는 게 정신병 증상이라고(...) 주장한다. 이런 경우는 의외로 많다.[23] 4,5차원 같은