허수
1. 개요
$$x$$에 대한 방정식 $$x^2=-1$$의 해 $$i $$ 또는 $$j$$인 허수단위를 실수와 곱하여 표현된 복소수다. 무리수와는 다르며, 무리수이면서 동시에 허수인 경우는 존재하지 않는다.
사차방정식 $$x^4=a$$ (단, $$a$$는 양의 실수) 꼴에서 항상 두 개의 실근과 두 개의 허근이 나온다. 추가적으로, 복소평면에서 네 근을 나타냈을 때 정사각형이 나온다. [1]
2. 기호
$$j$$의 경우 전류를 나타내는 $$i$$와 혼동될 것을 막기 위해 쓰인다. 적어도 공과대학에서는 $$i$$와 $$j$$ 중 원하는 것으로 써도 상관 없다. $$i$$와 $$j$$는 서로 완전히 동일한 것은 아니고, 특정 분야에서 약간의 뉘앙스 차이가 있다. $$e^{iwt}$$ 시간 약속과 $$e^{jwt}$$ 시간 약속은 다른 용도로 사용되는데 여기서 $$i$$와 $$j$$는 서로 켤레복소수 관계에 있다. 즉 특정 분야에서 $$i = -j$$ 이다.
전자공학 쪽에서는 전통적으로 $$i$$를 전류의 기호로 사용했기 때문에 허수단위로는 $$j$$를 쓴다. 여기서 $$j$$는 사원수군, 분할복소수에서 쓰는 $$j$$하고는 전혀 다른 허수단위다. 그런데 전자공학에서 사원수를 구경할 일은 전무하기(...) 때문에 상관없다. 물리학에서도 가끔 쓰기는 하지만 전자기학은 거의 완성되었다고 봐도 무방할 정도고, 다른 분야에서 전자기학 이론을 가져다 쓰는 것이 대부분이라 현재는 전류를 통상 대문자 $$I$$로 표기하며, 허수를 쓸 때는 그냥 $$i$$를 표기하는 경우가 더 많다.
3. 발견
1572년 볼로냐의 수학자 라파엘 봄벨리가 실수로는 나타낼 수 없는 이차 방정식의 근을 나타내기 위하여 수의 개념을 확장하여 정의했다. 허수(imaginary)라는 용어를 처음 사용한 것은 데카르트로서, 단순히 대수적인 필요에 의해 상상으로 만들어낸 숫자로서 실존하지 않는 수라는 의미이다.
4. 성질
$$ a + bi $$ ($$a,\;b$$는 실수)인 형식으로 나타내지는 수를 복소수라고 하고, $$\Re(a + bi) = a $$를 실수부, $$ \Im(a + bi) = b $$를 허수부라고 한다. 복소수는 $$ b \neq 0 $$일 때의 허수와, $$b=0$$일 때의 실수로 나뉜다. 허수 중 $$ a = 0 , b \neq 0 $$일 때, 즉 실수부가 0인 허수는 순허수라고 한다. 순허수의 경우에만 제곱하면 음수가 된다.[2] 다만 순허수가 아니어도 짝수 번 제곱해서 음수가 나오는 경우도 존재한다.
$$x^2=-1$$의 해 $$i$$ 또는 $$j$$ 말고도 허수단위는 몇 개 더 있다. 대표적으로 $$\epsilon ^2 = 0, \epsilon \neq 0$$를 만족하는 멱영원, $$j^2 = 1 , j \neq \pm 1$$를 만족하는 멱일원.
허수의 기본적인 룰로 크기의 비교, 즉 부등호를 정의할 수 없다. 즉, $$1+500i$$와 $$300+2i$$라는 두 수가 있을 때 누가 더 크고 작은지를 생각하는 것 자체의 무의미하다.[3] 이는 다른 말로 하자면, 허수에서는 양수와 음수의 개념이 존재하지 않는다는 것이다.[4] 허수 ''A''와 ''B''에서 ''A''-''B''와 0의 부등호 방향 자체를 애초에 정의를 할 수 없기 때문이다. 즉, 문제에서 '''다음 중 양의 허수를 구하시오''' 라는 문제는 볼 수 없을 것이다. 다만, $$a+bi$$ 꼴의 허수에서 허수 부분이 양수인 것을 고르는 경우의 문제는 나올 수 있다. 이는 어디까지나 허수의 계수의 부호를 보는 것이지 해당 허수가 양수인지 음수인지를 묻는 것이 아니기 때문이다.
어떤 수를 $$ i $$ 로 나누면 도리어 $$ -i $$ 가 곱해지게 된다. 허수 $$ i $$ 의 위수[5]는 4이므로 $$ i^4=1 $$ 가 성립하고, $$ i $$ 의 곱셈 역원 $$ i^{-1} $$ 는 $$ i^{-1} = i^3 = -i $$ 가 된다.
허수단위 $$ i $$의 제곱근은 $$\displaystyle \pm (\cos {\pi \over 4} + i \sin {\pi \over 4}) = \pm {1 + i \over \sqrt{2}} $$ 이다. $$ i $$의 제곱근을 $$ a+bi $$ 라 두면 삼각함수 없이도 구할 수 있다.
오일러의 공식에서 허수 지수도 정의할 수 있는데, 대표적으로 $$ (-1)^i = e^{-\pi} $$ 이 있다. 절댓값이 1인 수를 거듭제곱해서 절댓값이 1이 아닌 수가 나오는 사태가 벌어진다. 게다가 $$ i^i $$의 값 중 하나는 $$ e^{-\frac{\pi}{2}} $$ 로, 허수에 허수를 제곱하니 실수가 나오는 사태도 벌어진다.
삼각함수에도 넣을 수 있는데, 덧셈정리를 통해 실수부와 허수부를 분리하고, 순허수의 경우에는 쌍곡선 함수로 바뀐다.
- $$\displaystyle \cos{ i } = \cosh{ 1 } = \frac{ e + e^{ -1 } }{ 2 } = \frac{ e^2 + 1 }{ 2e } \approx 1.54308064... $$
- $$\displaystyle \sin{ i } = i\sinh{ 1 } = \frac{ e - e^{ -1 } }{ 2 } i = \frac{ e^2 - 1 }{ 2e } i \approx 1.17520119i... $$
- $${\displaystyle \sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}$$
- $${\displaystyle \cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}}$$
- $${\displaystyle \tan x = {\sin x \over \cos x} = -i \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{e^{ix}+e^{-ix}}}$$
모든 숫자가 그렇듯이 허수 역시 자연계의 현상을 나타내는데 매우 유용하고 특히 평면에서의 회전을 나타내는데에도 쓰인다.
예컨대 [math( e^{ix} = \cos x + i \sin x )] [8] 이기 때문에 과학이나 수학분야에서는 파장과 그에 관련된 phase(위상)를 다루는 데에 밀접하게 쓰이고 있다. 특히 라플라스 변환이나 푸리에 변환기법을 사용하여 지수함수나 파동함수를 대수함수로 변환시켰을 경우 대수함수의 실수근이 지수함수, 허수근이 곧바로 파동으로 나타나기 때문이다. 덕분에 각종 파장(전자기파, 음파, 물질파 등)의 파동방정식에 허수가 등장하고, 임피던스도 복소수 형태로 표현된다. 그리고 원자 내부 정도의 극소시점에서는 $$i$$가 '존재'한다(고 본다). 스티븐 호킹은 우주 초기에는 허수 시간이 존재했다는 주장을 한 바 있다.[9]
5. 실재하지 않는 수?
수학이론상의 필요에 의해 상상으로 만들어낸 실재하지 않는 수라고 일컬어지지만, 유의해야 하는 점은 '''허수를 포함한 모든 수는 자연계의 현상을 추상적으로 나타내기 위해 인간이 상상으로 만들어낸 개념'''에 불과하며, 수는 실존하지 않는다는 점이다.
즉 본질적으로 자연수나 실수도 허수만큼이나 허구로써, 우주의 언어를 인간이 이해할 수 있는 방식으로 강제로 번역한 것에 불과하다. 허수는 우주의 규칙을 숫자로 변환하는 과정에서 수로는 표현할 수 없는 규칙을 표현하기 위한 방식일 뿐이다. 그리고 물리학이나 전자공학에서는 이 허수를 사용한 복소수 체계는 전파나 신호전달 등 실제 자연현상을 설명하는데 실수만큼이나 편리하게 쓸 수 있고 물리현상에 잘 들어맞기 때문에 왜 이런 수를 존재하지 않는 도깨비 취급하는지 이해가 되지 않을 정도이다.[10]
한 예시로, 중학교 수학과정에서 주구장창 풀던 연립방정식이 복소수 개념을 포함하고 있다. 선형연립방정식의 합성을 모델링하면 행렬곱이 튀어나오고 2x2실행렬에서 허수단위 i가 존재하기 때문. 즉, $$ a+bi = \left(\begin{array}{cc}a \quad b \\ -b \quad a\end{array}\right) $$이므로 허수가 허구라 주장하는 것은 연립방정식이 모델에 불과하니 허구라는 말과 같은 수준이다.
5.1. 반박
위의 주장은 초중고 학습과정을 제대로 이해하지 못한 상태에서 선민의식을 표현하고 싶어서 내뱉은 얕은 생각일 뿐이다.
컴퓨터에서의 수 표현에서는 허수를 NaN, 즉 수 취급하지 않는다. 울프램알파 같은 데선 허수 잘만 표현하던데 뭐냐? 라고 물을 수 있는데, 내부적으로는 복소수를 실수 두 벌로 취급하는 식으로 우회해서 그렇다. 전자기 등의 경우도 마찬가지. 이것만 해도 위의 주장은 물리학이나 전자공학에 대해 알지도 못하면서 그저 이름만 갖다 댄 것임을 알 수 있다.
그리고 자연수는 인간이 원초적으로 갖고 있는 개념인 점을 볼 때[11], 자연수를 기반으로 분수와 소수까지도 꽤 잘 이해할 수 있지만 허수는 그렇지 않다는 점에서 역시 실수, 그 중에서도 무리수[12]와 허수로 가는 길목에 어떤 '건너기 어려운 강'이 있는 것은 명확하다. 예를 들어 다음과 같은 만화를 보면 서양에서도 허수를 어떻게 생각하는지 잘 알 수 있다.
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덤으로 이런 만화도 있다.귀여워라, 상상의 친구를 가지고 있네?[13]
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어디까지나 허수는 인간의 사고철학에서 생긴 개념이지 실제하는 개념은 아니다. 지금 우리가 알고 있는 과학체계는 절대적인 진리가 아니라 경험상 이렇게 하면 편하다는 것을 선험적으로 경험한 것의 일부를 문서화해서 정리해 둔 것일 뿐이며 동시에 겉만 그럴듯하게 흉내낸 중국제 짝퉁처럼 진짜 구동원리는 모르는데 이렇게 하면 겉보기에는 얼핏보면 비슷해보이는 것을 하고 있는 것일 뿐이란 것이다. 만약 허수가 실존한다면 그건 다른 영역에 존재하는 실수이지 허수가 절대 아니다.허수: 좀 합리적이어봐.
파이: 좀 현실적이어봐[14]
[1] 간단한 예로, $$x^4=16$$의 네 근은 $$2$$, $$-2$$, $$2i$$, $$-2i$$인데, 이 네 근을 복소평면에서 나타내면 한 변의 길이가 약 $$2.828$$인 ($$2\cdot\sqrt 2 \approx 2\cdot 1.414=2.828$$) 정사각형이 나온다.[2] 허수는 제곱할 때 양수가 나올 일은 존재할 수 없다. $$a$$와 $$b$$는 실수이고, $$b$$는 0이 아닐 때, $$a+bi$$를 제곱했을 때, $$a^2-b^2+2abi$$가 나온다. 이 때 양수가 되기 위해서는 $$2abi=0$$이 우선 성립을 해야 하는데 $$a$$가 0이 되면 순허수가 되면서 음수가 돼버리고, $$b$$가 0이 되면 결국 그 수는 실수가 돼버리므로 양수 자체가 나올 수가 없다.[3] 대신, 허수에 절댓값을 씌우면 실수값이 나오므로 상대적으로 원점에 얼마나 더 떨어져 있는지 비교할 수는 있다.[4] 이는 부호 함수 $$\mathrm{sgn}$$을 취하면 더 명확히 알 수 있는 점으로, 실수나 순허수가 아닌 이상 $$(1, -1, i, -i)$$ 중 하나가 아닌, 크기는 1이고 방향은 똑같은 복소수가 나온다. 단위 벡터와 비슷하다고 보면 된다.[5] 항등원이 되게하는 연산의 시행 횟수, 예컨대 허수단위 i를 곱셈하면(곱셈에 대한 항등원은 1), $$i^1=i$$, $$i^2=-1$$, $$i^3=-i$$, $$i^4=1$$.[6] 과학고등학교에서 배우는 고급 수학Ⅱ에 있긴 하겠지만, 여기서는 과학고생이 아닌 학생으로 기준으로 한다.[7] 이웃 나라 일본은 정규 과목인 수학Ⅲ에 수록되어 있지만, 센터시험(=수능)에 나오지는 않는다. 그러나 일본 유학을 준비하는 이과 유학생이라면 가끔씩 일본유학시험에 출제되기 때문에 공부하는것이 좋다.[8] 유명한 오일러의 등식이 이 공식의 특수한 형태이다.[9] 실수 시간에서는 원시우주가 지닌 자체 중력이 수축을 촉진하지만, 순허수 시간에서는 팽창을 촉진하기 때문이다. 즉, 원시우주가 인플레이션이 벌어질 수 있을 정도의 크기까지 팽창하는 계기를 허수 시간에서 찾은 것. 가속도는 그 특징상 단위시간의 제곱에 반비례하는데, 허수 시간을 단위 시간으로 두면 가속도가 (중심을 향한)$$+$$가 아니라 (중심을 향한)$$-$$가 되면서 중심으로 수축하지 않고 중심에서 팽창하게 된다. 실제 이론상으로는 이것보다 복잡하지만, 이해하기 쉽게 간략화한 도식상으로는 이런 내용에 가깝다.[10] 허수가 들어간 복소수의 경우 실수부, 허수부 각각에 하나씩 정보가 들어가는데, 이 말은 하나의 식에 두 가지의 정보를 넣을 수 있다는 의미이다. 즉, 2차원을 표현 할 수 있다는 말. (복소수 그 이상인 3차원 이상을 표현하려면 사원수 범위로 넘어가야 한다.) x, y, z는 미지수를 표현한 것에 불과한 것이므로 허수처럼 두 개의 정보를 넣었다는 것과 개념이 다르다. 게다가 복소수의 경우 두 개의 정보를 동시에 소유하고 있기 때문에 좌표처럼 단순하게 크기를 비교하는 것은 불가능하다.[11] 유아들을 대상으로 실험한 결과, 누가 가르쳐주지 않아도 1개 2개 등의 자연수적인 개념은 갖고 있는 것이 확인되어 있다.[12] 수체계의 확장과정 가운데 가장 이질적인 단계는 유리수에서 무리수를 추가하는 과정이다 오히려 복소수는 유리수까지의 확장과 유사하다. 이토록 무리수에 대한 이해는 복소수보다 더 까다로운 문제였다.[13] 허수(imaginary number)를 서양 아이들이 이상하게 많이 애용하는 상상의 친구(imaginary friend)에 비유한 센스가 돋보인다. 자식이 엄마와 아빠의 산술평균이라는 점도 개그 포인트이다.[14] 파이는 무리수(irrational, 비이성적이라는 뜻이 있음)이므로 합리적(rational, 유리수라는 뜻이 있음)으로 되라는 핀잔을 들으며, i는 허수(imaginary)이므로 현실적으로(real, 실수라는 뜻이 있음) 되라는 핀잔을 듣는 것. 한국어로 비슷하게 번역하자면, 허수: 무리 좀 하지 마. 파이: 헛짓 좀 하지 마. 정도로 번역할 수 있다.