2.1. 고교 교육과정 하에서의 최대·최소 정리
2.2. 최대·최소 정리(Exterme value theorem)
1. 개요
'''최대·최소 정리(Exterme value theorem)'''은
함수의 최댓값, 최솟값에 관한 정리로
연속함수의 대표적인 성질 중 하나이다.
2. 진술
2.1. 고교 교육과정 하에서의 최대·최소 정리
'''[ 정리 ]''' 최대·최소 정리(수학Ⅱ(2015))
함수 $$f: \mathbb R \to \mathbb R$$가 '''닫힌 구간''' $$[a, b]$$에서 '''연속'''이면, 함수 $$f$$는 구간 $$[a, b]$$에서 최댓값과 최솟값을 가진다.
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여기서 중요한 것은 '''닫힌 구간'''과 '''연속'''이다. 둘 중 한 조건이라도 성립하지 않는다면, 최댓값과 최솟값이 존재하지 않을 수도 있다. 일견 당연해 보이는 이 정리는, 고교 수준을 넘는다며 증명을 생략하고 넘어가는 경우가 대부분이다.
2.2. 최대·최소 정리(Exterme value theorem)
'''[ 정리 ]''' 최대·최소 정리(Exterme value theorem)
옹골집합 $$X$$에서 정의된 연속함수 $$f: X \to \mathbb R$$는 정의역 $$X$$에서 최댓값과 최솟값을 가진다.
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고교 수준의 정의에서 '''닫힌 유계구간'''이 옹골집합(Compact set)으로 치환된 형태이다. 실제로,
하이네-보렐 정리에 따르면 실수 집합의 닫힌 유계구간은 전부 옹골집합이므로, 위 정리를 온전히 포함하게 된다.
'''[ 정리 ]''' 최대·최소 정리(Exterme value theorem)
옹골집합 $$X$$와, 전순서(Total order) $$<$$가 주어진 위상 공간 $$(Y, <)$$ 사이에 정의된 연속함수 $$f: X \to Y$$는 정의역 $$X$$에서 최댓값과 최솟값을 가진다.
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3. 증명
당연해 보이는 것의 증명이 더욱 어려운 법이다. 이 정리를 증명하기 위해서는
유계(boundness)나
컴팩트성(compact)을 알아야 한다.
'''[ 보조정리 1 ]'''
함수 $$f: \mathbb R \to \mathbb R$$가 구간 $$[a, b]$$에서 연속이면, 임의의 $$x_0 \in [a, b]$$에 대하여 $$f \rvert_{I \cap [a, b]}$$가 유계이도록 하는 열린 구간 $$x_0\in I$$가 항상 존재한다.
- [ 증명 ]
함수 $$f$$가 $$x_0 \in [a, b]$$에서 연속이므로,
$$\lvert x - x_0 \rvert < \delta \ \Rightarrow \ \lvert f(x) - f(x_0) \rvert < 1$$
을 성립시키는 양수 $$\delta > 0$$가 존재한다. 이제 $$I = (x_0 - \delta, x_0 + \delta)$$라고 놓으면, 삼각부등식에 의해
$$x \in I \cap [a, b] \ \Rightarrow \ \lvert x - x_0 \rvert < \delta \ \Rightarrow \ \lvert f(x) \rvert < \lvert f(x_0) \rvert + 1$$
이다. 가장 오른쪽 $$\lvert f(x_0) \rvert + 1$$은 고정된 값이므로, $$f \rvert_{I \cap [a, b]}$$가 유계.□
이다. 가장 오른쪽 $$\lvert f(x_0) \rvert + 1$$은 고정된 값이므로, $$f \rvert_{I \cap [a, b]}$$가 유계.□}}}
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'''[ 보조정리 2 ]'''
임의의 옹골집합 $$X \subset \mathbb R$$ 위에서 정의된 함수 $$f: X \to \mathbb R$$에 대하여, '''[ 보조정리 1 ]'''이 성립한다면 함수 $$f$$는 $$X$$ 전체에서 유계이다.
- [ 증명 ]
각 $$x \in X$$에 대하여, '''[ 보조정리 1 ]'''의 열린 구간을 $$I_x = (x - \delta_x, x + \delta_x)$$라고 하자. 그렇다면 $$\left\{I_x \right\}_{x \in X}$$는 옹골집합 $$X$$의 열린 덮개(Open covering)임을 확인할 수 있다. 따라서, $$X$$의 유한 부분 덮개(Finite subcovering)가 존재하며, 적당히 이름을 다시 붙여서 $$\left\{I_{x_k} \right\}_{1 \leq k \leq n}$$가 해당 유한 부분 덮개라고 할 수 있다. 이 때, 함수 $$f$$는 구간 $$I_{x_k} \cap X$$에서 유계이므로
$$\lvert f(x) \rvert \leq M_k, \ \ \forall x \in I_{x_k} \cap X$$
을 만족하는 $$M_k > 0$$가 존재한다. 이제 $$\displaystyle M = \max_{1 \leq k \leq n} M_k$$라 놓자. 임의의 $$x \in X$$에 대해, $$X \subset \displaystyle \bigcup_{k = 1}^{n} I_{x_k}$$이므로 $$x \in I_{x_i}$$인 $$1 \leq i \leq n$$이 존재한다. 따라서 $$\lvert f(x) \rvert < M_i \leq M$$이고, 이는 모든 $$x \in X$$에 대해 참이므로 $$f$$는 $$X$$에서 유계이다.□
을 만족하는 $$M_k > 0$$가 존재한다. 이제 $$\displaystyle M = \max_{1 \leq k \leq n} M_k$$라 놓자. 임의의 $$x \in X$$에 대해, $$X \subset \displaystyle \bigcup_{k = 1}^{n} I_{x_k}$$이므로 $$x \in I_{x_i}$$인 $$1 \leq i \leq n$$이 존재한다. 따라서 $$\lvert f(x) \rvert < M_i \leq M$$이고, 이는 모든 $$x \in X$$에 대해 참이므로 $$f$$는 $$X$$에서 유계이다.□}}}
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'''[ 정리 ]''' 최대·최소 정리(수학Ⅱ(2015))
함수 $$f: \mathbb R \to \mathbb R$$가 닫힌 구간 $$[a, b]$$에서 연속이면, 함수 $$f$$는 구간 $$[a, b]$$에서 최댓값과 최솟값을 가진다.
- [ 증명 ]
'''[ 보조정리 1, 2 ]'''에 의해 $$f$$는 $$[a, b]$$에서 유계이다. 그러므로 $$M = \sup \left\{ f(x) \ | \ {x \in [a, b]} \right\}$$와 $$m = \inf \left\{ f(x) \ | \ {x \in [a, b]} \right\}$$가 실수 집합 내에서 존재한다. 정의상 $$x \in [a, b]$$이면 $$m \leq f(x) \leq M$$. 이제 $$f(x) = M$$인 $$x \in [a, b]$$가 존재함을 증명하자. 결론을 부정하여, 임의의 $$x \in [a, b]$$에 대해 $$f(x) \neq M$$, 즉 $$f(x) < M$$을 가정하자. 그러면 다음과 같이 정의된 함수 $$g: [a, b] \to \mathbb R$$는 잘 정의되며, 연속이다.( 연속함수의 성질 참고.)
$$g(x) = \dfrac 1{M - f(x)}$$
그러므로 $$g$$에도 '''[ 보조정리 1, 2 ]'''를 적용할 수 있다. $$g$$도 구간 $$[a, b]$$에서 유계이므로 적당한 실수 $$N$$이 존재하여, $$g(x) = \lvert g(x) \rvert \leq N$$이 성립한다. 따라서 $$\dfrac 1{M - f(x)} \leq N$$이고, $$f(x) \leq M - \dfrac 1N, \ \forall x \in [a, b]$$이다. 이는 $$M$$이 집합 $$\left\{ f(x) \ | \ {x \in [a, b]} \right\}$$의 최소 상한(Supremum)이라는 가정에 모순이다. 그러므로, 귀류법 가정이 틀렸음을 알고 함수 $$f$$는 $$M$$을 함숫값으로 가진다. 즉, $$f$$는 최댓값 $$M$$을 가진다. 한편, $$\inf f = - \sup (-f)$$ 및 $$\min f = - \max (-f)$$을 이용하면, 최솟값에 대한 결론도 얻을 수 있다.□
그러므로, 귀류법 가정이 틀렸음을 알고 함수 $$f$$는 $$M$$을 함숫값으로 가진다. 즉, $$f$$는 최댓값 $$M$$을 가진다. 한편, $$\inf f = - \sup (-f)$$ 및 $$\min f = - \max (-f)$$을 이용하면, 최솟값에 대한 결론도 얻을 수 있다.□}}}
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'''[ 정리 ]''' 최대·최소 정리(Exterme value theorem)
옹골집합 $$X$$와, 전순서(Total order) $$<$$가 주어진 위상 공간 $$(Y, <)$$ 사이에 정의된 연속함수 $$f: X \to Y$$는 정의역 $$X$$에서 최댓값과 최솟값을 가진다.
- [ 증명 ]
이번에도, 결론을 부정하여 $$f(X)$$가 최댓값을 갖지 않는다고 하자. 그러면, 임의의 $$f(x_0)) \in f(X)$$에 대하여 어떤 $$x' \in X$$가 존재하여, $$f(x_0) < f(x')$$이 성립한다. 따라서
$$\displaystyle f(X) \subset \bigcup_{x \in X} (- \infty, f(x))$$
이다. 그러므로, $$\left\{(- \infty, f(x)) \right\}_{x \in X}$$는 옹골집합 $$f(X)$$의 열린 덮개가 된다. 이제 이 열린 덮개의 유한 부분 덮개를 $$\left\{(- \infty, f(x_i)) \right\}_{1 \leq i \leq n}$$라 하면,
$$\displaystyle f(X) \subset \displaystyle \bigcup_{i = 1}^n (- \infty, f(x_i)) = (- \infty, \max_{1 \leq i \leq n} f(x_i))$$
이다. 그런데 $$\displaystyle \max_{1 \leq i \leq n} f(x_i) \in f(X)$$이므로, 이 값이 최댓값이 된다. 그러므로, 귀류법 가정이 틀렸음을 알고 $$f(X)$$는 최댓값을 가진다. 최솟값의 경우도 똑같이 증명할 수 있다.□
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