잘 정의됨
'''Well-definedness'''
1. 개요
어떤 개념이나 표기가 잘 정의되었다는 것은, 말 그대로 그것이 애매하게 정의되지 않고 '''잘''' 정의되었다는 뜻이다. 반대로 잘 정의되지 않은 경우는, 그 정의를 만족하는 것이 유일하지 않은 경우, 또는 정의 자체에서 뭔가를 가정하고 있는데 그 가정이 잘못된 경우 등이 있다.
만약 자신이 어떤 개념이나 표기를 정의했을 때는 항상 그것이 잘 정의되어있는지 잘 확인해야 한다. 이거 때문에 수십 년 연구가 통째로 날라가기도 한다. 자세한 것은 밑에 여담 항목 참조.
2. 예시
2.1. 잘 정의되지 않은 함수
함수가 잘 정의되지 않은 경우는 흔히 한 원소에 대한 함수값이 2개 이상이 나오는 경우나 함숫값이 존재하지 않는 경우, 정의역에 있어야 할 원소가 정의역에 있지 않은 경우 등이 있다.
- 0으로 나누기, 0의 0제곱: 잘 정의되지 않은 대상의 대표적 사례.
- $$f : \mathbb Q \mapsto \mathbb Z $$를 $$ f({b \over a}) = a+b $$(이 때, $$a, b$$는 정수)는 well-defined 되지 않은 함수이다. $$f({1 \over 2}) = 3 \neq 6 = f({2 \over 4}) $$이기 때문이다. 단, $$\gcd\left(a,b\right)=1$$이라는 조건을 추가하면 이는 잘 정의된 함수이다.
- 정수 $$n$$에 대해 $$\bar {n} $$를 "$$n $$과 $$10$$으로 나눈 나머지가 같은 수들의 집합"이라고 정의할 때[1], $$f(\bar {n}) = n $$ 라 한다면 $$f$$는 잘 정의되지 않은 함수이다. $$ \bar {1} = \bar {11} $$ 인데 $$ f(\bar {1}) = 1 \neq 11 = f(\bar {11})$$이기 때문. 만약 $$f(\bar {n}) = n\mod 10$$처럼 정의한다면 잘 정의된다. $$ \bar {n}$$ 표기 때문에 처음 보면 헷갈릴 수 있으니 주의. 이런 표기를 쓸 때는 항상 잘 정의됨을 생각해야 한다.
- $$f : \mathbb P(R^{n}) \mapsto \mathbb Z$$를 $$ f(U) = \begin{cases} 1, & U\ \mathsf{is\ open} \\ -1, & U\ \mathsf{is\ closed} \\ 0, & \mathsf{else} \end{cases}$$라 정의하면, $$\emptyset $$이나 전체집합, 이산 공간의 경우 임의의 개집합은 열린 집합이면서 닫힌 집합이므로 $$f$$는 잘 정의되지 않았다.
- 유계함수 $$ f : \mathbb R \mapsto \mathbb R $$에 대해 $$ m(f) = $$"$$f$$의 최솟값"라 하면 $$m$$은 잘 정의되지 않은 함수이다. $$f$$의 최솟값이 존재하지 않을 수도 있기 때문. $$ m(f) = \inf(f(\mathbb R))$$과 같이 정의하면 잘 정의된다.
- 벡터 공간 $$V$$의 차원을 "기저의 원소의 개수(또는 cardinality)"라고 정의했을 때도, 잘 정의되었는지 확인해야 한다. $$V$$의 기저는 여러 개 있을 수 있고, 그 중 원소의 개수가 다른 것이 있을 수 있기 때문. 물론 이 경우엔 기저들의 원소의 개수가 같음을 증명할 수 있다.
- 심지어는 함수의 합성에서도 '잘 정의되지 않는' 경우가 생기는데, 실수 범위에서 $$\{-1,0,1\}$$을 공역으로 갖는 부호 함수 $$\rm sgn$$와 $$\{-1,0,1\}$$을 정의역으로 갖지 않는 로그 적분 함수 $$\rm li$$를 합성한 꼴 중 $$\rm (li \circ sgn)$$은 잘 정의되지 않았다.
2.2. 잘 정의된 표기
- 새로운 연산 $$\heartsuit$$를 정의했을 때 , $$a\heartsuit b\heartsuit c$$ 와 같은 표기를 쓰기 전에는 항상 $$\heartsuit$$가 결합법칙을 만족하는지 확인해봐야 한다. 예를 들어 $$a\heartsuit b = 2a+b$$라 하면 $$ ((1\heartsuit 2)\heartsuit 3) \neq (1\heartsuit (2\heartsuit 3))$$가 되므로 결합법칙을 만족하지 않아, $$a\heartsuit b\heartsuit c$$의 표기를 쓸 수 없다. 또한 이는 $$ a/b/c$$ 같은 표기를 쓸 수 없는 이유이기도 하다. [2]
3. 여담
- 잘 정의된 표기의 중요성을 간과했을 때 벌어지는 재밌는 일 중 하나로, "가장 짧은 표현의 단어 개수가 세상에서 가장 큰 것"을 생각해보자. 즉, 존재하는 모든 것들에 대해 "가장 짧은 표현"을 생각해보고, 그것의 단어의 개수가 가장 많은 것을 생각해보자.[3] 그런데 우리는 방금 그것을 "가장 짧은 표현의 단어 개수가 세상에서 가장 많은 것"이라는 11단어[4]만으로 표현했으므로, 모든 것의 "가장 짧은 표현"은 9단어 이내여야 한다. 즉 모든 것은 11단어 이내로 표현 가능해야 한다! 따라서 존재하는 단어를 대충 넉넉히 1000만 개라고 하면, 이 세상에 존재하는 건 10^77개 이하이다.[5]
[1] 즉, $$\bar {1} =\left\{..., -19, -9, 1, 11, 21, ...\right\}$$[2] 실제로 집합론 같은 과목들을 보면 $$+, \times $$(우리가 아는 그 덧셈, 곱셈 맞다!) 같은 연산을 쓸 때도 결합법칙을 만족하는 것을 증명한 후에 $$a+b+c$$와 같은 표기를 쓴다.[3] 여기서 오류가 발생한다.[4] 어절은 9개[5] 더 깊숙히 파고 들자면 well-definedness 말고 다른 문제도 있다. 애초에 '표현'이라는 말이 애매할 뿐더러, 단어도 무한히 많이 만들어낼 수 있다. 당장 1부터 100,000,000까지는 1억개의 단어가 존재한다. 따라서 이 논증은 주로 언어의 애매성이나 언어의 한계를 깔 때 사용된다.