커누스 윗화살표 표기법
1. 개요
'''Knuth's up-arrow notation'''
수학자 도널드 커누스가 고안한 큰 수의 표기법.[1] 간단하게 화살표 표기법(arrow notation)이라고도 불린다. 하이퍼 연산을 표기하는 데 쓰이는 여러 표기법들 중 하나이다.
2. 하이퍼 연산
덧셈을 반복하면 곱셈, 곱셈을 반복하면 제곱이다. 이에 제곱의 반복인 연산도 있을 수 있음을 생각해볼 수 있다.
이렇게 개념을 확장하여 덧셈이 1차 연산, 곱셈이 2차 연산, 제곱이 3차 연산일 때 그 다음의 4차 이상의 연산들도 똑같이 정의될 수 있으며 이 ''n''차 연산을 하이퍼 연산(hyperoperation)이라고 부른다. 4차 이상의 하이퍼 연산의 일반적인 명칭은 테트레이션(tetration), 펜테이션(pentation), 헥세이션(hexation) 등 각 숫자를 뜻하는 접두사를 가져와 -ation으로 불린다.
3. 상세
실수 $$a$$와 음이 아닌 정수 $$b$$, 2 이상의 정수 $$n$$에 대하여
$$a \uparrow b = a^b$$
$$a \mathrel {\underbrace {\uparrow\uparrow\cdots\uparrow\uparrow}_{n}} b = a \uparrow^n b$$
$$a \uparrow^n b = \underbrace {a \uparrow^{n-1} a \uparrow^{n-1} \cdots \uparrow^{n-1} a \uparrow^{n-1} a}_{a가\;b개}$$
윗화살표 표기법은 2개의 수 사이에 윗화살표를 넣는 연산 표기법인데, 화살표 1개는 거듭제곱과 같고 2개 이상의 화살표는 그 화살표의 개수보다 1개 적은 화살표 계산을 1번째 수로 2번째 수만큼 반복한다는 의미이다. ''n''차 연산이 (''n''-1)차 연산의 반복이라는 것과 일맥상통한다.
즉 $$\uparrow^n$$는 정확하게 (''n''+2)차 연산과 같음을 알 수 있다.
$$a \uparrow^{x} b \uparrow^{y} c \uparrow^{z} d = a \uparrow^{x} (b \uparrow^{y} (c \uparrow^{z} d))$$
거듭제곱의 반복의 계산을 맨 위의 지수부터 아래로 하는 것[2]과 동일하게 여러개의 화살표 연산이 있을 때 괄호가 따로 없으면 맨 오른쪽의 화살표부터 왼쪽으로 계산함을 헷갈리지 말자.
4. 화살표 표기를 거듭제곱의 꼴로 쓰기
꽤나 번거롭지만 화살표 표기를 거듭제곱의 꼴로 나타낼 수 있다.
$$a \uparrow b = a^b$$
$$a \uparrow\uparrow b = \underbrace {a^{a^{\cdot^{\cdot^{\cdot^a}}}}}_b$$
[math(\left. \begin{matrix}
a \uparrow\uparrow\uparrow b = \underbrace {a^{a^{\cdot^{\cdot^{\cdot^a}}}}} \\
\qquad\qquad~ \underbrace {a^{a^{\cdot^{\cdot^{\cdot^a}}}}} \\
\qquad\qquad~ \underbrace {\;\;~ \vdots \;\;~} \\
\qquad\qquad~ \underbrace {a^{a^{\cdot^{\cdot^{\cdot^a}}}}} \\
\qquad\qquad~ a
\end{matrix} \right \} b)]
[math({}^{{}^{{}^{{}^{{}^{{}^{{}^{{}^{{}^{{}^{{}^{{}^{{}^{{}^{{}^{{}^{{}^{\displaystyle a \uparrow\uparrow\uparrow\uparrow b \, =}}}}}}}}}}}}}}}}} \!\!\!\!\!\!\!\!\underbrace {\left.\left.\left.\left. \begin{matrix}
\underbrace { a^{a^{\cdot^{\cdot^{\cdot^a}}}}} \\
\underbrace {a^{a^{\cdot^{\cdot^{\cdot^a}}}}} \\
\underbrace {\;\;~ \vdots \;\;~} \\
\underbrace {a^{a^{\cdot^{\cdot^{\cdot^a}}}}} \\
a
\end{matrix} \right \} \begin{matrix}
\underbrace {a^{a^{\cdot^{\cdot^{\cdot^a}}}}} \\
\underbrace {a^{a^{\cdot^{\cdot^{\cdot^a}}}}} \\
\underbrace {\;\;~ \vdots \;\;~} \\
\underbrace {a^{a^{\cdot^{\cdot^{\cdot^a}}}}} \\
a
\end{matrix} \right \} \cdots \right \} \begin{matrix}
\underbrace {a^{a^{\cdot^{\cdot^{\cdot^a}}}}} \\
\underbrace {a^{a^{\cdot^{\cdot^{\cdot^a}}}}} \\
\underbrace {\;\;~ \vdots \;\;~} \\
\underbrace {a^{a^{\cdot^{\cdot^{\cdot^a}}}}} \\
a ~\:\:
\end{matrix} \right \} a}_b)]
화살표 하나가 늘수록 수식이 굉장히 복잡해진다. 이렇게 윗화살표 표기법은 4차 이상의 하이퍼 연산을 3차 연산인 제곱의 꼴만으로 표기하기에는 한계가 있고 하이퍼 연산을 간단하게 표기하기 위해 이러한 하이퍼 연산 표기법이 필요함을 알 수 있는 예이다.
5. 같이 보기
[1] Knuth, Donald E. (1976). "Mathematics and Computer Science: Coping with Finiteness". ''Science''. '''194''' (4271): 1235–1242. Bibcode: 1976Sci...194.1235K. doi: 10.1126/science.194.4271.1235. PMID 17797067[2] $$a^{b^{c^d}} = a^{(b^{(c^d)})} \ne ((a^b)^c)^d$$