테트레이션
1. 개요
테트레이션(Tetration)은 특수함수의 하나이다. 큰 수에 대한 연산 중 하나로, 거듭제곱을 거듭하여 만들어지는 연산이다. 덧셈을 1차 연산, 덧셈의 거듭으로 만들어진 곱셈을 2차 연산, 곱셈의 거듭으로 만들어진 거듭제곱을 3차 연산이라고 하면, 거듭제곱을 거듭하여 얻어지는 테트레이션은 4차 연산이라고 할 수 있다.[1] 'Tetration'의 'tetr(a)-'는 4를 의미하는 접두사이다.
일반적으로 부호는 $$\uparrow$$(커누스 윗화살표 표기법)을 사용하여 $$a \uparrow \uparrow b$$로 쓰거나[2], $$b$$를 $$a$$의 왼쪽 위에 작게 앞지수로 붙여 표현($$^{b}a$$의 꼴)[3]하기도 한다. 이외에도 여러 표기법이 있긴 한데 수학자들 각자의 독자연구에 가까운지라 통일된 표기법은 없는 상태다.
$$a^a = a \uparrow \uparrow 2, $$
$$a^{a^a} = a \uparrow \uparrow 3, $$
$$\vdots$$
$$a^{a^{.^{.^{a^a}}}}$$($$a$$가 $$n$$개) $$= a \uparrow \uparrow n$$으로 정의한다.
1.1. 일반화
이를 일반화하여 $$n$$차 연산을 정의하는 것도 가능하다. 커누스 윗화살표 표기법을 이용하면 5차 연산(pentation)은 $$a \uparrow \uparrow \uparrow n = a \uparrow \uparrow (a \uparrow \uparrow (a \uparrow \uparrow \cdots (a \uparrow \uparrow a) \cdots ))$$($$a$$가 $$n$$개)로 정의할 수 있다. 그리고 화살표를 줄여서 $$a \uparrow \uparrow \uparrow n$$을 $$a \uparrow ^3 n$$으로 줄여 쓸 수 있다. 같은 원리로 6차 연산(hexation) $$\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow(\uparrow ^4)$$도 정의 가능하고, n차 연산(hyperoperation) $$\uparrow \uparrow ... \uparrow$$(↑가 $$n-2$$개, $$\uparrow ^{n-2}$$)도 정의 가능하다.
한편, 같은 수의 테트레이션뿐만 아니라 $$\{2,4,6,8\} \mapsto 2^{4^{6^{8}}}$$같이 다른 수의 테트레이션(즉, 수열의 테트레이션; nested Exponentials)까지 고려해 볼 수 있는데, 정작 여기에 대한 논의는 부실한 실정이다.[4] 페르마 소수가 수열 $$\{2,2,n\}$$에 대한 테트레이션에 관련된 문제.
2. 성질
자연로그의 밑 [math(e)] 한정으로 $$e \uparrow \uparrow n=\exp^{n-1} e$$ 꼴로 바꿀 수 있다. 여기서 $$n-1$$은 동일 함수를 합성한 횟수.
이외에도 다음과 같은 성질이 있다.
- $$a \uparrow \uparrow (n+1) = a^{a \uparrow \uparrow n}$$이므로 $$a \uparrow \uparrow n = \log_a (a \uparrow \uparrow (n+1))$$가 성립한다.
- [math(\displaystyle \lim_{n \to \infty} a \uparrow \uparrow n= -\frac{W(-\ln a)}{\ln a})]가 성립한다. $$W$$는 람베르트 W 함수이다.
- 실수 범위에서 [math(0 < a < 1)], $$1 < a \leq e^{\frac{1}{e}}$$에서 수렴한다.
- [math(a=\Omega)]인 경우 $$-\ln \Omega = \Omega$$이므로 $$\dfrac{W(\Omega)}{\Omega} = W(\Omega)\,e^{\Omega}$$가 된다.
- $$a = e^{\frac{1}{e}}$$인 경우, $$\ln e^{\frac{1}{e}} = \dfrac{1}{e}$$이고 $$W\left(-\dfrac{1}{e}\right) = -1$$이므로, 최종적으로 $$e$$가 된다.
- $$a=1$$인 경우 $$\dfrac{0}{0}$$ 꼴이 되기 때문에 정의가 되지 않지만, 로피탈의 정리를 이용해서 $$\displaystyle \lim_{a \to 1} -\frac{W(-\ln a)}{\ln a} = 1$$임을 알 수 있다.
- $$a=0$$인 경우도 비슷하게 $$\dfrac{\infty}{\infty}$$[8] 꼴이 되는데, 마찬가지로 로피탈의 정리를 이용해서 $$\displaystyle \lim_{a \to 0+} -\frac{W(-\ln a)}{\ln a} = 0$$임을 알 수 있다.
- $$a<0, a>e^{\frac{1}{e}}$$는 실수에서는 발산하지만 해석적 확장을 이용해서 값을 구할 수 있는데, 가령 $$\displaystyle \lim_{n \to \infty} -1 \uparrow \uparrow n$$의 경우 $$\displaystyle -\frac{W(-\mathrm{Log}(-1))}{\mathrm{Log}(-1)} = \frac{W(-i\pi)}{\pi}i$$임을 알 수 있다.
3. 여담
일상 생활에서는 거의 쓰일 일이 없는 연산이지만 (일반적인 교육과정에서는 아예 언급도 않는다, 드물게 거듭제곱의 거듭제곱은 등장한다), 그레이엄 수나 모우저처럼 거듭제곱으로는 나타낼 수 없는 끔찍하게 큰 수를 나타낼 때 유용하게 쓰이는 연산이라 수학자들이 계속 연구하고 있다.
거듭제곱에 대응되는 제곱근과 로그가 있는 것처럼 테트레이션에도 대응되는 초제곱근(super-root)과 초로그(super-logarithm, slog)가 존재한다.
- $$x \uparrow \uparrow n=a$$가 성립할 때, $$x$$는 $$a$$의 $$n$$초제곱근(super-root)이며, $$\sqrt[n]{a}_s$$로 표기한다. #
- $$n = 2$$일 경우, 람베르트 W 함수를 사용해서 $$\sqrt{a}_s = e^{W(\ln a)} = \dfrac{\ln a}{W(\ln a)}$$ 로 정의할 수 있다. 이 함수는 음함수이므로 양함수 형태로 만들면 $$\sqrt{a}_s = \dfrac{\ln a}{\left(\frac{W_{0}(\ln a)}{\bold{1}_{\mathbb{R}}(W_{0}(\ln a))}\right)} \cup \dfrac{\ln a}{\left(\frac{W_{-1}(\ln a)}{\bold{1}_{\mathbb{R}}(W_{-1}(\ln a))}\right)}$$가 된다.[9]
- $$n \uparrow \uparrow x=a$$가 성립할 때, $$x$$는 $$n$$을 밑으로 하는 $$a$$의 초로그(super-logarithm)이며, $$\mathrm{slog}_n(a)$$로 표기한다. #
- $$x \uparrow \uparrow 2$$의 경우 $$\displaystyle \sum_{i=0}^\infty \frac{(x\ln x)^i}{i!}$$라는 무한급수로 표현된다.
테트레이션에 대응하는 적분 연산이 아직 없다. 당장 가장 간단한 테트레이션 적분인 $$\displaystyle \int x^x \mathrm{d}x$$부터 대응 특수함수가 없는 상황이니... 그나마 $$[0, 1]$$ 구간 한정해서 2학년의 꿈이라는 이상적분이 정의되어 있기는 하다.
[image]
$$\displaystyle y = \int_{0}^{x} t^t \mathrm{d}t$$ 의 개형은 이렇게 생겼다. 점선은 개형이 비슷한 포물선인 $$\displaystyle y = x^2$$.
[1] 추가로 0차 연산은 다음수(successor)라고 하며, $$a$$의 다음수 $$a^+ = a + 1$$이다.[2] $$\uparrow$$를 하나만 쓰는 $$a \uparrow b$$는 $$a^b$$, 즉 거듭제곱과 같다.[3] 위키백과에서는 이 표기를 쓴다.[4] 우선 수열합을 나타내는 $$\Sigma$$, 수열곱을 나타내는 $$\Pi$$에 대응하는 새 기호를 고안해야 하는데 아직까지 그 기호에 대해 논의를 하려는 수학자가 없다.[5] 위 식에 $$n=0$$을 대입하면 $$a \uparrow \uparrow 0 = \log_a (a \uparrow \uparrow 1)=\log_a a=1$$이다. 아래 성질도 이 방법으로 얻어진 것이다.[출처] https://en.wikipedia.org/wiki/Tetration#Negative_heights[6] 위 식에 $$n=-1$$을 대입하면 $$a \uparrow \uparrow -1 = \log_a (a \uparrow \uparrow 0)=\log_a 1=0$$이다.[7] 위 식에 $$n=-2$$를 대입하면 $$a \uparrow \uparrow -2 = \log_a (a \uparrow \uparrow -1)=\log_a 0$$이므로.[8] $$\displaystyle \lim_{x \to 0+} -\ln x = \infty$$이고 $$\displaystyle \lim_{x \to \infty} W(x) = \infty$$이므로.[9] $$\bold{1}_{\mathbb{R}}$$는 실수 집합을 판별하므로, 실수가 아닌 함숫값은 제외된다.