2학년의 꿈
1. 개요
'''2학년의 꿈(sophomore's dream)'''은 다음 두 등식[1]을 가리킨다.
- $$\displaystyle \int^{1}_{0} x^x\,{\mathrm{d}}x = \lim_{b \rightarrow 0^+} \left(\int^{1}_{b} x^x\,\mathrm{d}x \right) = - \sum_{n=1}^{\infty} \frac1{(-n)^n} \approx 0.7834305107 \cdots$$
- $$\displaystyle \int^{1}_{0} \frac1{x^x}\,\mathrm{d}x = \lim_{b \rightarrow 0^+} \left(\int^{1}_{b} \frac1{x^x} \,\mathrm{d}x\right) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac1{n^n} \approx 1.291285997 \cdots$$
2. 상세
틀린 항등식 $$(x+y)^n = x^n + y^n$$을 1학년의 꿈이라고 부르는 것처럼, 적분 기호를 무한합 기호로 순진하게 바꿔놓고 그래도 된다고 우기는 해맑은 2학년의 꿈이라고 하는 것이다. 그러나 다행히도 1학년의 꿈이 틀린 것과는 달리 이 2학년의 꿈은 옳다. 자세한 증명은 해당 링크 참조.