1학년의 꿈
1. 개요
'''1학년의 꿈(Freshman's Dream)'''은 곱셈 공식을 쓸 때 가장 자주 하는 실수를 이론적으로 정리한 것이다.
$$(x+y)^n = x^n+y^n$$를 만족하는 임의의 실수 $$n, x, y$$는 자명한 조건인 $$n =1 \vee x+y =0 \wedge n \equiv 1 \bmod 2 \vee xy =0$$[1]
를 만족하는 수 이외에는 없다.
2. 설명
1과 가까운 두 수인 0, 2로 예를 들면
- $$(x+y)^0 \neq x^0+y^0 \Leftrightarrow 1 \neq 2$$
- $$(x+y)^2 \neq x^2+y^2 \Leftrightarrow x^2 + 2xy + y^2 \neq x^2+y^2$$
- $$\dfrac{1}{x+y} \neq \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \Leftrightarrow (x+y)^{-1} \neq x^{-1} + y^{-1}$$
- $$\sqrt{x+y} \neq \sqrt{x}+\sqrt{y} \Leftrightarrow (x+y)^{1/2} \neq x^{1/2} + y^{1/2}$$
그럼 복소수는 어떨까? '''드 무아브르 공식의 존재로 안 된다.''' 복소수 지수는 $$e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$$로 정의되는데, $$\left(e^{i\theta}\right)^n = \cos n \theta + i \sin n\theta \neq [\cos \theta]^n + i [\sin \theta]^n$$이므로 복소수에서조차 일반적으로 등식이 성립되지 않는다.
2.1. 성립되는 예외적 조건
충격적이게도 자명하지 않은 조건에서 이게 성립하는 경우가 있다. [math(p \in \mathbb{P})]인 $$p$$가 표수[3]인 체에서 $$p$$제곱을 하는 경우에 성립한다. 이항정리에 의하여
$$\displaystyle \sum_{r=0}^{p}\binom{p}{r}a^{r}b^{p-r} $$
[1] 중자는 $$x$$와 $$y$$가 서로 반수인 경우, 후자는 $$x,y$$ 중 하나라도 0인 경우. 중자의 경우는 $$n$$이 홀수일 경우 성립한다.[2] 음수의 경우 어차피 양수로 한 식을 역수로 취한 거라 양수의 예만 증명하면 자동적으로 증명된다. 예외적으로 위에 나온 $$n=-1$$ 같은 경우는 따로 증명해야 하지만.[3] 체 $$F$$에 대하여, $$F$$의 곱셈의 항등원 $$1_{F}$$을 유한번 더했을 경우, 덧셈의 항등원 $$0_{F}$$이 나온다면, 더해진 $$1_{F}$$의 최소 개수를 $$F$$의 표수(characteristic)라고 한다. $$1_{F}$$을 아무리 더해도 $$0_{F}$$이 나오지 않으면, $$F$$의 표수를 0으로 정의한다. $$F$$의 표수가 $$p>0$$이면 $$p$$는 소수임이 알려져 있다. 참고로 자연수, 정수, 유리수, 실수, 복소수 같은 '일반적'인 수 체계는 무한집합이므로 이들의 표수는 0이다.
$$\displaystyle\binom{p}{r}=\frac{p!}{r!(p-r)!} $$
$$\displaystyle\binom{p}{r}=pm=(1_{F}+\cdots+1_{F})m=0_{F}\cdot m=0_{F} $$
$$\displaystyle \begin{aligned} (a+b)^{p}&=a^{p}+\displaystyle\sum_{r=1}^{p-1}\binom{p}{r}a^{r}b^{p-r}+b^{p}\\&=a^{p}+\left(\sum_{r=1}^{p-1}0_{F}\cdot a^{r}b^{p-r}\right)+b^{p}=a^{p}+b^{p} \end{aligned} $$
3. 여담
자매품으로 해석학 및 미적분학 계열의 2학년의 꿈이 있다. 참고로 2학년의 꿈은 옳다. 아쉽게도 3학년의 꿈은 없다.