베르누이 정리
1. 개요
1738년 과학자 다니엘 베르누이가 정리,발표한 내용으로 유체가 규칙적으로 흐르는 것에 대한 속력, 압력, 높이의 관계에 대한 법칙.
간략하게 말해서 에너지 보존 법칙의 이상유체 버전이라고 생각해도 된다.
베르누이 정리가 일반적으로 진화하면 나비에-스톡스 방정식이다.
2. 설명
이해를 위해서는 에너지 보존이라고 생각해도 무방하나, 엄밀히는 뉴턴의 운동법칙 F=ma의 변형이라 보는 것이 정확하다.[1] 하지만, 유도된 형태는 에너지 보존 법칙과 동일한 형태를 갖는데, 이는 비 압축성 유동의 경우 에너지 방정식이 운동량 방정식과 분리(decoupled)되면서, 운동량 방정식의 해는 에너지 방정식의 해를 자연히 만족한다는 사실에서 기인한다 (비 압축성유동의 경우 에너지 방정식은 온도에 관한 방정식과 운동에너지에 관한 방정식으로 나누어 질 수 있고. 여기서 비점성 유동을 가정하면, 운동에너지에 관한 방정식은 운동량 방정식과 속도의 내적과 동치임을 보일 수 있다. 즉 운동량 방정식의 해는 운동에너지 방정식의 자명한 해다). 이는 상당히 중요한 사실인데, 왜냐면 근본적으로 운동량 보존과 에너지 보존은 별개의 법칙이기 때문이다. F=ma를 속도형태로 변형한뒤 중력장에서 적분하면 운동에너지와 위치에너지의 합이 보존됨을 보일 수 있지만, 이것이 에너지 보존법칙 자체의 증명과는 별개인 것과 같은 이치다.
일상적인 예로 바람이 많이 부는 날 창문이 살짝 열려 있으면 바람이 쌩쌩 소리를 내며 들어오는 것이 있다. 빨리 달리는 차에 앉아서 창문을 열면 휴지나 비닐봉지들이 정신없이 날라다니며 결국 바깥으로 탈출하는 경우도 여기에 해당되고 바깥의 넓은 공간에서 좁은 창문 통로를 지나면 압력 차이가 생기고 속력이 증가하여 바람이 빨리 들어와서 바람이 쌩쌩 들어오는 것이다. 또 다른 예로 바람이 많이 부는 날 문이 열려 있을 때 문이 저절로 세게 닫히게 되는 것이 있다. 문이 닫히기 시작하면 계속 압력 차이가 심해지고 공기의 속력은 빨라지므로 더욱 더 문이 닫히는 쪽으로 공기가 흐르게 되므로 문의 속력이 빨라지다가 세게 큰 소리를 내며 닫히는 것이다.
하지만 유체역학을 공부하면 모든 경우에서 베르누이의 정리가 성립하는 것은 아니라는 것을 알 수 있다. 베르누이의 정리는 점성이 없는 유체(Inviscid Flow)에서만 성립하며[2], 유체가 비회전성(Irrotational)인 경우가 아니라면 동일한 유선(Streamline)상에서만 성립하는 정리이다. 한편 압축성(Compressible) 유체의 경우에는 공식이 위의 식과는 약간 달라진다. 다만 공기역학 분야에서 유체를 비점성으로 가정하고 대략적 특성을 알아보거나 하는 경우가 있는데, 이럴 때 베르누이의 정리가 현실에서도 유용하게 사용될 수 있다.
수식을 이용하지 않고 간단히 설명하자면 폭이 넓었다 좁아지는 도로에서 실제로 정체가 일어나는 구간은 폭이 좁은 도로가 아닌 폭이 좁아지기 전의 넓은 도로인 것과 같다. 폭이 좁은 도로의 정체된 정도(압력)은 그 전의 넓은 도로보다 훨씬 적다.
3. 전제
베르누이의 정리를 적용하기 위해서는 몇 가지 전제가 만족되어야 한다.
- 유체는 비압축성이어야 한다. 압력이 변해도 밀도가 변하지 않아야 한다.[3]
- 유선(Streamline)이 경계층을 통과해서는 안 된다. 단, 비회전성 유동일 경우에는 상관없다.
- 점성력이 존재하지 않아야 한다.[4]
- 시간에 대한 변화가 없어야 한다(정상 상태).[5]
4. 정리
$$ p + {1 \over 2} \rho v^2 + \rho gh = \mathsf{constant} $$
$$ {p \over \rho} + {v^2 \over 2} +gh = \mathsf{constant} $$
유체 내의 한 점에 대해,
- $$ p $$는 그 점에서의 압력
- $$ \rho $$는 유체의 밀도
- $$ v $$는 그 점에서의 유체의 흐름 속도
- $$ h $$는 그 점의 기준면에 대한 높이
- $$ g $$는 중력 가속도
여기서 $$ q \equiv {1 \over 2}\rho v^2 $$를 동압력이라고 정의하면, 다음과 같이 쓸 수도 있다.
$$ q + \rho gh + p = \mathsf{constant} $$
주의할 것은 다른 조건이 유지된다면 동압력과 정압력은 서로 변화량의 합이 0인 관계에 있다는 것이다. 흔히 수압이라고 말하는 동압력이 높으면 정압력은 오히려 낮아진다. 따라서 좁은 관을 통과할때 정압력은 떨어지지만 동압력은 높아지며 유체의 속력은 빨라진다. 이는 제1정리에 의해서도 도출되는 결과이다. 따라서 수압(동압력)을 높이려면 넓은 관이 아니라 좁은 관을 써야한다.
5. 유도
5.1. 연속 방정식
물 호스의 끝을 누르게 되면, 물줄기가 가늘어지고 유속이 빨라진다.
질량 보존의 법칙에 따라, 결과적으로 단위 시간당 흐르는 물의 양은 일정하게 된다.
이것을 식으로 정리하면,
$$ S_1v_1 = S_2v_2 $$ 또는 $$ {S_2 \over S_1} = {v_1 \over v_2} $$ ($$ S $$ : 단면적, $$ v $$ : 속력)
이고, 이를 연속 방정식이라고 부른다.
5.2. 베르누이 정리
일-에너지 정리에 의해, $$ W=\Delta K + \Delta U $$ 이다. ($$ W $$ : 일, $$ K $$ : 운동 에너지, $$ U $$ : 위치 에너지, $$ \Delta $$ : 변화량을 의미.)
일의 정의에서
$$ W=F\Delta x$$ 이고, ($$ F $$ : 힘, $$ x $$ : 위치)
압력의 정의 $$ p = {F \over A} $$를 이용하면, ($$ A$$ : 단면적)
$$ W=pA\Delta x=p\Delta V $$ 가 된다. ($$ V $$ : 부피)
식을 풀어 쓰면,
$$ W = p_1A_1\Delta x_1 - p_2A_2\Delta x_2 = (p_1 - p_2) \Delta V $$
$$ (p_1 - p_2)\Delta V = {1 \over 2}\Delta m(v_2^2-v_1^2) + \Delta mg(h_2 - h_1) $$ ($$ v $$ : 속도, $$ h $$ : 높이, $$ g $$ : 중력 가속도)
$$ = {1 \over 2}\rho \Delta V(v_2^2-v_1^2) + \rho \Delta Vg(h_2-h_1) $$
$$ \Delta V $$를 소거하고 정리하면
$$ p_1+ \rho gh_1 + {1 \over 2} \rho v_1^2 = p_2+ \rho gh_2 + {1 \over 2} \rho v_2^2 $$
6. 이용
- 피토관 - 피토관은 정압과 동압을 측정하고 베르누이 방정식을 이용해 공기의 속도를 계산하는 장치이다.
- 온돌(구들)
- 유량계
- 날개 없는 선풍기
- 마그누스 효과 - 쉽게 설명하면 회전하며 날아가는 공이 뜨는 원리. 공의 입장에서 보면 공 주변의 공기가 공의 속력과 같은 속력으로 공을 지나치게 되는데, 이때 공이 회전하고 있기 때문에 회전하는 방향에 나란한 방향으로 속력이 증가하게 되면서 공 위아래에 속도 차로 인한 압력 차가 발생하여 공이 위로 뜨거나 아래로 급격히 떨어지게 된다.[7]
- 날개 - 베르누이 정리와도 어느정도 관련은 있다. 날개 주변을 흐르는 공기는 날개 위는 압력이 작아지고 아래는 압력이 커지며 이탓에 날개 위아래 공기흐름의 속도 차이 역시 발생한다. 상세한 내용은 양력 참조.
- 카뷰레이터 - 공기의 흐름을 좀 더 유도하고 보다 나은 연료의 기화를 위해 카뷰레이터 내부에 벤츄리 튜브가 설치 되어 있다. 문제는 카뷰레이터를 아직 사용하는 오래된 경비행기에서는[8] 기화하는 연료와 저기압의 형성으로 인해 대기 중 수분이 얼어 카뷰레이터 내부에 얼음이 생성(아이싱)될 수 있다. 좀 더 위에 있는 스로틀 조절용 버터플라이 밸브에서도 같은 현상이 일어날 수 있어 파일럿들은 이것들에 대해 열심히 훈련받는다. 자동차 업계에서는 환경규제 때문에 거의 사장된 기술.
- 분무기- 분무기의 방아쇠 모양의 손잡이를 당기면 스피링이 압축되어 실린더 내부의 기체는 빠져나가고 액체의 유입은 쇠구슬이 막게 되어 실린더 내부는 저기압 상태가 된다. 이후 손을 떼면 베르누이 원리에 의해 용기내의 액체는 올라오게 되고 다시 손잡이를 당기면 분출되게 된다.
- - 바람이 좁은곳을 통과하여 넓은 곳으로 나오면 단열 팽창되면서 온도가 내려간다는 원리... 였으나 실험결과 1C의 온도를 낮추는데 대기압의 5배의 압력이 필요하다는 것이 밝혀졌다. 그냥 차라리 그 면적의 창문을 열어 놓는것이 시원하다고 한다.
7. 참고
베르누이의 정리
[1] 나비에-스톡스 방정식도 결국은 a= F/m 이고, 일반화된 베르누이 정리의 유도는 나비에-스톡스 방정식에서 출발함을 떠올려보면 이는 자명하다.[2] 역학적 에너지 보존의 법칙이 마찰이 있는 경우에 성립하지 않는 것과 비슷한 이유이다.[3] 압축성일 경우에는 압력이 밀도의 함수가 되므로, 아래의 식 전체를 밀도로 나눈 후, 압력/밀도 항을 적분형으로 고쳐주면 압축성 유체에 대하여도 정리를 확장할 수 있다.[4] 고등학교 교과서에선 이를 맴돌이성 흐름이 나타나선안된다고 서술한다.( )[5] 위의 압축성 조건과 마찬가지로, 비정상 조건을 포함한 형태로도 정리의 확장이 가능하다. 정리를 적용하고자 하는 유선을 따라 유체의 가속을 고려하면 된다. 역시, 결국은 F=ma가 모든 걸 설명한다...[6] 액체의 속도가 너무 높아져서 압력이 낮아지고, 그에 따라 액체가 기체로 변해, 액체 내에 기포가 생기는 현상.[7] 엄밀하게 말하면 마그누스 힘은 베르누이의 정리가 아닌 Kutta-Zhukhovsky Lift Theorem에 의해 설명된다. 이는 물체 주변에 Boundary Layer가 생기고, Layer 내부의 현상은 베르누이의 정리로 설명할 수 없기 때문이며, 마그누스 힘의 근원은 회전에 의한 '압력 차'가 아닌 '회전(Circulation)' 그 자체이기 때문이다.[8] 요즘 항공기용 왕복 엔진은 연료 분사식을 쓴다. 대부분 이런 경우 injection의 i자가 엔진 이름에 들어간다.