각뿔
1. 개요
角뿔 / Pyramid
다각형을 밑면으로 삼고, 다각형의 모든 변을 다각형이 존재하는 평면 밖의 한 점(정점, 頂點)과 이은 입체 도형.
밑면 하나와 밑면의 변의 개수만큼의 삼각형 옆면으로 이루어져 있다. 삼각뿔의 경우 밑면도 삼각형이므로 밑면과 옆면을 구분할 수 없다. 모든 면이 정다각형인 볼록 다각뿔은 유클리드 공간에서 오직 3개(정삼각뿔, 정사각뿔(J1), 정오각뿔(J2))만 존재한다.[2]
각뿔의 밑면과 평행한 모든 단면은 밑면과 닮음이다.
2. 일반적인 다각뿔에 대한 정보
각기둥 밑면의 넓이를 $$A$$, 밑면의 둘레를 $$\ell$$, 높이를 $$h$$라고 할 때
부피(volume) = $$\displaystyle\frac{1}{3}Ah$$
2.1. 정n각뿔에 대한 정보
3. 확장된 의미
2차원 다각형의 변을 한 점과 이어 3차원 도형인 각기둥을 만들 수 있듯이, n차원의 도형들을 한 차원 더 높은 차원의 어느 한 점과 이어 초각뿔(hyperpyramid)을 만들 수 있다. 슐레플리 부호는 ()∨P[6]로 3차원 다각뿔과 같다.
밑면의 초넓이가 A[7], 높이가 h인 초부피의 높이 t에서의 단면은
$$\displaystyle A\left(\frac{h-t}{h}\right)^{n-1}$$
이므로, 높이 0~h까지 적분하면
$$\displaystyle\int^{h}_{0}A\left(\frac{h-t}{h}\right)^{n-1}\, dt$$
$$=\,\displaystyle-A\frac{h}{n}\left[\left(\frac{h-t}{h}\right)^n\right]^{h}_{0}$$
$$=\,\displaystyle\frac{1}{n}Ah$$
따라서 밑넓이 A, 높이 h인 n차원 초각뿔의 부피는 $$\displaystyle\frac{1}{n}Ah$$이다.
[1] 이게 왜 다각뿔에 해당하는지 궁금할 수도 있으나, 슐레플리 부호로 ()∨{5/2}인 오목 정다각뿔이다. 자세한 내용은 정n각뿔에 대한 정보에서 슐레플리 부호를 참조.[2] 정삼각형이 6개 모이면 각도가 360º가 되고, 이는 평면도형으로 축퇴되며, 당연히 이보다 많은 정삼각형은 한 점에 모을 수 없다.[3] 슐레플리 부호에서 ()는 점을 의미하며, ∨는 한 지점으로 도형을 잇는다는 연산자이다.[4] 참고로 {}는 선분을 의미하고, ()∨{}는 선분의 양 끝을 한 점과 이은 도형, 즉 삼각형을 의미한다.[5] 밑면과 옆면을 꼭지점으로 치환하고 다시 이어도 똑같은 모양이 된다.[6] 단, P는 n-1차원 도형[7] n차원 초입체를 이루는, n-1차원 도형. 면처럼 취급한다.