정다각형
1. 개요
'''正多角形'''
선분으로 이루어진 모든 변의 길이와 모든 내각의 크기가 같은 다각형을 의미한다.
2. 성질
정다각형의 대표적인 성질 두가지는 모든 변의 길이와 모든 내각의 크기가 같다는 것이다. 정다각형의 성질은 다각형의 성질을 모두 갖는다. 그리고 일부 학생들이 잘못 알고있는 것 중 하나는 정다각형은 모든 대각선의 길이도 항상 같아야 한다고 생각하는데, 그렇지 않다. 대각선의 길이가 달라지는 것은 정육각형부터 해당되니 주의.
아래는 정다각형들의 성질이다.
- 모든 내각의 크기가 같다.
- 모든 변의 길이가 같다.
- 두 다각형이 서로 같은 종류의 다각형이라면(정사각형과 정사각형, 정오각형과 정오각형 등의 관계) 둘은 항상 닮음이다.
- 선분으로 이루어져 있다.
- 쌍대(dual)[1]는 닮음 관계의 자기 자신이다. 즉 정삼각형의 쌍대는 정삼각형, 정사각형의 쌍대는 정사각형, 정오각형의 쌍대는 정오각형... 이런 식이다.
2.1. 슐레플리 부호
정다각형은 {n} 기호를 사용해서 그 정다각형을 나타내는 기호를 나타낼 수 있다. 이것을 슐레플리 부호라고 한다.[2] 여기서 n은 변의 개수를 의미한다. 오목 정다각형은 {n/m} 꼴로 표현하는데, 여기서 m은 이 다각형에서 꼭지점을 이을 때 m-1개의 꼭지점을 건너뛰어 연결한다는 뜻이다.
예를 들어, 이 도형은 꼭지점 5개를 한 칸씩 건너 뛰어 만들어진 정오각별로, {5/2}이다. 꼭지점이 7개인 정다각별은 두 가지가 존재하는데, 각 꼭지점을 한 칸씩 건너뛰어 연결한 {7/2}와 두 칸씩 건너뛰어 연결한 {7/3}이 존재한다. 또다른 예로, 꼭지점이 9개인 정다각형은 두 가지가 존재한다. 꼭지점을 한 번 건너뛰어 연결하면 {9/2}가 만들어지며, 꼭지점을 두 번 건너뛰면 {9/3}이 나오는데, {9/3}는 정삼각형과 같다. 꼭지점을 세 칸 건너뛰어 연결하면 {9/4}가 만들어진다.
3. 교육과정에서
초등학교에서는 --3학년 1학기때(2015 개정 교육과정에서는 4학년 2학기 때) 정다각형에 대해 배우게 되며,
중학교에서는 1학년 2학기 2단원부터인 도형 단원에서 평면도형에 대한 공식, 성질, 정의를 배우게 된다.
고등학교에서는 수1 도형의 방정식에서 많이 써먹게 된다.
4. 관련 문서
[1] 경계의 중심을 꼭짓점삼은 짝도형. 여기서는 선분의 정가운데를 꼭짓점삼은 도형을 말한다.[2] 물론 정다각형에서 끝낼 거면 이 부호는 만들지도 않았다. 이 부호는 정다면체, 나아가 '''n차원''' 정다포체에도 쓸 수 있다.