사면체

사면체의 모습.

1. 개요

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四面體, Tetrahedron
한 개의 꼭짓점에 세 개의 면이 만나고, 네 개의 삼각형면으로 이루어진 다면체. 가장 적은 수의 면으로 구성된 다면체인 단체(simplex)[1]로, 삼각뿔이라고도 불린다. 면들이 모두 정삼각형일 경우 '''정사면체'''라고 부른다. 정사면체 단독으로만은 정육면체와 같이 공간을 빈틈 없이 공간을 채울 수 없으나, 정팔면체의 면과 정사면체의 면을 이어붙이는 방식으로 함께 배열할 경우 공간을 빈틈 없이 채울 수 있다. 무게중심이 정육면체보다 아래에 있어서 더 안정적이다.

2. 정사면체

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정다면체중 하나인 정사면체의 모습.

正四面體, Regular tetrahedron[2]
면들이 모두 정삼각형인 사면체를 특별히 정사면체라고 부른다. 정사면체는 정삼각뿔의 일종이다. 정사면체 다섯 개로 4차원 도형인 정오포체를 만들 수 있다. 16개로는 정십육포체를, 600개로는 정육백포체를 만들 수 있다.

2.1. 정사면체에 대한 정보

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'''단위/특성'''	'''개수'''	'''비고'''
슐레플리 부호		{3,3}
꼭짓점(vertex, 0차원)	4
모서리(edge), 1차원)	6
면(face, 2차원)	4	정삼각형
쌍대		정사면체 {3,3}
포함 관계[3] 또는 '''다른 이름'''[4]		정삼각뿔(Equilateral triangular Pyramid) '''3-단체(3-Simplex)'''

한 변의 길이가 $$a$$인 정사면체가 있을 때

• 높이(height)[5] = $$\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{3}a$$
• 외접구의 반지름 = $$\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{4}a$$[A]
• 내접구의 반지름 = $$\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{12}a$$[A]
• 총 모서리 길이(total edge length) = $$6a$$
• 겉넓이(surface area) = $$\sqrt{3}a^2$$
• 부피(volume) = $$\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{12}a^3$$

2.2. 다른 정다면체들과의 관계

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• 정사면체는 특이하게도 정사면체 자기 자신과 쌍대(Dual)[6] 도형이다. [7][8]
• 정사면체의 꼭짓점에서 모서리들의 절반 지점에 있는 점들을 이은 4개의 면들로 잘라내면 정팔면체가 만들어진다.
• 정육면체의 8개 꼭지점 중에서 서로 이웃하지 않은 꼭짓점을 이은 선분으로 이루어진 도형은 정사면체이다.
• 정사면체를 단위로 해서 만들 수 있는 4차원 도형로 정오포체, 정십육포체, 정육백포체가 있다.

2.3. 여담

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정다면체들 중에서 유일하게 안정적으로 세워놓았을 때 위를 향하는 면이 없다. 따라서 주사위를 만들었을 때 면이 아닌 꼭짓점을 기준으로 숫자를 표기하기도 한다.
고등학교 기하와 벡터 내용이랑 같이 수학 영역에 수시로 등장해 학생들이 정사면체의 높이, 무게중심, 이면각[9], 넓이 등등의 정보를 머릿속으로 귀띔하게 되었다.

3. 현실에서의 예시

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• 방파제
• 사면체형 우유 팩. 국내에서는 커피포리가 유명하다.
• 마름쇠
• 메테인, 실레인[10], 암모니아, 암모늄, 포스핀, 아르신[11] 이온 등 일부 4~5분자 화합물. 5분자 화합물의 경우 중심 원자를 제외한 나머지 원자들이 사면체 모양을 가진다.
• 피라밍크스
• 정사면체 주사위
• 분자

[1] 유클리드 기하학에서는 3개 이하의 면으로는 절대로 다면체를 만들 수 없다.

[2] 복수는 regular tetrahedra

[3] 반드시 이 다면체를 지칭하지는 않으며, 해당 이름이 비슷하게 생긴 고르지 않은 다면체도 포함하는 경우

[4] 반드시 이 도형과 닮거나 합동인 도형을 지칭하는 이름.

[5] 한 면에서 반대쪽 꼭짓점까지의 거리

[A] A B 정사면체의 각 꼭짓점에서 마주보는 면에 수선의 발을 그으면, 모든 수선이 한 점에서 만난다. 밑면 높이의 일부 및 정사면체 높이의 전체를 이루는 선분으로 구성된 직각삼각형과 옆면 높이의 일부 및 정사면체 높이의 일부를 이루는 선분으로 구성된 직각삼각형은 서로 AA 닮음(직각 및 그 외의 공통각)이다. 정사면체의 이면각은 익히 알려져있다시피 $$arccos(\displaystyle\frac{1}{3})$$이므로 외접구의 반지름과 내접구의 반지름은 정사면체의 높이를 3:1로 내분한다. 따라서 외접구의 반지름은 정사면체 높이의 $$\displaystyle\frac{3}{4}$$이고, 내접구의 반지름은 정사면체 높이의 $$\displaystyle\frac{1}{4}$$이다.

[6] 어떤 다면체의 꼭짓점을 면으로, 면을 꼭짓점으로 대체한 다면체를 쌍대 다면체라고 한다.

[7] 정사면체는 한 꼭지점에 세 개의 정삼각형이 만나기 때문에 {3, 3} 한 꼭지점에서 정삼각형이 세 개 만나는 도형인 자기 자신{3, 3}과 쌍대인 것은 당연하다.

[8] 정사면체 뿐만 아니라 모든 다각뿔의 쌍대 다면체 또한 자기 자신이다.

[9] cosθ=1/3. 이 정도는 머릿속에 집어넣자.

[10] SiH4, 규화수소

[11] AsH3, 비화수소