1. 개요
difference sequence(progression) ・ 階差數列수열의 인접한 두 항에 대하여, 뒤 항에서 앞 항을 뺀 값을 '''계차'''(difference,
階差)라고 하는데, 원래 수열의 계차들을 항으로 하는 수열을 원래 수열의 '''계차수열'''이라고 한다. 따라서 계차수열은 그 자체로 성립하지 않고 별도로 원래 수열의 존재를 전제해야만 성립하는 개념이다.
원래 수열의 계차수열의 계차수열을 원래 수열의 '''제2계 계차수열'''이라 하고, 제$$m$$계 계차수열의 계차수열을 제$$(m+1)$$계 계차수열이라 한다.
2. 상세
수열 $$\{a_n\}$$에 대하여
$$b_n=a_{n+1}-a_n$$
이면 $$b_n$$은 계차이고, $$\{b_n\}$$은 $$\{a_n\}$$의 계차수열이다. 여기에서 다음이 성립한다.
$$\begin{aligned}\cancel{a_2}-a_1&=b_1\\\cancel{a_3}-\cancel{a_2}&=b_2\\& \;\;\vdots\\\cancel{a_{n-1}}-\cancel{a_{n-2}}&=b_{n-2}\\+\qquad a_n-\cancel{a_{n-1}}&=b_{n-1}\\ \hline a_n-a_1&=\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}b_k\\ \\ \therefore a_n&=\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}b_k+a_1\;(n\geq 2)\end{aligned}$$
따라서 계차수열의
일반항을 안다면 원래 수열의 일반항 역시 알 수 있다. 계차수열의 일반항을 모른다면 제2계 계차수열 $$\{c_n\}$$의 일반항을 구해 보는 것이 하나의 방법이다. 이 경우 다음이 성립한다.
$$\begin{aligned}b_n&=\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}c_k+b_1\;(k\geq 2)\\\therefore a_n&=\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}b_k+a_1\\&=\sum_{k=1}^{n-1}\left(\sum_{j=1}^{k-1}c_j+b_1\right)+a_1\;(k,\,n\geq 2)\end{aligned}$$
제3계, 제4계 계차수열에 대해서도 같은 방식을 얼마든지 적용할 수 있다. 따라서 제$$m$$계 계차수열의 일반항을 모른다면 제$$(m+1)$$계 계차수열의 일반항을 구해 보는 것이 하나의 방법이다.
3. 성질
수열 $$\{a_n\}$$의 일반항이 $$r$$차
다항식$$a_n=c_rn^r+c_{r-1}n^{r-1}+\cdots+c_1n+c_0\;(r\neq 0)$$
이면 $$\{a_n\}$$의 계차수열 $$\{b_n\}$$의 일반항은
$$\begin{aligned}b_n&=a_{n+1}-a_n\\&=\{c_r(n+1)^r+c_{r-1}(n+1)^{r-1}+\cdots+c_1(n+1)+c_0\} \\ &\qquad \qquad -(c_rn^r+c_{r-1}n^{r-1}+\cdots+c_1n+c_0)\\&=(\cancel{c_rn^r}+c_rrn^{r-1}+\cdots)-(\cancel{c_rn^r}+\cdots)\end{aligned}$$
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이와 같이 최고차항이 상쇄되므로 $$(r-1)$$차 이하의 다항식이 된다. (정확하게는 원래 다항식의
차분이 된다) 마찬가지로 계차수열을 구하는 과정을 반복하면 결국에는 일반항이 일차식인
등차수열이 나오며, 그 다음에는 모든 항이 그 등차수열의 공차인, 다시 말해 수열의 일반항이 상수인 수열이 나온다. 한번 항의 값이 일정한 수열이 나왔으므로 이후에는 계속해서 모든 항이 0인 수열만 나오는데, 다음 예를 통해 직관적으로 확인해 보자.
'''수열'''
| '''항'''
| '''일반항'''
| '''비고'''
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원래 수열
| $$3,\,17,\,55,\,129,\,251,\,433,\,\cdots$$
| $$2n^3+1$$
| 삼차식
|
계차수열
| $$14,\,38,\,74,\,122,\,182,\,\cdots$$
| $$6n^2+6n+2$$
| 이차식
|
제2계 계차수열
| $$24,\,36,\,48,\,60,\,\cdots$$
| $$12n+12$$
| 일차식(등차수열)
|
제3계 계차수열
| $$12,\,12,\,12,\,\cdots$$
| $$12$$
| 상수식(일반항이 공차)
|
제4계 계차수열
| $$0,\,0,\,\cdots$$
| [math(0)]
| 상수식(일반항이 0)
|
제5계 계차수열
| $$0,\,0,\,\cdots$$
| [math(0)]
| 상수식(일반항이 0)
|
$$\vdots$$
| $$\vdots$$
| $$\vdots$$
| $$\vdots$$
|
4. 계차수열로 원래 수열의 합 구하기
어떤 수열 $$\{a_n\}$$과 그의 계차수열 $$\{b_n\}$$에 대하여, 앞서 밝혔듯이
$$a_n=a_1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}b_k\;(n\geq 2)$$
이므로 다음이 성립한다.
$$\begin{matrix}&a_1&\!\!\!=\!\!\!&a_1\\&a_2&\!\!\!=\!\!\!&a_1&\!\!+\!\!&\!\!\!\!\!\!\!b_1\!\!\!\!\!\!\!\\&a_3&\!\!\!=\!\!\!&a_1&\!\!+\!\!&\!\!\!\!\!\!\!\!\!b_1\!\!\!\!\!\!\!\!\!&\!\!+\!\!&\!\!b_2\!\!\\\;&\vdots&&\!\!\vdots&&\vdots&&\vdots\\&a_{n-1}&\!\!\!=\!\!\!&a_1&\!\!+\!\!&\!\!\!\!\!\!\!\!\!b_1\!\!\!\!\!\!\!\!\!&\!\!+\!\!&\!\!b_2\!\!&\!\!+\!\!&\cdots&\!\!+\!\!&b_{n-2}\\\!\!+&a_n&\!\!\!=\!\!\!&a_1&\!\!+\!\!&\!\!\!\!\!\!\!\!\!b_1\!\!\!\!\!\!\!\!\!&\!\!+\!\!&\!\!b_2\!\!&\!\!+\!\!&\cdots&\!\!+\!\!&b_{n-2}&\!\!+\!\!&b_{n-1}\\\hline&\displaystyle\sum_{k=1}^na_k&\!\!\!=\!\!\!&na_1&\!\!+\!\!&\!\!(n-1)b_1\!\!&\!\!+\!\!&\!\!(n-2)b_2\!\!&\!\!+\!\!&\cdots&\!\!+\!\!&2b_{n-2}&\!\!+\!\!&b_{n-1}\end{matrix}$$
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결과를
합의 기호를 이용하여 나타내면 아래와 같다.
$$\displaystyle\sum_{k=1}^na_k=na_1+\sum_{k=1}^{n-1}(n-k)b_k\;(n\geq 2)$$
혹은 다음과 같이 해석할 수도 있다.
$$\begin{matrix}&{\color{dodgerblue}a_1}&\!\!\!\!=&\!\!\!\!\!{\color{dodgerblue}a_1}\!\!\!\!&&\!\!\!{\color{red}b_1}\!\!&\!\!\!\!\!\!\!{\color{red}+}\!\!&\!\!\!\!{\color{red}b_2}&\!\!\!\!\!\!\!\!{\color{red}+}\!\!&{\color{red}\cdots}&\!\!{\color{red}+}\!\!&\!\!\!\!{\color{red}b_{n-2}}&\!\!\!{\color{red}+}\!\!&\!{\color{red}b_{n-1}}\\&{\color{dodgerblue}a_2}&\!\!\!\!=&\!\!\!\!\!{\color{dodgerblue}a_1}\!\!\!\!&\!\!{\color{dodgerblue}+}\!\!&\!\!\!{\color{dodgerblue}b_1}\!\!&&\!\!\!\!{\color{red}b_2}&\!\!\!\!\!\!\!\!{\color{red}+}\!\!&{\color{red}\cdots}&\!\!{\color{red}+}\!\!&\!\!\!\!{\color{red}b_{n-2}}&\!\!\!{\color{red}+}\!\!&\!{\color{red}b_{n-1}}\\&{\color{dodgerblue}a_3}&\!\!\!\!=&\!\!\!\!\!{\color{dodgerblue}a_1}\!\!\!\!&\!\!{\color{dodgerblue}+}\!\!&\!\!\!{\color{dodgerblue}b_1}\!\!&\!\!\!\!\!\!\!{\color{dodgerblue}+}\!\!&\!\!\!\!{\color{dodgerblue}b_2}&&{\color{red}\cdots}&\!\!{\color{red}+}\!\!&\!\!\!\!{\color{red}b_{n-2}}&\!\!\!{\color{red}+}\!\!&\!{\color{red}b_{n-1}}\\\;&{\color{dodgerblue}\vdots}&&\!{\color{dodgerblue}\vdots}&&\!\!\!{\color{dodgerblue}\vdots}&&\!\!\!\!\!\!{\color{dodgerblue}\vdots}&&\vdots&&\!\!{\color{red}\vdots}&&{\color{red}\vdots}\\&{\color{dodgerblue}a_{n-1}}&\!\!\!\!=&\!\!\!\!\!{\color{dodgerblue}a_1}\!\!\!\!&\!\!{\color{dodgerblue}+}\!\!&\!\!\!{\color{dodgerblue}b_1}\!\!&\!\!\!\!\!\!\!{\color{dodgerblue}+}\!\!&\!\!\!\!{\color{dodgerblue}b_2}&\!\!\!\!\!\!\!\!{\color{dodgerblue}+}\!\!&{\color{dodgerblue}\cdots}&\!\!{\color{dodgerblue}+}\!\!&\!\!\!\!{\color{dodgerblue}b_{n-2}}&&\!{\color{red}b_{n-1}}\\\!\!+\!\!\;&{\color{dodgerblue}a_n}&\!\!\!\!=&\!\!\!\!\!{\color{dodgerblue}a_1}\!\!\!\!&\!\!{\color{dodgerblue}+}\!\!&\!\!\!{\color{dodgerblue}b_1}\!\!&\!\!\!\!\!\!\!{\color{dodgerblue}+}\!\!&\!\!\!\!{\color{dodgerblue}b_2}&\!\!\!\!\!\!\!\!{\color{dodgerblue}+}\!\!&{\color{dodgerblue}\cdots}&\!\!{\color{dodgerblue}+}\!\!&\!\!\!\!{\color{dodgerblue}b_{n-2}}&\!\!\!{\color{dodgerblue}+}\!\!&\!{\color{dodgerblue}b_{n-1}}\\\hline&{\color{dodgerblue}\displaystyle\sum_{k=1}^na_k}&\!\!\!\!=&\!\!\!\!\!na_n\!\!\!\!&\!\!-\!\!&\!\!\!{\color{red}\{b_1}&\!\!\!\!\!{\color{red}+}&\!\!\!\!{\color{red}2b_2}&\!\!\!\!\!\!{\color{red}+}&{\color{red}\cdots}&{\color{red}+}&\!{\color{red}(n-2)b_2}&\!{\color{red}+}&\!{\color{red}(n-1)b_1\}}\end{matrix}$$
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위 식의 결과를 합의 기호로 나타내면 아래와 같다.
$${\color{dodgerblue}\displaystyle\sum_{k=1}^na_k}=na_n-{\color{red}\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}kb_k}\;(n\geq 2)$$
어떤 방식으로 공식을 유도하든 값은 같다.
$$\begin{aligned}na_1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}(n-k)b_k&=na_1+n\sum_{k=1}^{n-1}b_k-\sum_{k=1}^{n-1}kb_k\\&=na_1+n(a_n-a_1)-\sum_{k=1}^{n-1}kb_k \\&=na_n-\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}kb_k\end{aligned}$$
5. 교육과정