곡률
1. 개요
曲率 / curvature
곡률은 선 또는 공간의 굽은 정도를 표현하는 수치이다.
곡선의 경우 곡률이 클수록 곡선은 더 굽어 있다. 한 예시로 원의 곡률은 반지름의 역수이다. 즉 원이 커질수록 곡률은 작아진다. 지구처럼 큰 원이 종이에 그린 동그라미보다 훨씬 평평해 보이는데, 이는 더 작은 곡률을 갖고 있기 때문이다. 자세히 설명하자면, 지구와 동그라미 위에서 같은 길이만큼 이동했을때 동그라미에서 방향이 더 크게 틀어지기 때문에 곡률이 더 크다.
일반적인 공간의 경우 공간 속의 곡선이 얼마나 휘어졌는가에 따라 곡률을 나타낼 수 있다. 학부 과정의 미분기하학에서는 3차원 공간 속의 곡면의 다양한 곡률을 배우고, 나중 가면 이를 일반화한 임의의 고차원 공간에서 텐서로 나타나는 곡률을 배우게 된다. 가우스가 정리한 곡률 개념을 일반화한 리만의 일반적인 (엄밀히 말하면 리만 다양체의) 곡률 개념 정립은, 비유클리드 기하학을 일반적인 고차원으로 끌어올려 모든 공간의 휘어짐을 생각하는 계기가 되었다.
2. 곡선의 곡률
원의 경우는 반지름의 역수로 곡률을 구할 수 있지만 일반적인 곡선의 경우에는 "반지름"이 정의되지 않기에 다른 방법을 써야 한다. 곡률의 특징을 나열해 보자면...
- 직관적으로 직선의 곡률은 0이다.
- 어떤 선이 시간에 따라 움직이는 점의 자취라고 생각했을 때, 단위 시간당 방향이 심하게 바뀔수록(즉 시간에 비해 빠르게 변할수록) 곡선은 큰 곡률을 갖는다.
$$ \displaystyle \kappa(s) = \left\| \frac{\rm d}{{\rm d}s} {\bf T}(s) \right\| $$
이 곡률의 정의이다. 절대값 속의 벡터 $$d{\bf T}/ds$$ 자체를 곡률벡터(curvature vector)라 부른다. 원의 경우 저 곡률벡터를 실제로 계산하면 중심을 향하는 크기 $$1/r$$의 벡터가 된다.정칙곡선을 재매개화해서 곡률을 구하긴 보통 매우 귀찮으므로, 2차원/3차원에서는 일반적인 매개화에 대해서 성립하는 다음과 같은 공식이 있다.
$$ \displaystyle \kappa = \frac{\|\alpha '(t) \times \alpha ''(t)\|}{\|\alpha '(t)\|^3} $$
여기서 곱하기는 외적이다. 4차원 이상의 경우에도 분자를 $$\|\alpha'(t)\| \|\alpha''(t)\| |\sin(\theta)|$$ (여기서 $$\theta$$는 $$\alpha'$$, $$\alpha''$$ 사이의 각)로 바꾸면 성립하는 공식이 된다.3차원 공간 속의 곡선의 경우는 곡률 뿐만 아니라, 곡선이 공간 속에서 평면을 벗어나는 뒤틀린 정도인 "열률"(torsion)도 생각을 할 수 있는데, 자세한 사항은 학부 미분기하 서적의 프레네-세레 좌표계(Frenet-Serret frame)에 소개되어 있다. 곡선 문서도 참고. 더 나아가선 임의의 $$n$$차원 다양체의 매개변수 곡선(parameter curve)의 경우도 비슷한 $$(n-2)$$개의 추가 불변량들이 있고 프레네-세레 좌표계와 비슷한 이동 좌표계(moving frame)를 설정할 수 있다고 하지만, 이렇게까지 하는 경우는 드물다. [1]
3. 3차원 공간 안의 곡면 위에서 곡률
3차원 공간 안에 존재하는 곡면 위에 있는 곡선들의 곡률은 곡선의 모양과 방향에 따라 다양하게 변하고, 이들 곡선의 곡률을 이용해서 공간의 곡률을 생각하게 된다.
3.1. 주곡률
주어진 점 P를 지나는 곡선들 중 곡면과 수직하게 굽은 것들 중에서, 이들의 곡률 중 가장 큰 값과 작은 값을 주곡률(principal curvature)이라 한다.
엄밀하게 서술하면 다음과 같다. 주어진 점을 점 위의 법벡터로 대응시키는 가우스 사상(Gauss map) $$N(P)$$의 야코비안 미분(즉 $$S(v) = {\nabla}_v(N$$)을 모양 연산자(shape operator)라 부르고, 접벡터 $$v$$에 대한 스칼라 $$S(v) \cdot v$$를 $$v$$ 방향으로의 수직 곡률(normal curvature)이라 한다. 기하학적으로는 $$v$$ 방향의 법평면과 곡면과의 교선인 곡선의 곡률이라 생각하면 되고, 여기서 부호는 법벡터 방향으로 구부러진 것을 양수로 생각한다. 이제 수직 곡률 중 가장 큰 값과 가장 작은값인 $$\kappa_1, \kappa_2$$를 주곡률이라 정의하게 된다. 이들은 대칭인 이차형식 $$S(v) \cdot w$$, 즉 제2기본형식(second fundamental form)의 두 고윳값들이 된다.
포물면 $$z = ax^2 + by^2$$의 경우 점 $$(x,y)=(0,0)$$에서의 주곡률은 $$a,b$$가 된다. 타원포물면, 쌍곡포물면이 어떻게 생겼는지를 생각하면 주곡률의 이미지를 좀더 쉽게 받아들일 수 있다. 특수한 경우로 구면의 주곡률은 둘 다 반지름의 역수이고, 평면의 주곡률은 모두 0이다.
주곡률값 둘을 곱한 곡률 $$ K= \kappa_1 \cdot \kappa_2 $$를 점 P에서의 가우스 곡률(Gauss curvature)라고 하고, 주곡률값 둘의 평균 $$ H = \frac {\kappa_1 + \kappa_2 } {2} $$을 평균 곡률(mean curvature)라고 부른다.
고차원으로 올라가면 $$n$$차원 공간 속의 $$(n-1)$$차원 다양체에 대해서도 제2기본형식의 고윳값들을 주곡률, 주곡률들의 곱을 가우스 곡률 혹은 가우스-크로네커 곡률(Gauss-Kronecker curvature), 주곡률들의 평균을 평균곡률이라 하기도 한다. https://ko.m.wikipedia.org/wiki/%EC%A3%BC%EA%B3%A1%EB%A5%A0 참조. 다만 고차원 다양체에서 제2기본형식을 정의하려면 대학원 미분기하학이 필요하기 때문에 막상 간단하지만은 않다.
3.2. 가우스 곡률
가우스의 놀라운 정리(Gauss Theorema Egregium)에 의하면 이 가우스 곡률은 등거리사상(isometry)[2]에 의해 변하지 않는다는 점이다. 다시 말하자면, 곡면 위의 임의의 점에서 구해지는 가우스 곡률은 곡면에 수직한 벡터장에 의존하지 않는다(not extrinsic)는 사실을 볼 수가 있다. 이를 한 문장으로 표현하면 가우스 곡률은 내재적인(Intrinsic) 곡률이라고 말할 수 있다.
예를 들면 지구 표면을 묘사하는 평면상의 어떠한 지도도 두 지점 사의의 거리를 완벽하게 묘사할 수 없다는 이야기를 할 수 있는데, 이는 평면의 가우스곡률은 항상 상수 0인 반면, 지구 표면의 임의의 점에서 측정한 가우스 곡률은 항상 양수가 나오기 때문에, 평면과 지구 표면 사이의 등거리사상은 (심지어 국소적(local)으로도) 존재하지 않는다는 이야기를 할 수 있다. 즉, 실제로 지도는 어떻게 그리든 지구표면의 실제 모양과 완벽하게 닮게 그리는 게 불가능한 것을 의미한다!
다른 예를 들어보자면, 평면을 말아 원기둥을 만들었다고 했을 때, 주곡률은 $$(0,0)$$에서 $$(0,r^{-1})$$로 변하고, 평균곡률도 당연히 변한다. 하지만 가우스 곡률은 원기둥의 경우에도 0이 된다. 가우스 곡률과 다르게 주곡률이나 평균곡률은 곡면을 옮기면 얼마든지 변할 수 있고, 즉 내재적인 개념이 아니다. 하지만 가우스 곡률은 3차원 공간을 이용해서 정의했지만 막상 보면 곡면 자체의 내재적 불변량이 된다는 것이 정말 놀라운 점. 물론 나중에는 공간 속에서 가우스 곡률을 곡면 자체적으로 묘사하는 정의도 개발되기는 했다.
한편으로 반대로 가우스 곡률이 같으면 도형을 국소적으로 나름 비슷하게[3] 옮길 수 있기 때문에, 가우스 곡률은 곡률이 0보다 큰지 작은지에 따라 곡면의 기하학을 타원기하, 평면기하, 쌍곡기하의 세 가지로 분류할 수 있었다. 비유클리드 기하학에서 나온 이 세 가지 체계가 사실은 대표성을 지니는 것이다. 이것을 엄밀하게 한 내용을 알고 싶으면 균일화 정리(uniformization theorem)를 찾아보면 된다.
3.3. 평균곡률
평균곡률은 공간의 내적 곡률은 아니지만 다른 의미로 중요성을 지니는데, 평균곡률 크기의 법벡터는 곡면의 면적에 대한 변분으로서의 의미가 있기 때문이다. 즉 평균곡률이 양수이면 법벡터 방향으로 곡면이 이동할 때 면적이 커지고, 음수이면 면적이 작아진다. 예로 구면 같은 경우는 법벡터 방향인 바깥쪽에 대해 평균곡률이 양수이기 때문에, 바깥으로 팽창할 때 면적이 커지게 된다.
덕분에 물리학, 특히 유체역학에서 중요하게 사용되는데, 예로 액체 표면의 표면장력은 평균곡률 크기로 결정된다. 내부압력이 없을 때 표면장력이 0이 되는 평형점은 모든 점에서 평균곡률인 0인 극소곡면(minimal surface)으로 나타나는데, 철사 등에 비눗물을 묻혀 비누막을 만들었을 때 나올 수 있다. 라그랑지안이 평균곡률에 대한 다른 함수로 나타나는 여러 가지 경우에 변분법 문제를 푸는 것은 이후 계속해서 미분기하학의 굵직한 문제가 되어 왔다.
4. 일반적인 다양체 안의 곡면 위에서 곡률
공간, 정확히는 리만 다양체 속의 가장 일반적인 내재적 곡률은 리만 곡률 텐서(Riemann curvature tensor)라는 텐서의 형태이다. 이 4차원짜리 (2,2)-텐서[4] $$ R(X,Y) = \nabla_X \nabla_Y - \nabla_Y \nabla_X - \nabla_{[X,Y]} $$를 여기서 정확히 묘사하는 건 생략하도록 한다. 더 이상 유클리드 공간 속에 들어가 있지 않은 일반 리만 다양체에서는 당장에 방향에 따른 미분[5]부터 생각하기 어렵기 때문에 준비를 엄청 많이 해야 하기 때문에, 리 미분(Lie derivative)이니 레비-치비타 접속(Levi-civita connection)이니 하나하나 소개하려면 사실상 대학원 미분기하 교재를 써야 하는 수준.
간단히 결과만 말하자면 리만 곡률 텐서는 가능한 모든 방향의 가우스 곡률을 우겨넣은 정보라고 볼 수 있다. [6] 이 방향이란 게 $$\dim \wedge^2(TM) = \binom{n}{2}$$개가 있어서 문제지... 리만 곡률 텐서의 특정 주대각합으로 묘사되는 리치 곡률(Ricci curvature) 등등 공간의 모든 내적인 곡률은 이 리만 곡률 텐서에서 파생되어 나오므로, 일반 상대성 이론 등에서 높은 수준의 미분기하학을 쓴다면 좋든 싫든 잘 알아둬야 할 대상이다.
또한, 다양체 속의 부분다양체의 주곡률, 가우스-크로네커 곡률, 평균곡률 등등은 Gauss Equation이라는, 내적인 정보와 외부 정보를 분류시켜주는 공식에 의거해서, Second fundamental form을 정의한 뒤 이를 토대로 Shape operator를 정의하고 나서 여차원이 1인 상황에서 정의하는 공간 외적인 곡률 개념들이다. 이 리만곡률을 일반 다양체에서까지 더욱 일반화시킨 curvature form 같은 애들도 있고 곡률을 더 따지자면 무궁무진하게 늘어나지만, 어찌 보면 다들 가우스 곡률의 일반화이다.
5. 기타
일상생활에서 특히 여자들에게 유용하게 사용되는데 바로 뷰러 구매할 때. 뷰러를 살 때 처음 곡률을 본 사람도 있을 것이다. 당장 검색을 해봐도 상당히 많은 게시물을 볼 수 있다. 사람의 눈은 제각기 다르기 때문. 자세한 내용은 뷰러 문서 참조.
[1] 이 moving frame은 미분기하에서 곡률들을 구할때 매우 좋은 도구가 된다. 당장에 Ricci curvature 정의부터 매우 깔끔하게 나오는 면이 있기 때문이다...[2] 두 접벡터의 내적을 보존하는 사상이다. 쉽게 말하면 두 점 사이의 거리가 변하지 않는 사상을 말한다.[3] 동일하진 않지만. 물론 이것을 엄밀하게 표현하려면 준비가 많이 필요하다.[4] (1,3)-텐서 $$R(X,Y)Z$$나 (0,4)-텐서 $$\langle R(X,Y)Z,W \rangle$$도 보통 같이 생각한다.[5] 엄밀히 말하면 접속(connection)[6] 정확히 말하면 $$\langle R(v,w)w,v \rangle$$가 벡터 $$v,w$$ 방향으로 이루어진 2차원 공간의 가우스 곡률, 즉 단면 곡률(sectional curvature)이 된다. 2차원 곡면의 경우 가우스 곡률과 똑같다.