쌍곡포물면
漢: 雙曲抛物面 / En: Hyperbolic paraboloid
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위의 그림과 같이 방정식이 $$\displaystyle \frac{z}{c} = \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}$$ 꼴로 표현되는 이차곡면을 말한다. 곡면을 수평으로 자르면 교선이 쌍곡선으로 나오고, 곡면을 수직으로 자르면 교선이 포물선으로 나온다고 해서 쌍곡포물면이라는 이름이 붙었다. 얼핏 보면 말 안장[1]이나 프링글스 감자칩과 비슷하게 생겼다. 그래서 외국에서는 일찌감치 아래와 같이 프링글스 칩과 관련된 밈이 등장했다.
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여느 이차곡면이 그렇듯이, 이 도형도 어떤 평면에 평행한 평면들로 잘랐을 때의 모든 교선들을 쌓아 올려서 그리는 형태이다. 주어진 쌍곡포물면과 평면 $$z = k$$(k는 상수)의 교선을 살펴보자. $$z = k$$이면 $$x^2 - y^2 = k$$인데, $$k = 0$$이면 $$x^2 - y^2 = 0$$에서 $$y = \pm x$$이라는 쌍곡선의 두 점근선이 나오고, $$k = 1$$이면 $$x^2 - y^2 = 1$$이므로 주축이 x축과 평행한 쌍곡선이며 $$k = -1$$이면 $$x^2 - y^2 = -1$$이므로 주축이 y축과 평행한 쌍곡선이다. 따라서 k의 절댓값이 커질수록 쌍곡선의 주축의 길이가 증가해 그래프가 축 방향으로 넓게 퍼지는 형태가 되는데, k가 양수인 상태에서 계속 커지면 그래프가 x축 방향으로 넓게 퍼지며, k가 음수인 상태에서 계속 작아지면 그래프가 y축 방향으로 넓게 퍼진다. 따라서 k값에 따라 쌍곡선을 z축 방향으로 쌓아올린다고 하면 위와 같은 쌍곡포물면 그래프가 완성된다.물론 저 그래프는 x, y에 각각 0을 대입했을 때 z도 0이 나오므로 원점을 지난다.
비유클리드 기하학 가운데 쌍곡 기하학은 이 쌍곡포물면 위에서 이루어지는 기하학적 공리를 연구하는 학문이다.