곱미분

 


1. 개요
2. 증명
2.1. 세 가지 식이 곱해져 있는 경우
3. 일반화
3.1. 여러 함수의 곱의 미분
3.2. 두 함수의 곱의 여러번 미분
4. 기타
5. 관련 문서


1. 개요

'''곱미분(곱의 미분법[1], Product rule)'''은 두 실함수 $$ f(x) $$와 $$ g(x) $$의 곱의 형태(원래 이것 자체를 '곱'이라고 함)를 가진 함수 $$ \displaystyle f(x) g(x) $$의 도함수를 구하는 공식이다.

2. 증명

미분계수의 정의에 의하여 함수 $$ \displaystyle F(x) = f(x)g(x)$$의 도함수를 구해 보자.
$$ \displaystyle \begin{aligned} F'(x) &= \lim_{h \to 0} \frac{F(x+h)-F(x)}{h} \\&=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h} \end{aligned} $$
분자에 $$f(x)g(x+h)$$를 빼고 더하면,
$$ \displaystyle \begin{aligned} F'(x) &=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)-f(x)g(x)}{h} \\&=\lim_{h \to 0} \frac{f(x)[g(x+h)-g(x) ]+g(x+h)[f(x+h)-f(x) ]}{h} \\&=f(x) \lim_{h \to 0} \frac{g(x+h)-g(x)}{h} +\lim_{h \to 0} g(x+h) \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\&=f(x)g'(x)+f'(x)g(x) \end{aligned} $$
두 함수 $$f(x)$$, $$g(x)$$ 모두 좌미분계수만 존재하거나, 우미분계수만 존재한다고 하더라도, 위의 증명에서 $$h \to 0$$을 $$h \to 0^{+}$$ 또는 $$h \to 0^{-}$$로 바꾸어도 증명에 무리가 없으므로, 좌미분계수, 우미분계수에 대해서도 곱의 미분법이 성립한다.

2.1. 세 가지 식이 곱해져 있는 경우

세 함수 $$f(x)$$, $$g(x)$$, $$h(x)$$가 곱해진 함수 $$f(x)g(x)h(x)$$의 도함수는 위의 결과를 참조해보면, 아래와 같음을 알 수 있다.
$$ \begin{aligned} [f(x)g(x)h(x) ]'&=[[f(x)g(x) ] h(x) ]' \\&= [f(x)g(x) ]'h(x)+f(x)g(x)h'(x) \\&=[f(x)g'(x)+f'(x)g(x) ]h(x)+f(x)g(x)h'(x) \\ &=f'(x) g(x) h(x) + f(x) g'(x) h(x) + f(x) g(x) h'(x) \end{aligned} $$

3. 일반화

아래의 두 일반화 모두 수학적 귀납법으로 증명할 수 있다.

3.1. 여러 함수의 곱의 미분

$$n$$개의 함수 $$f_{1}(x), \, \cdots, \, f_{n}(x)$$가 모두 미분 가능할 때,
$$ [f_{1}(x)f_{2}(x)\cdots f_{n}(x) ]^{\prime}=f'_{1}(x)f_{2}(x)\cdots f_{n}(x)+\cdots+f_{1}(x)f_{2}(x) \cdots f'_{n}(x) $$
이다.

3.2. 두 함수의 곱의 여러번 미분

$$n$$번 미분가능한 함수 $$f(x)$$, $$g(x)$$에 대하여,
$$ \displaystyle[f(x)g(x) ]^{(n)}=\displaystyle\sum_{r=0}^{n} {{n}\choose{r}} f^{(r)}(x)g^{(n-r)}(x) $$
이 성립하는데, 이를 '''라이프니츠 법칙(Leibniz rule)'''이라고 한다. 위에서 $$\binom{n}{r}$$은 조합이다.

4. 기타

  • 부분적분은 이 곱미분의 성질에서 파생되었다.

4.1. 고등학교 교육과정


5. 관련 문서


[1] 고교 교육과정 상에서는 이 용어로 배운다.

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