부분적분

 



1. 개요
2. 유도
3. 우선 순위 : LIATE 법칙
7. 고등학교 교과과정에서
8. 관련 문서


1. 개요


'''부분적분(Integration by parts)'''이란, 두 함수의 곱으로 정의된 함수를 적분하는 기법이다.
미분가능한 연속함수 $$f(x)$$, $$g(x)$$에 대해서 다음과 같이 부정적분, 정적분할 수 있다. $$f(x)$$, $$g(x)$$의 도함수도 각각 연속이여야 한다. 자세히 보면 알겠지만 곱의 미분법에서 도출된 공식이다.
$$\displaystyle \begin{aligned} \int f(x)g'(x)\,\mathrm{d}x&=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\,\mathrm{d}x \\ \int_{a}^{b} f(x)g'(x)\,\mathrm{d}x&=\biggl[ f(x)g(x) \biggr]_{a}^{b}-\int_{a}^{b} f'(x)g(x)\,\mathrm{d}x \end{aligned} $$

2. 유도


곱의 미분법에 따라
$$\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[f(x)g(x) ]=f(x)\frac{\mathrm{d}g(x)}{\mathrm{d}x}+\frac{\mathrm{d} f(x)}{\mathrm{d}x}g(x) $$
양변을 적분해주면,
$$\displaystyle \int \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[f(x)g(x) ]\,\mathrm{d}x=\int f(x)\frac{\mathrm{d}g(x)}{\mathrm{d}x}\,\mathrm{d}x+\int \frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}g(x)\,\mathrm{d}x $$
그런데, 좌변은
$$\displaystyle \int \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[f(x)g(x) ]\,\mathrm{d}x=\int \mathrm{d}[f(x)g(x) ]=f(x)g(x) $$
이므로 결국,
$$\displaystyle f(x)g(x)=\int f(x)\frac{\mathrm{d}g(x)}{\mathrm{d}x}\,\mathrm{d}x+\int \frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}g(x)\,\mathrm{d}x $$
이상에서 이항을 하면, 부분적분 공식이 유도된다. 여기서 $$\mathrm{d}f(x)/\mathrm{d}x \equiv f'(x)$$, $$\mathrm{d}g(x)/\mathrm{d}x \equiv g'(x)$$로 썼다.
$$\displaystyle \int f(x)g'(x)\,\mathrm{d}x=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\,\mathrm{d}x $$

3. 우선 순위 : LIATE 법칙




4. 도표적분법




5. 스틸체스 적분


$$\displaystyle \begin{aligned} \int f(x)\,\mathrm{d}g(x) &= f(x)g(x) - \int g(x)\,\mathrm{d}f(x) \\ \int_{a}^{b} f(x)\, \mathrm{d} g(x) &= \biggl[ f(x)g(x)\biggr]_a^b-\int_{a}^{b} g(x) \, \mathrm{d} f(x) \end{aligned} $$
미분계수가 함수인 꼴의 부분적분도 가능하다. 이 경우 미분을 하지 않는다는 차이점이 있다.[1]

6. 예제




7. 고등학교 교과과정에서


구 교육과정(2009 개정 교육과정)에선 미적분Ⅱ, 현 교육과정(2015 개정 교육과정)에선 미적분에서 자연계열 학생만 배우는 방법이다. 교과서나 EBS교재[2] 등을 보면 항목 맨 위의 방법으로만 하라고 나와있어 $$ x \ln x $$나 $$ a x \cos x $$꼴의 함수 등을 계산하기 상당히 까다롭다. '''세로셈식은 엄연한 정규 방법'''인데도 로피탈의 정리가 마검이면 이건 가히 엑스칼리버라 할 수 있을 만큼 쉬워진다. 그렇다고 저 정의식을 모르면 안되는 것이, 평가원이 가끔 정의식으로 해야 풀리는 문제를 출제한다.[3] 또한 적분파트의 최종보스로 '''이게 부분적분 써야하나 치환적분 써야하나''' 헷갈리는 문제도 많다. 공식을 유도하고 기출문제를 풀어 감을 익히는 것이 중요하다. 부분적분은 이과 수학 중 가장 계산이 더럽고 복잡한 연산법이라고 흔히들 이야기하기도 한다.

8. 관련 문서



[1] 다만 미분계수 쪽의 함수가 미분가능하다면 미분한 상태로 적분식에 곱해주어 일반 적분으로 바꿀 수 있다.[2] 수능특강, 수능완성[3] 2017학년도 대학수학능력시험 9월 모의평가 수학 가형 21번 등.