조합
1. 개요
기호로는 $${}_n\mathrm C_r$$[1], $$ C(n, \ r)$$, $$\dbinom nr$$등이 있다. 여기서 C는 영어 combination의 머리글자이다. 한국의 고등학교 과정에서는 $${}_n\mathrm C_r$$이 쓰이지만 세계적으로는 $$\dbinom nr$$이 많이 쓰인다. [2]$$|S|=n$$인 집합 $$S$$에서 $$r$$-부분집합의 개수이며, 이를 $$n$$개에서 $$r$$개를 택하는 '''조합'''(組合)이라고 한다. 이 조합은 순열과 다른 개념으로 순서 차이가 중요하다.
순열과 마찬가지로 뭔가 거창한 정의가 붙었지만 실상은 초등학교에서부터 풀어온 경우의 수를 좀 더 수학적으로 나타낸 것뿐이다. 다만 계산하는 것은 조금 더 까다로워졌다. 계산하는 공식을 예시를 통해 유도해보자. $$3$$명중에서 대표 $$2$$명을 뽑는 상황을 가정하면, 순열을 쓸 경우 $${}_3\mathrm P_2=3\times2=6$$이 되는데, 순열은 '$$3$$명중에서 대표 $$2$$명을 뽑아서 순서대로 나열하는 경우의 수'이므로 '나열하는 조작'을 배제해주면 되고 같은 것이 있는 경우의 순열과 비슷하게, $$2$$명의 대표가 같으므로 $$2!$$로 나눠주면 된다. 따라서, $$\dbinom 3 2=\dfrac{{}_3\mathrm P_2}{2!}$$임을 알 수 있다. 일반적인 경우는 다음과 같다.
순열과 마찬가지로 조합 역시 팩토리얼 및 감마 함수로 정의할 수 있기 때문에 $$r=0$$이어도 무방하다.
2. 중복 조합
조합과 마찬가지로 $$n$$개의 원소에서 $$r$$개를 순서에 상관없이 뽑는데, '''중복을 허락할 때'''의 가짓수이다. 기호로는 $$\left(\!\!\dbinom{n}{r}\!\!\right)$$을 쓰며, 한국과 일본에서는 $${}_n\mathrm H_r$$도 통한다.[3] $$\mathrm H$$라는 기호는 동차 단항식(Homogeneous monomial) 또는 동차곱(Homogeneous product)의 'Homogeneous'에서 딴 것이다.#
중복 조합의 가짓수를 실제로 구하려고 해보면 순열이나 위의 조합과는 다르게 훨씬 복잡함을 알 수 있다.[4] 계산공식을 유도하는 과정은 보통 "원"과 "막대기"를[5] 사용해서 설명한다. 예를 들어 숫자 $$1$$, $$2$$, $$3$$중 중복을 허락하여 $$5$$개를 뽑는 경우의 수를 생각해보자. 일단 $$5$$개를 뽑으므로 원 $$5$$개를 나란히 그린다. 이제 이 $$5$$개의 원 사이에 막대기를 집어넣어 $$3$$그룹으로 나누는데 '''이 '그룹'이 곧 주어진 원소의 종류 $$\boldsymbol n$$개'''를 의미한다. 이를테면 $$11233 \to 11/2/33$$으로, $$11133 \to 111//33$$으로 나타낼 수 있으므로, 특정 원소를 뽑지 않는 경우는 막대기가 중복되어 나열되는 경우로 간주할 수 있다. $$3$$그룹으로 나누기 위해 필요한 막대기의 수는 $$(3-1) = 2$$개이고, 나눠진 각 그룹에 있는 원의 수를 각각 숫자 $$1$$, $$2$$, $$3$$을 뽑는 개수라고하면 구하고자 하는 값이 나온다. 즉 총 가짓수는 $$5$$개의 원과 $$2$$개의 막대기를 나열하는 가짓수와 같고, 이는 $$7$$개의 칸중 막대기를 그릴 $$2$$개의 칸을 정하는 것과 동일하다. 즉, $${}_{5+3-1}\mathrm C_2= {}_7\mathrm C_2$$가 답. 일반적인 경우는 다음과 같다.
이를 응용하여 배스킨라빈스의 $$31$$가지 아이스크림을 '''중복을 허락하여''' 고를 경우(ex. 쿼터 크기에 엄마는 외계인×2, 체리 쥬빌레, 아몬드봉봉 등)고를 수 있는 총 경우의 수는 다음과 같이 구할 수 있다.
파인트($$3$$가지): $${}_{31}\mathrm H_3 = {}_{3+31-1}\mathrm C_3= {}_{33}\mathrm C_3=5456$$가지.
쿼터($$4$$가지): $${}_{31}\mathrm H_4 = {}_{4+31-1}\mathrm C_4= {}_{34}\mathrm C_4=46376$$가지.
패밀리($$5$$가지): $${}_{31}\mathrm H_5 = {}_{5+31-1}\mathrm C_5= {}_{35}\mathrm C_5=324632$$가지.
하프갤런($$6$$가지): $${}_{31}\mathrm H_6 = {}_{6+31-1}\mathrm C_6= {}_{36}\mathrm C_6=1947792$$가지.
반면에 중복을 허락하지 않을 경우엔 일반적인 조합과 같아진다.
파인트($$3$$가지): $${}_{31}\mathrm C_3=4495$$가지.
쿼터($$4$$가지): $${}_{31}\mathrm C_4=31465$$가지.
패밀리($$5$$가지): $${}_{31}\mathrm C_5=169911$$가지.
하프갤런($$6$$가지): $${}_{31}\mathrm C_6=736281$$가지.
참고하면 좋은 블로그
언뜻 보기에 조합의 특수한 경우로밖에 안 보이지만 사실 아주 중요한 성질이 있다. 부분곱으로 나타낸 중복 조합식의 $$n$$에 $$-n$$을 대입하면 다음과 같이 식이 변형되면서 조합에 관한 식으로 바뀐다.
이를 달리 표현하면 중복 조합은 조합에서 $$n$$이 음수인 경우로 볼 수 있고[6] $$n$$의 범위를 모든 정수로 확장[7]해주는 성질이 있음을 알 수 있다.
3. 조합의 성질
- $$\dbinom nr= \dbinom n {n-r}$$: $$n$$개중 $$r$$개를 뽑는 것은 $$n$$개중 $$(n-r)$$개의 뽑지 않을 것을 고르는 것과 가짓수가 같다. 직접 전개하여 증명할 수도 있다.
- [math(\dbinom nr =\dbinom {n-1}r +\dbinom {n-1}{r-1})]: $$n$$개중 한 개를 고정한다. 이제 $$n$$개중 $$r$$개를 뽑는 가짓수는 그 한 개가 있는 경우와 없는 경우 2가지로 나눠지고, 각각의 가짓수는 $${}_{n-1}\mathrm C_{r-1}$$, $${}_{n-1}\mathrm C_r$$이다. 역시 직접 전개하여 증명할 수도 있다.
- 이항정리 참조.
4. 예시
'''조합'''
남녀 각각 $$5$$명 중에서 남자 $$3$$명, 여자 $$2$$명을 뽑아 원탁에 앉히는 가짓수는?
'''중복 조합'''음이 아닌 정수 $$x$$, $$y$$, $$z$$에 대해, $$x+y+z \leq 3$$를 만족시키는 순서쌍 $$(x, \ y, \ z)$$의 수는?
5. 관련 문서
[1] 여기에서 n의 위치는 r 자리를 빼고 C 앞이나 뒤, 위첨자 아래첨자 모두 가능하다.[2] 울프럼알파에서는 nCr도 인식한다.[3] 조합 기호를 이용해서 나타낼 수 있기 때문에 국가에 따라서는 따로 기호를 만들어 쓰지 않는 경우가 많고 별도의 기호가 있다 하더라도 국가마다 제각각이다.[4] 중복 순열보다도 훨씬 복잡한데, 서로 다른 $$n$$종류의 원소에서 '''특정 원소를 고르지 않는 경우'''까지 포함하기 때문이다. 이를테면 A, B, C에서 중복을 허용하여 4개를 뽑는 경우의 수 중엔 AAAC처럼 B가 포함되지 않는 경우도 포함된다.[5] 혹은 비슷한 다른 무언가. 칸막이라는 표현도 쓴다.[6] 엄밀히 따지면 $${}_{-n}\mathrm C_r = \left( -1 \right)^r {}_n\mathrm H_r$$[7] 사실 조합을 부분곱으로 나타낸 식을 보면 알겠지만 애초에 그 식에서는 $$n$$이 '''복소수'''여도 상관이 없다. 테일러 급수의 예 문서 참조