구데르만 함수

'''구데르만 함수(Gudermannian function)'''는 특수함수의 일종으로, 다음과 같이 정의된다.

$$\displaystyle \begin{aligned} \mathrm{gd}(x)&\equiv \int_{0}^{x} \mathrm{sech} \, t \,\mathrm{d}t \\ \mathrm{igd}(x) &\equiv \int_{0}^{x} \sec t \,\mathrm{d}t \end{aligned}$$

형태에서 보듯 특정 삼각함수, 쌍곡선 함수의 정적분으로 정의된다. 이 두 함수는 서로 역함수 관계이며 원점 대칭함수(기함수)이다.
그래프는 다음과 같으며, (a), (b)는 각각 $$y=\mathrm{gd}(x)$$, $$y=\mathrm{igd}(x)$$의 그래프이다.

극한은 다음과 같다.(단, 복부호 동순)

$$\displaystyle \begin{aligned} \lim_{x \to \pm \infty} \mathrm{gd}(x) &= \pm \frac{\pi}{2} \\ \lim_{x \to \pm {\pi}/{2}} \mathrm{igd}(x) &= \pm \infty \end{aligned}$$

이 두 함수는 아래와 같은 항등식을 갖는다.

$$\displaystyle \begin{aligned} \mathrm{gd}(x) &= (\arcsin \circ \tanh)(x) \\& = (\arctan \circ \sinh)(x)\\& = (\mathrm{arccsc} \circ \coth)(x)\\& = \mathrm{sgn}(x)(\arccos \circ\, \mathrm{sech})(x)\\& = \mathrm{sgn}(x)(\mathrm{arcsec} \circ \cosh)(x) \\&= 2 (\arctan \circ \tanh)\left(\dfrac{x}{2}\right) \\&= 2 \arctan(e^x) - \dfrac{\pi}{2} \\ \\ \mathrm{igd}(x) &= \ln |\sec x (1 + \sin x)| \\&= \ln \left|\sec x + \tan x\right| \\&= \ln \left| \tan \left(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{x}{2} \right) \right| \\&= (\mathrm{artanh} \circ \sin)(x) \\&= (\mathrm{arsinh} \circ \tan)(x) \\&= 2 (\mathrm{artanh} \circ \tan)\left(\dfrac{x}{2}\right) \end{aligned} $$

위에서 $$\mathrm{sgn}(x)$$는 부호 함수이다.