항등식
1. 개요
Identity ・ 恒等式
문자를 포함한 등식에서, 문자의 값과 상관없이 항상 성립하는 등식이라는 뜻이다. 반대로 문자가 특정 값일 때만 성립하는 것은 방정식이라고 한다. 항등식의 부등식 버전으론 절대부등식이 있다. 주의할 점은 방정식처럼 보이는 $$ax+b=0$$같은 식도 $$a=b=0$$라는 조건이 주어지면 항등식이 된다.[1] 조건을 항상 잘 확인하자.
f(x)=(x에 관한 식) 의 형태로 함수 f(x)를 '''정의'''할 때는 등식 f(x)=(x에 관한 식) 을 x에 대한 항등식으로 생각할 수 있다.
2. 예시
$$e$$는 자연로그의 밑, $$i$$는 허수단위이다.
2.1. 삼각함수
- $$\displaystyle \tan\theta= {\sin\theta \over \cos\theta}$$
- $$\sin^2\theta + \cos^2\theta=1$$
- $$1+\tan^2\theta=\sec^2\theta$$
- $$1+\cot^2\theta=\csc^2\theta$$
- $$\cos x + i \sin x = e^{ix}$$ (오일러 공식)
- $$\sin \theta = -i \sinh i \theta$$
- $$\cos \theta = \cosh i \theta$$
- $${\displaystyle \sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}$$
- $${\displaystyle \cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}}$$
- $${\displaystyle \tan x = {\sin x \over \cos x} = -i \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{e^{ix}+e^{-ix}}}$$
2.2. 지수
- $$x^{a+b} = x^ax^b$$
- $$\displaystyle x^{a-b} = {x^a \over x^b}$$ (단, $$x^{b} \neq 0$$)
- $$\left(x^a\right)^b=x^{ab}$$
- $$\left(x\cdot y\right)^n=x^n\cdot y^n$$
- $$e^x = \sinh x + \cosh x$$
2.3. 로그
- $$\log{ab}=\log{a}+\log{b}$$
- $$\displaystyle \log{a \over b}=\log{a}-\log{b}$$
- $$\log{a^n}=n\log{a}$$
- $$\displaystyle \log_{a}{b}={\log_{c}{b} \over \log_{c}{a}}$$ (밑 변환 공식)
- $$\displaystyle \log_{a}{b}={1 \over \log_{b}{a}}$$
- $$\displaystyle \log_i{x} = {2 \over i \pi} \log_e{x}$$
- $$\mathrm{li}(x) = \mathrm{Ei} \circ \log_e (x)$$[2]
2.4. 미적분
- $$\displaystyle {d \over dx} c = 0$$ (c는 상수)
- $$\displaystyle {d \over dx} x^n = n x^{n-1} \leftrightarrow \int x^n = {{1}\over {n+1}} x^{n+1}+c$$ (c는 상수)
- $$\displaystyle {d \over dx} \exp x = \exp x$$
- $$\displaystyle {d \over dx} \ln x = x^{-1}$$
- $$\displaystyle \int^b_a f'(x)dx = f(b) - f(a) $$ (단, 함수 $$f'$$이 닫힌 구간 $$\left[a, b\right]$$에서 연속이어야 한다. 미적분의 기본정리 참조.)
- $$\displaystyle \int_{1}^{e}{1 \over x}dx = \ln e - \ln 1 =1$$
- $$\displaystyle \frac{d}{dx}\sin x=\cos x$$
- $$\displaystyle \frac{d}{dx}\cos x=-\sin x$$
- $$\displaystyle \frac{d}{dx}\tan x=\sec^{2}x$$
- $$\displaystyle \frac{d}{dx}\sec x=\sec\tan x$$
- $$\displaystyle \frac{d}{dx}\cot x=-\csc^{2}x$$
- $$\displaystyle \frac{d}{dx}\csc x=-\csc x \cot x$$
- $$\displaystyle \frac{d}{dx}\sinh x=\cosh x$$
- $$\displaystyle \frac{d}{dx}\cosh x=\sinh x$$
- $$\displaystyle \frac{d}{dx}\tanh x=\text{sech}^{2}x$$
- $$\displaystyle \frac{d}{dx}\text{sech} x=-\text{sech}x \tanh x$$
- $$\displaystyle \frac{d}{dx}\text{coth} x=-\text{csch}^{2} x$$
- $$\displaystyle \frac{d}{dx}\text{csch} x=-\text{csch} x \text{coth} x$$
- $$\displaystyle \frac{d}{dx} |x| = \mathrm{sgn}\left(x\right) \leftrightarrow \int \mathrm{sgn}\left(x\right) = |x| + C$$[3]
- $$\displaystyle \frac{d}{dx} \mathrm{sgn}\left(x\right) = 2\delta\left(x\right) \leftrightarrow \int 2\delta\left(x\right) = 2 \theta \left(x\right) + C = \mathrm{sgn}\left(x\right) + 1 + C$$[4]
2.5. 벡터
- $$(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \times \mathbf{c} = -(\mathbf{c} \cdot \mathbf{b})\mathbf{a} + (\mathbf{c} \cdot \mathbf{a}) \mathbf{b}$$
- $$\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = \mathbf{b}(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) - \mathbf{c}(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})$$
- $$\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) + \mathbf{b} \times (\mathbf{c} \times \mathbf{a}) + \mathbf{c} \times (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) = \mathbf{0}$$
2.6. 미분류
- $${}_n\mathrm P_r = \dfrac{\Gamma \left( n+1 \right)}{\Gamma \left( n-r+1 \right)} = \left( n-r+1 \right) \dfrac{\Gamma \left( n+1 \right)}{\Gamma \left( n-r+2 \right)} = \left( n-r+1 \right) \cdot {}_n\mathrm P_{r-1}$$
(단, $$\Re(n+1), \Re(n-r+1), \Re(n-r+2) \notin \mathbb{Z} - \mathbb{N}$$[5])
- $$\Im(a)=0 \,\,\,(a \in \mathbb{R})$$[6]
3. 미정계수법
$$x$$에 관한 등식 $$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0=0$$이 $$x$$에 관한 항등식이 되기 위한 조건은 $$a_n=a_{n-1}=\cdots=a_1=a_0=0$$이다. 비슷하게 $$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0=b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+\cdots+b_1x+b_0$$이 $$x$$에 관한 항등식이 되기 위한 조건은 $$a_0=b_0,a_1=b_1,\cdots,a_{n-1}=b_{n-1},a_n=b_n$$이다. 이 두 성질을 이용해서 어떤 다항식의 계수를 찾는 방법을 '''미정계수법'''이라고 한다. 방법은 크게 2가지가 있다.
- 계수비교법: 동류항의 계수는 같아야 하므로 동류항의 계수끼리 비교해 식을 세운뒤 찾는 방법.
- 수치대입법: 문자에 그냥 아무 값이나 대입한 뒤[7] 방정식을 푸는 방법.
4. 관련 문서
[1] 이 조건을 '자명하다'라고 한다.[2] $$\mathrm{li}(x)$$는 로그 적분 함수, $$\mathrm{Ei}(x)$$는 지수 적분 함수이다.[3] $$\mathrm{sgn}\left(x\right)$$는 부호 함수이다.[4] $$\delta\left(x\right)$$는 디랙 델타 함수, $$\theta\left(x\right)$$는 헤비사이드 계단 함수이다.[5] 감마 함수에 들어가는 인수의 실수부가 0 또는 음의 정수가 되어서는 안된다는 뜻이다.[6] 실수의 허수부는 무조건 0이라는 의미이다.[7] 보통 0이나 1을 대입한다.[8] 의외라고 생각할 수 있는데, 엄연한 항등식이다. 애초에 곱셈 공식은 복잡한 곱셈의 결과를 쉽게 찾게 해주는것, 인수분해는 식을 곱셈의 꼴로 나타내는것이 목적이다.