역함수
1. 개요
inverse function · 逆函數
함수 $$f:X\to Y$$가 전단사(일대일대응)이면 그 '''역함수'''
$$f^{-1} :Y\to X$$
$$f\left(x\right)=y\Leftrightarrow f^{-1}\left(y\right)=x$$
[image]
2. 성질
역함수가 존재하는 함수 $$f: X \to Y$$와 그 역함수 $$f^{-1}: Y\to X$$를 고려하자.
- 본 함수와 역함수의 합성
- $$f \circ f^{-1}$$는 $$Y$$에서의 항등함수이다.
- $$f^{-1} \circ f$$는 $$X$$에서의 항등함수이다.
- $$f$$의 정의역과 치역이 실수 전체 집합이면, $$f \circ f^{-1}=f \circ f^{-1}=I$$ (단, $$I$$는 항등함수)
- 역함수의 그래프 $$\boldsymbol{y=f^{-1}(x)}$$의 그래프는 본 함수 $$\boldsymbol{y=f(x)}$$와 [math(\boldsymbol{y=x})]에 대하여 대칭이다.
- 연속함수의 그래프와 그 역함수의 그래프의 교점
- 증가하는 연속함수의 그래프와 그 역함수의 그래프의 교점은 $$y=x$$ 위에 있다.[2]
- 감소하는 연속함수의 그래프와 그 역함수의 그래프의 교점의 개수는 홀수이며, 항상 $$y=x$$ 위의 교점을 1개 갖는다.
3. 도출
역함수는 $$y=x$$에 대칭이기 때문에, 다음과 같은 방법으로 역함수를 도출할 수 있다.
3.1. 예 1
- 본 함수의 $$x$$, $$y$$의 자리를 바꾼다.
- 1의 식에서 다시 $$y$$를 $$x$$에 대한 식으로 표현함으로써 역함수를 얻는다.
3.2. 예 2
- 본 함수의 $$x$$, $$y$$의 자리를 바꾼다.
- 1의 식에서 다시 $$y$$를 $$x$$에 대한 식으로 표현함으로써 역함수를 얻는다.
4. 역함수의 예
- 이차함수 ↔ 무리함수(제곱근함수)
- 오차함수 ↔ 브링 근호 함수
- 삼각함수 ↔ 역삼각함수
- 지수함수 ↔ 로그함수
- $$x$$가 곱해진 지수함수 ↔ 람베르트 $$W$$ 함수
- 쌍곡선함수 ↔ 역쌍곡선함수
- 타원적분 ↔ 타원곡선
- 구데르만 함수 ↔ 구데르만 역함수
- 미분 ↔ 부정적분[3]
5. 역함수의 미분
6. 역함수의 적분
원본 함수 대비해서 비교가 되지 않는 난도를 자랑한다. 가령 이차함수의 역함수인 제곱근 함수는 삼각치환을 동원해야 하며, 삼각함수와 지수함수는 부분적분에서 LIATE 법칙의 오른쪽(적분 우선)에 속하는 반면 그 역함수인 역삼각함수와 로그함수는 왼쪽(미분 우선)이다. 심지어 람베르트 $$W$$ 함수 같은 경우 LIATE 밖의 함수답게 로그함수 적분을 '''따위'''로 만들 정도의 까다로움을 자랑한다.
정적분의 경우는 해석기하학적 방법을 이용할 수도 있다.
7. 기타
- 북한에서는 역함수를 '거꿀함수'라고 한다.
[1] 가령 $$\sin$$의 역함수인 $$\arcsin$$의 경우 $$|x|>1$$인 실수 영역에서는 $$\pi\cdot{\rm sgn}(x)/2 \boldsymbol{\,+\,ik}$$(단, $$k \in {\mathbb R\backslash\{0\}}$$)꼴로 함숫값을 표현한다.[2] 반례로, 밑이 $$e^{1/e}$$보다 큰 지수함수와 로그함수는 증가하는 연속함수임에도 $$y=x$$와의 교점이 없다.[3] 범'함수'로서의 역함수 관계. 이는 따로 견인(Pullback)이라고 칭한다.