부호 함수
1. 개요
'''부호 함수(sign(um) function)'''[1]는 특수함수 중 하나로, 어떤 실수의 부호#s-1.2를 출력하는 함수이다. 기호로는 $$\mathrm{sgn}\,x$$로 쓰며, 정의는 아래와 같다.
[math(\displaystyle \mathrm{sgn}\,x \equiv \begin{cases}
\displaystyle \frac{x}{|x|} & \text{ if } x \neq 0 \\
\\
0 & \text{ if } x=0
\end{cases} )]
[1] Signum이라는 이름이 따로 있는 이유는 Sign과 발음이 같은 '''Sine'''과 혼동할 수 있기 때문.
[math(\displaystyle \mathrm{sgn}\,x=\begin{cases}
\displaystyle 1 & \text{ if } x>0 \\
\displaystyle 0 & \text{ if } x=0 \\
-1 & \text{ if } x<0
\end{cases} )]
2. 성질
- 부호 함수는 멱등 함수이다. 즉,
가 성립한다.
- 부호 함수는 홀함수(Odd function, 기함수)이다. 따라서
가 성립한다.
- 계단 함수(Step function)의 일종이다.
- 불연속점이 $$x=0$$에서 존재한다. 따라서
이므로 $$\displaystyle \lim_{x \to 0} \mathrm{sgn}\, x$$는 정의되지 않는다.
이다.
이다.
- 정의역이 복소수인 경우는 $$ \{ -1,\,0,\,1 \}$$이 아닌 다른 값을 띄게 되는데, 이는 복소수의 절댓값이 실수하고는 다르게 정의[2]되기 때문이다. 다만, 원점과의 거리는 항상 1이 된다.[3]
- 절댓값이 정의된 대상이라면 그 대상이 무엇이든 부호 함수를 취할 수 있다. 벡터의 경우 [math({\bold{v}}/{\sqrt{\left< \bold{v} ,\, \bold{v}\right> }})], 행렬의 경우 [math(\boldsymbol{\mathsf{A}}/{\det{\boldsymbol{\mathsf{A}}}})] 같은 식으로 계산할 수 있다.
3. 복소 부호 함수
$$\displaystyle \mathrm{csgn} (z) = \begin{cases} \dfrac{\Re(z)}{\|\Re(z)\|} & \mathrm{if} \ \Re(z) \neq 0 \\ \\ \dfrac{\Im(z)}{\|\Im(z)\|} & \mathrm{if} \ \Re(z) =0,\, \Im(z) \neq 0 \\ \\ 0 & \mathrm{if} \ \Re(z) = 0,\, \Im(z) = 0 \end{cases} $$
정의를 보듯, 순허수인 경우에만 허수부의 부호를 판별하고 나머지는 실수부의 부호를 판별한다.
4. 기타
- 간단한 정의임에도 중등교육과정 이하에서 코빼기도 보이지 않는 함수이다.[4] 대학 과정에서 푸리에 변환을 배울 때 처음 접한다.
- 푸리에 변환의 결과로 나오는 함수는 분수함수이다: $$\widehat{\rm sgn}(x) = -i/ \pi \xi$$
- 컴퓨터과학에서는 음수 값을 1, 양수 값을 0으로 정의한다는 차이점이 있다.[5] 이 정의는 헤비사이드 계단 함수와 천장함수를 사용한 $$1 - \lceil u(x) \rceil$$ 또는 집합 판별 함수을 사용한 $$\mathbf{1}_{\mathbb{R^-}}$$과 동치이다.
- 부호 함수에 x를 곱할 경우에는 x=0에서 미분이 불가능하지만 , x²을 곱한 x²sgn(x)는 전 구간에서 미분이 가능하다.[6]
- Microsoft Excel에도 부호 함수가 존재한다. SIGN(number).