구면삼각형
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1. 개요
球面三角形 · spherical triangle
구면 위에 그려진 삼각형을 말한다. 비유클리드 기하학에서 가장 많이 다루어지는 도형이다.[1]
2. 성질
- 내각의 합은 $$\pi$$보다 크다.[2]
- 모든 변이 같으나 한 각이 $$\dfrac{\pi}{3}$$보다 큰 임의의 각을 갖는 '정삼각형'이 존재한다. 그 가운데 모든 각이 직각인 정삼각형은 구면을 정확히 8등분해서 얻을 수 있다.
- 오목삼각형이 존재한다. 즉 한 각의 크기가 $$\pi$$를 초과할 수 있다.
- 삼각형의 내각의 합은 $$3\pi$$보다 작다. 내각의 합이 $$3\pi$$가 되는 경우 일각형으로 축퇴된다.
- 외접원, 내접원, 방접원은 구의 단면이다.
- 최소 3개의 수심을 갖는다. 하나 이상의 각이 직각인 삼각형은 수심이 4개이다.
- 삼각형의 넓이는 단위구 기준 내각의 합에서 $$\pi$$를 뺀 값이다.
- 각 변의 길이를 모두 더한 값의 절반보다 넓이가 항상 크다.
3. 공식
3.1. 구면직각삼각형의 공식
빗변의 길이가 $$c$$(라디안)인 경우.
$$\cos c=\cos a\cos b$$
$$\sin A= \dfrac{\sin a}{\sin c} , \cos A=\dfrac{\tan b}{\tan c} , \tan A=\dfrac{\tan a}{\sin b} $$
$$\cos A$$를 기술하는 항에서 $$c=\dfrac{\pi}{2}$$일 경우, 로피탈의 정리를 취해 $$\dfrac{\sec^2b}{\sec^2c}=\dfrac{\cos^2c}{\cos^2b}$$로 계산해야 한다.
3.2. 구면삼각형의 사인 법칙
$$ \dfrac{\sin a}{\sin A}=\dfrac{\sin b}{\sin B}=\dfrac{\sin c}{\sin C} $$
3.3. 구면삼각형의 코사인 법칙
- 변에대한 코사인법칙
$$ \cos c=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C $$
- 각도에 대한 코사인법칙
$$\cos C=-\cos A\cos B+\sin A\sin B\cos c $$
- 각도의 코사인 법칙과 변의 코사인 법칙을 합한것
$$\cos c=\dfrac{\cos a\cos b-\sin a\sin b\cos A\cos B}{1-\sin a\sin b\sin A\sin B}$$