구(도형)

1. 개요

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'''중심이 $$\mathbf{O}$$이고, 반지름이 $$\boldsymbol{r}$$인 구'''

'''구(Sphere, 球)'''는 3차원 공간 상 한 정점을 기준으로 거리가 같은 점들의 집합을 나타내는 도형이다. 즉, 원의 3차원 버전이라 생각하면 된다.

2. 상세

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2.1. 구의 특징

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• 구의 한 정점으로 부터 구의 표면까지의 선분을 반지름이라 한다.
• 구의 한 표면으로 부터 한 표면까지 잇는 선분 중 중심을 지나는 선분을 지름이라 하며, 지름의 길이는 반지름 길이의 2배이다.
• 구는 한 축을 회전축으로 하여 반원을 1회전하여 얻을 수 있는 회전체이다.
• 구는 어떤 평면으로 잘라도 그 단면이 원이다.
  • 단면 중 가장 큰 원(구의 반지름을 갖는 단면)을 대원(Great circle)이라고 한다.
• 중심입체각은 $$4\pi$$이다.
• 곡률은 구 위의 모든 점에 대해서 $$r^{-2}$$이다. 즉, 전개도를 만들 수 없다.(평면으로 축퇴시킬 수 없다.)

2.2. 구의 방정식

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3차원 직교 좌표계에서 중심이 $$\mathrm{O}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})$$이고, 반지름의 길이가 $$r$$인 구를 생각해보자. 구 위의 한 점을 가리키는 위치 벡터를 $$\mathbf{r}=(x,\,y,\,z)$$라 하고, 원의 중심을 가리키는 위치 벡터를 $$\mathbf{r}_{0}=(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})$$이라 하자. 그렇다면 반지름의 길이의 크기를 가지며, 방향은 반지름과 같은 벡터 $$\mathbf{r}-\mathbf{r}_{0}$$를 고려할 때

$$\displaystyle |\mathbf{r}-\mathbf{r}_{0}|=r $$

이 구를 기술하는 벡터 방정식이 된다. 양변을 제곱하면

$$\displaystyle \begin{aligned} |\mathbf{r}-\mathbf{r}_{0}|^{2}&=(\mathbf{r}-\mathbf{r}_{0}) \boldsymbol{\cdot} (\mathbf{r}-\mathbf{r}_{0}) \\&=(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}\\ &=r^{2} \end{aligned} $$

이 되므로 구를 기술하는 방정식은 다음과 같음을 알 수 있다.

$$\displaystyle (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=r^{2} $$

이때, 이와 같은 꼴을 '''구의 방정식의 표준형'''이라 하며, 표준형을 정리한 방정식은

$$\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}+Ax+By+Cz+D=0 $$

꼴로 나타나고, 이를 '''구의 방정식의 일반형'''이라 한다.
구의 방정식의 일반형은 아래와 같이 표준형으로 정리될 수 있다.

$$\displaystyle \left( x-\frac{A}{2} \right)^{2}+\left( y-\frac{B}{2} \right)^{2}+\left( z-\frac{C}{2} \right)^{2}=\left[ \frac{\sqrt{A^2+B^2+C^2-4D}}{2} \right]^{2} $$

즉, 중심이 $$(A/2,\,B/2,\,C/2)$$이고, 반지름 $$\sqrt{A^2+B^2+C^2-4D}/2$$인 구의 방정식임을 알 수 있다.

2.2.1. 양함수 형태

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위의 도출된 구의 방정식은 음함수 형태이므로 이것을 양함수 $$z=f(x,\,y)$$의 형태로 다시 쓰면 아래와 같다.

$$\displaystyle f(x,\,y)=\pm \sqrt{r^2-[(x-x_{0})^2+(y-y_{0})^2]}+z_{0} $$

이것은 구가 하나의 양함수로 표현되지 못하고, 두 개의 양함수로 표현됨을 알 수 있다.
부호가 양인 것은 평면 $$z=z_{0}$$를 기준으로 $$ z_{0} \leq z \leq z_{0}+r$$의 영역에 나타나는 상반구(아래의 그림에서 적색 영역), 부호가 음인 것은 동일한 평면을 기준으로 $$z_{0}-r\leq z < z_{0}$$에 나타내는 하반구(아래의 그림에서 청색 영역)이다. 아래의 그림을 참고하라.

원의 방정식과 마찬가지로 $$f(x,\,y,\,z) = (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}-r^{2}$$ 꼴로 바꿀 수 있으며, 이 함수가 그리는 그래프는 높이가 무한대이고 밑면이 구인 구 초기둥(Spherinder)이다.

2.2.2. 구의 방정식의 다른 표현

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2.2.2.1. 매개변수 방정식

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3차원 직교 좌표계에서 두 매개변수 $$0 \leq \theta \leq \pi$$, $$0 \leq \phi \leq 2\pi$$에 대하여 중심이 $$(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})$$에 위치하고, 반지름이 $$r$$인 구의 방정식을 아래와 같이 매개변수로 표현할 수 있다.

[math(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
\begin{aligned}
x&=r\sin{\theta}\cos{\phi}+x_{0}\\
y&=r\sin{\theta}\sin{\phi}+y_{0}\\
z&=r \cos{\theta}+z_{0}
\end{aligned}
\end{matrix}\right. )]

2.2.2.2. 구면 좌표계에서의 방정식

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3차원 구면 좌표계에서 원점에 중심이 위치하고, 반지름이 $$r_{0}$$인 구의 방정식은

$$\displaystyle r=r_{0} $$

로 나타낼 수 있다.

2.3. 구의 겉넓이와 부피

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2.3.1. 겉넓이

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모든 구는 평행이동을 이용해서 중심이 원점에 있는 구로 이동시킬 수 있으므로 반지름이 $$r$$이고, 중심이 원점인 구의 겉넓이를 구한다면 공간에 위치하는 모든 구의 겉넓이를 구한 것이다.
해당 겉넓이는 구면 좌표계의 적분을 통하여

$$\displaystyle \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} r^{2} \sin{\theta} \,d\theta d\phi=4\pi r^{2} $$

으로 구할 수 있다.

2.3.2. 부피

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모든 구는 평행이동을 이용해서 중심이 원점에 있는 구로 이동시킬 수 있으므로 반지름이 $$r$$이고, 중심이 원점인 구의 부피를 구한다면 공간에 위치하는 모든 구의 부피를 구한 것이다.
해당 부피는 구면 좌표계의 적분을 통하여

$$\displaystyle \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{r} r'^{2} \sin{\theta} \,dr'd\theta d\phi=\frac{4}{3}\pi r^{3} $$

으로 구할 수 있다.
역사적으로는 아르키메데스가 구의 부피가 지름과 높이가 동일한 원기둥의 $$2/3$$임을 구분구적법을 통해 밝혀냈다.

$$\dfrac23 ( 2r \cdot \pi r^2 ) =\dfrac{4}{3}\pi r^{3} $$

2.4. 구와 도형

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2.4.1. 구와 접선

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구의 외부에서 그은 구의 접선과 반지름은 직교한다. 원의 접선과 원의 중심을 모두 포함하는 한 평면을 생각했을 때 해당 평면과 구의 교선은 원이고, 원 위의 접선은 반지름과 항상 직교함을 원(도형) 문서에서 증명한 바 있으므로 그것을 생각하면 직교할 수밖에 없다는 결론을 얻는다.

이상의 결과를 이용하면, 중심이 $$\mathrm{C}$$이고, 반지름의 길이가 $$r$$인 구 외부의 한 점 $$\mathrm{P}$$에서 접선을 그었을 때, 접선과 구의 교점이 $$\mathrm{Q}$$일 때, 삼각형 $$\mathrm{PQC}$$는 직각 삼각형이므로 구의 접선의 길이 $$\overline{\mathrm{PQ}}$$는 다음과 같이 주어짐을 쉽게 알 수 있다.

$$\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}=(r^2-{\overline{\mathrm{PC} }}^{2})^{1/2} $$

또한 점 $$\mathrm{Q}$$는 구 위의 원을 그린다. $$\mathrm{PQC}$$이 직각 삼각형이기만 하면 되기 때문에 $$\mathrm{Q}$$는 하나로 정해지지 않기 때문이다. 아래의 그림을 참조하자.

(a)는 3차원 상에서 점 $$\mathrm{P}$$에서 구 표면 위에 접선을 그었을 때 생기는 점 $$\mathrm{Q}$$의 자취를, (b)는 (a)를 2차원 상에 보기 좋게 표현한 것이다.

2.4.2. 접평면의 방정식

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접평면이란, 곡면에 접하는 평면을 구하는 것이다. 2차원에서 곡선에 접하는 접선을 구한 것의 3차원 버전인 셈이다.
델(연산자) 문서로 부터 $$w=f(x,\,y,\,z)$$의 4차원 함수의 등위곡면 $$k=f(x,\,y,\,z)$$의 표면에 수직한 벡터는 $$f$$의 그레이디언트임을 논의했다. 이 결과를 사용하자.
공간좌표 상 모든 구는 평행이동을 통하여 원점을 중심으로 갖는 구로 이동시킬 수 있다. 즉, 이 경우에 한해서 구하면 임의의 중심을 갖는 구에 대해서는 평행이동을 통하여 구할 수 있다.
좌표공간 상 중심이 원점이고, 반지름이 $$r$$인 구를 고려하자. 이 구 위의 한 점 $$(x_{1},\,y_{1},\,z_{1})$$위의 접평면의 법선벡터는 $$f(x,\,y,\,z)=x^2+y^2+z^2=r^{2}$$로 놓음으로써

$$\displaystyle \boldsymbol{\nabla}f(x_{1},\,y_{1},\,z_{1})=(2x_{1},\,2y_{1},\,2z_{1}) $$

이상에서 이 법선 벡터를 가지고 점 $$(x_{1},\,y_{1},\,z_{1})$$을 지나는 평면의 방정식이 곧 접평면이 되므로

$$\displaystyle x_{1}(x-x_{1})+y_{1}(y-y_{1})+z_{1}(z-z_{1})=0 $$

이것을 정리하면,

$$\displaystyle x_{1}x+y_{1}y+z_{1}z=r^{2} $$

따라서 구의 중심이 $$(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})$$이고, 이때, 점 $$(x_{1},\,y_{1},\,z_{1}) \to (x_{2},\,y_{2},\,z_{2})$$ 위의 접평면의 방정식을 구한다면,

$$\displaystyle (x_{2}-x_{0})(x-x_{0})+(y_{2}-y_{0})(y-y_{0})+(z_{2}-z_{0})(z-z_{0})=r^{2} $$

으로 쓸 수 있다.

2.4.3. 구와 구

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2.4.3.1. 두 구의 위치 관계

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좌표공간 상 중심이 각각 $$\mathrm{O}$$, $$\mathrm{O'}$$이고, 반지름의 길이가 각각 $$r$$, $$r'$$($$r \geq r'$$)인 두 구를 생각하자. 이때, 두 구의 중심 사이의 거리 $$\overline{\mathrm{OO'}} \equiv d$$라 놓을 때, 다음이 성립한다.

• 한 구가 다른 구의 외부에 있는 경우: $$d >r+r'$$

• 외접하는 경우: $$d=r+r'$$

• 교선이 원이 되게 만나는 경우: $$r-r'

• 내접하는 경우: $$d=r-r'$$

• 한 구가 다른 구의 내부에 있는 경우: $$0

2.4.3.2. 두 구의 교선을 지나는 구의 방정식

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좌표평면 위에서 두 구 $$x^{2}+y^{2}+z^{2}+Ax+By+Cz+D=0$$과 $$x^{2}+y^{2}+z^{2}+A'x+B'y+C'z+D'=0$$을 고려해보자. 이 두 구의 교점을 $$(\alpha,\,\beta,\,\gamma)$$라 놓으면, 교점에서

$$\displaystyle \begin{aligned} \alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}+A\alpha+B\beta+C \gamma +D&=0 \\ \alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}+A'\alpha+B'\beta+C' \gamma +D'&=0 \end{aligned} $$

이 성립한다. 다음과 같은 도형

$$\displaystyle (x^{2}+y^{2}+z^{2}+Ax+By+Cz+D)+k(x^{2}+y^{2}+z^{2}+A'x+B'y+C'z+D')=0 $$ (단, $$k \neq 1$$)

을 고려해보도록 하자. 이 도형은 이차항의 계수가 모두 같으므로 공간좌표 상 구글 기술한다고 볼 수 있다. 이 도형에 두 구의 교점을 대입하면,

$$\displaystyle (\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}+A\alpha+B\beta+C \gamma +D)+k(\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}+A'\alpha+B'\beta+C' \gamma +D')=0 $$

이고, 이는 임의의 $$k$$의 값에 관계 없이 항상 성립한다. 즉, 위 도형은 $$k$$의 값에 관계 없이 항상 두 구의 교점을 지남을 알 수 있다.
참고적으로 $$k=-1$$일 때는 이차항이 상쇄되기 때문에 위 도형은 평면이 되므로 이를 제외해야 한다.

2.4.3.3. 두 구의 교선을 지나는 평면의 방정식

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교선 위의 모든 점은 두 구의 공통적인 점의 집합이므로 결국

$$\displaystyle (x^{2}+y^{2}+z^{2}+Ax+By+Cz+D)+k(x^{2}+y^{2}+z^{2}+A'x+B'y+C'z+D')=0 $$

가 두 구 $$x^{2}+y^{2}+z^{2}+Ax+By+Cz+D=0$$, $$x^{2}+y^{2}+z^{2}+A'x+B'y+C'z+D'=0$$의 교점을 지나는 도형을 나타내는 방정식임을 상기하면서 $$k=-1$$을 택하면 이차항은 모두 상쇄되어 평면의 방정식이 됨에 따라

$$\displaystyle (x^{2}+y^{2}+z^{2}+Ax+By+Cz+D)-(x^{2}+y^{2}+z^{2}+A'x+B'y+C'z+D')=0 $$

이 두 구의 교선을 지나는 평면의 방정식임을 알 수 있다. 이것을 정리하면 다음과 같은 꼴로 쓸 수 있다.

$$\displaystyle (A-A')x+(B-B')y+(C-C')z+(D-D')=0 $$

3. 확장

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• $$n \text{-}$$초구는 $$n+1$$차원 유클리드 공간에서 한 점으로부터 같은 거리에 있는 모든 정점들로 이루어져 있는 $$n$$차원의 곡면이다. $$n=2$$일 때를 특별히 "구"로 부른다.
  • 차원을 헷갈리기 쉽다. 예를 들어, 3차원 공간 안에 있는 구, 다시 말해 2-구는 미지수가 세 개인 식으로 표현할 수 있다. 하지만 실제로 매개변수화를 시키면 두 개의 각을 매개변수로 하는 좌표계로 옮길 수 있음을 알 수 있다. 따라서 보다 쉽게, 2-구의 차원은 3차원이 아니라 2차원임을 알 수 있다. 이를 일반화해서, $$n \text{-}$$구의 매개변수화에서는 $$n$$개의 매개변수가 존재하므로 차원은 $$n$$이 된다.
  • $$n \text{-}$$구의 겉넓이와 구의 부피는 아래와 같다.(단, $$\Gamma(x)$$는 감마함수이다.)
    • 겉넓이: $$\displaystyle \frac{2{\pi}^{{(n+1)}/{2}} }{\Gamma\biggl( \dfrac{n+1}{2} \biggr )}{r}^{n} $$
    • 부피: $$\displaystyle \frac{{\pi}^{(n+1)/2 }}{\dfrac{n+1}{2}\Gamma\biggl( \dfrac{n+1}{2} \biggr )}{r}^{n+1} $$

4. 기타

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• 대한민국 교육과정 상 초등학교, 중학교, 고등학교에서 고루 등장하나 초중등 과정에서는 거의 부피, 겉넓이, 모양 자체에 집중하는 편이고, 고등 과정에서 기하와 벡터 교과목을 통해 해석 기하학적으로 구를 접근한다.
• 위상수학에서는 다면체와 원기둥, 원뿔을 구와 '똑같은 것(homeomorphism)\'으로 취급한다. 위상수학에서는 거리라는 것이 없다고 보기 때문에 결론적으로 구와 차이가 없어진다.[1]
• 일상생활 속 흔히 볼 수 있는 도형이다. 가장 쉬운 예로 축구공이나 농구공 등 각종 구기 종목들의 공의 모양은 구인 경우가 많다. 애초에 球(구) 라는 한자가 공이라는 뜻이다.
• 구와 관련된 기묘한 정리로 바나흐-타르스키 역설이 있다. 말하자면 구 하나를 유한 개의 조각으로 쪼개어 두 개의 구로 만들 수 있으며, 이 과정에서 생기는 조각들 중 부피를 구할 수 없는 조각이 있다는 정리이다.

5. 관련 문서

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• 수학 관련 정보
• 기하학
  • 해석 기하학
  • 미분 기하학 - 구 위에서의 기하학을 다룬다.
    • 구면삼각형
• 원(도형)
  • 공 모양
• 타원면
• 바나흐-타르스키 역설

[1] 같은 원리로 손잡이 달린 컵 = 도넛(원환체와 위상동형)이 예시로 많이 언급된다.