사인 법칙

 



1. 개요
2. 증명
2.1. 원주각을 이용한 증명
2.2. 벡터곱을 이용한 증명
3. 활용
3.1. 예제
4. 관련 항목


1. 개요

'''Sine law'''
2009 개정 교육과정에서 빠졌다가, 2015 개정 교육과정에 따라 고등학교 2학년 때 배우게 되는, 평면기하학의 공식 중 하나.
삼각형에서 변의 길이와 각의 크기를 알 때, 나머지 모르는 변의 길이와 각의 크기를 삼각함수를 이용해서 구할 수 있게 해준다. 자세한 내용은 아래와 같다.
$$\triangle{\mathrm{ABC}}$$의 세 각의 크기 $$A$$, $$B$$, $$C$$, 대변의 길이 $$a$$, $$b$$, $$c$$, 그리고, 외접원의 반지름 길이 $$R$$에 대해

$$ \displaystyle \frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R $$이 성립한다.
한편, $$(\sin x)^{-1} = \csc x$$가 성립하므로

$$ \displaystyle a \csc A = b \csc B = c \csc C =2R $$
의 형태로도 쓸 수 있다.

1.1. 구면기하학에서

한편 삼각형이 구 위에 있으면 이 식의 형태가 바뀌게 된다.
$$ \displaystyle \frac{\sin a}{\sin{A}}=\frac{\sin b}{\sin{B}}=\frac{\sin c}{\sin{C}}=2R $$
즉 사인이 분자에까지 적용된다는 이야기이다.

1.2. 쌍곡기하학에서

쌍곡기하학에서는 더해서
$$ \displaystyle \frac{\sinh a}{\sin{A}}=\frac{\sinh b}{\sin{B}}=\frac{\sinh c}{\sin{C}}=2R $$
분자가 쌍곡선 함수로 바뀐다.

2. 증명


2.1. 원주각을 이용한 증명

$$\triangle \mathrm{ABC}$$의 외접원의 중심을 $$\mathrm{O}$$라 하고, $$\overline{\mathrm{BO}}$$의 연장선이 원과 만나는 점을 $$\mathrm{A'}$$라 하자. 그렇게 하면, $$\overline{\mathrm{BA'}}$$은 외접원의 지름이므로, $$\overline{\mathrm{BA'}}=2R$$이 된다. 또한,

$$\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}=a\qquad \qquad \overline{\mathrm{AC}}=b \qquad \qquad \overline{\mathrm{AB}}=c$$
임을 참고하라.
'''(ⅰ) $$\triangle \mathrm{ABC}$$가 예각 삼각형일 때'''
[image]
위 그림에서 원주각의 성질에 따라

$$\displaystyle \angle{A}=\angle{A'} $$
이고,

$$\displaystyle \angle{\mathrm{BCA'}}=90^{\circ} $$
이다. 따라서

$$\displaystyle \sin{A}=\sin{A'}=\frac{a}{2R} $$
이고 이것을 정리하면,

$$\displaystyle \frac{a}{\sin{A}}=2R $$
이 얻어진다.
'''(ⅱ) $$\triangle \mathrm{ABC}$$가 둔각 삼각형일 때'''
[image]
위 그림에서 원주각의 성질에 따라

$$\displaystyle \angle{A}=180^{\circ}-\angle{A'} $$
이고,

$$\displaystyle \angle{\mathrm{A'BC}}=90^{\circ} $$
이다. 따라서

$$\displaystyle \sin{A}=\sin{(180^{\circ}-A')}=\sin{A'}=\frac{a}{2R} $$
이고[1] 이것을 정리하면,

$$\displaystyle \frac{a}{\sin{A}}=2R $$
[1] 내접 사각형의 대각의 합이 $$180^{\circ}$$인 것을 이용했다.
얻어진다.
'''(ⅲ) $$\triangle \mathrm{ABC}$$가 직각 삼각형일 때'''
[image]
위 그림에서 $$\angle{A}=90^{\circ}$$이다. 따라서

$$\displaystyle \sin{A}=1 \qquad \qquad a=2R $$
이므로

$$\displaystyle \frac{a}{\sin{A}}=2R $$
이 성립한다.

2.2. 벡터곱을 이용한 증명

[image]
임의의 벡터에 대해 자기 자신과의 외적은 항상 0이다. 따라서 아래와 같이 쓸 수 있다.

$$\displaystyle \mathbf{B} \times \mathbf{B}=\mathbf{0} $$
따라서 임의의 벡터에 대해 아래의 등식은 성립한다.

$$\displaystyle (\mathbf{A-B}) \times \mathbf{B}=\mathbf{A \times B} $$
이때, 새로운 벡터 $$\mathbf{C}$$를 아래와 같이 정의해보자.

$$\displaystyle \mathbf{C} \equiv \mathbf{A-B} $$
이제 벡터 $$\mathbf{A}$$, $$\mathbf{B}$$, $$\mathbf{C}$$는 서로 삼각형을 이루게 된다. 각각의 벡터의 대각을 각각 편의상 $$A$$, $$B$$, $$C$$라 부르고, 각각의 벡터의 길이를 아래와 같이 부르자.

$$\displaystyle \left| \mathbf{A} \right| \equiv a \qquad \qquad \left| \mathbf{B} \right| \equiv b\qquad \qquad \left| \mathbf{C} \right| \equiv c $$
이렇게 하면, 위에서 두 번째 식의 좌변은 아래와 같이 변형된다.

$$\displaystyle \left| (\mathbf{A-B}) \times \mathbf{B} \right|=bc\sin{A} $$
우변은,

$$\displaystyle \left| \mathbf{A} \times \mathbf{B} \right|=ab\sin{C} $$
위에서 다섯 번째 식과 위에서 여섯 번째 식은 이미 같음을 보였기 때문에 이를 잘 조합하면,

$$\displaystyle \frac{\sin{A}}{a}=\frac{\sin{C}}{c} $$
이 방식은 좀 더 간결하지만, 외접원에 대한 정보를 제공하지 않는다는 단점이 있다.[2]

3. 활용

  • 각을 변으로 바꾸기
[2] 다만, 위의 식에서 $$ \dfrac{\sin{C}}{c} = \dfrac{1}{2R}$$로 보고 외접원의 반지름 정도는 구할 수 있다.

  • 변을 각으로 바꾸기

  • 변의 비와 각에 따른 사인값의 비

그 외에도 삼각형에서 삼각함수의 등식을 증명하거나, 넓이를 찾을 때에는 위 세 가지 변형과 코사인 법칙을 잘 활용하면 쉽게 해결할 수 있다.

3.1. 예제

사인법칙과 제2코사인법칙을 이용하여 아래 문제를 풀 수 있다.
[image]
[풀이]
--
세 변의 길이 비가 $$2:3:4$$임을 알 수 있으므로, 제2코사인 법칙에 의해

$$ \cos{C}= \dfrac{2^2+3^2-4^2}{2\cdot 2\cdot 3}=-\dfrac{1}{4}$$
이다. 정답은 ②번.

이다. 정답은 ②번. }}}

4. 관련 항목