유리수
1. 정의
두 정수 $$m$$, $$n$$ ($$n \ne 0$$)으로 몫 $$\dfrac mn$$을 나타낼 수 있는 수. 유리수의 집합은 몫을 뜻하는 이탈리아어 '''Q'''uoziente의 머릿글자를 따서 $$\mathbb Q$$로 나타낸다.[1] 유리수는 ([math(0)]으로 나누는 것을 제외한) 모든 사칙연산(덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈)에 대해 닫혀있는 '최소의' 집합이기도 하다. 그래서 체 중에 가장 작은 체라는 뜻으로 소체(prime field)라고도 한다.[2] 지수 연산에 대해서는 닫혀 있지 않다. 예를 들면, $$\left(\dfrac 12\right)^{\frac 12} = \dfrac 1{\sqrt 2} \notin \mathbb Q$$, $$\left(-\dfrac 23\right)^{\frac 12} = i \sqrt{\dfrac 23} \notin \mathbb Q$$
임의의 정수는 $$\dfrac n1$$으로 나타낼 수 있으므로 유리수이고, 정수가 아닌 유리수는 분수 혹은 소수로 나타낼 수 있다.
유리수 $$\dfrac pq$$ $$(q \ne 0)$$는 일차방정식 $$qx - p = 0$$의 해이므로 항상 대수적 수이다. 즉, 초월수인 유리수는 존재하지 않는다.
2. 유리수의 소수표현
정수가 아닌 유리수 $$x=\dfrac mn$$을 나눗셈을 통해 소수로 표현하면, 유한한 자리에서 나눗셈이 끝나는 '''유한소수''' 혹은 일정 자리 이후로 특정 패턴이 반복되는 '''순환소수'''가 된다. 역으로, 유한소수나 순환소수로 나타나는 소수는 유리수이다.[3]
- 유한소수
소수점 아래에서 [math(0)]이후로 [math(0)]만 반복될 경우 해당 [math(0)]들의 표기는 생략한다는 일반적인 약속[5]에 따라, 유한소수는 '''$$\bf 0$$이 반복되는 순환소수의 특수한 경우'''로 간주할 수 있다. 즉 위의 $$0.125$$를 예로 들면 $$0.125 = 0.125000\cdots\cdots = 0.125\dot0$$인 셈이며, 특정 진법에서 유한소수였던 수가 다른 진법에서 순환소수가 되는 것[6]이 이상하지 않음을 알 수 있다. '''애초에 모두 순환소수이기 때문'''이다. 이렇게 정의하면 유한소수는 순환마디의 크기가 $$1$$이고 순환마디는 [math(0)]인 혼순환소수가 된다.
무한소수 중 순환되는 단위가 있을 경우 이를 순환소수라 한다. 이 때 소숫점 아래에서 순환, 즉 반복하는 가장 짧은 부분을 '순환마디'라고 한다. 말줄임표를 쓰지 않고 간단하게 표기하기 위해 순환마디를 한 번만 쓰고 마디 양끝 숫자 위에 점을 찍는 표기법이 있다. 예를 들면 $$\dfrac 17 = 0.1428571\cdots\cdots$$의 경우 순환마디가 $$142857$$이므로 $$\dfrac 17 = 0.\dot14285\dot7$$로 나타내는 것. 또다른 예로는 $$\dfrac 16 = 0.16666\cdots\cdots = 0.1\dot6$$. 이 경우의 순환마디는 $$6$$이다. 이 표기법은 세계적으로 통일된 게 아니라서 나라별로 약간씩 차이가 있는데 순환마디 위나 아래에 줄을 긋는가 하면($$\dfrac 17 = 0.\overline{142857} = 0.\underline{142857}$$)[7] 괄호로 감싸는 경우도 있고($$0.\left(142857 \right)$$), 순환마디 위에 호를 그리는 방법($$\dfrac{67}{55} = 1.2 \overset{\normalsize \frown}{18}$$)도 있다
$$\dfrac 17 = 0.\dot14285\dot7$$과 같이 순환마디가 소수점 바로 아래부터 시작하는 순환소수를 '순(純)순환소수', $$\dfrac 16 = 0.1\dot6$$과 같이 둘째 자리 이후부터 시작하는 순환소수를 '혼(混)순환소수'라 한다. 기약분수로 나타냈을 때 분모가 $$10$$과 서로소이면 순순환소수[8]이고, 그렇지 않으면 혼순환소수[9]가 된다.
주의할 점이라면 $$0.101001000100001\cdots\cdots$$ 같은 수는 소수점 아래에 규칙성이 있는 것은 맞지만 순환소수가 아니라는 점이다. 순환소수가 되려면 일정한 폭의 순환마디가 있어야 하는데 이건 그렇지 못하기 때문. 이 수는 아래에서 서술할 '비순환소수'임은 물론, 대수적인 수[10]도 아닌 '''초월수'''에 속한다.
나눗셈 $$x =\dfrac mn$$이 유한자리에서 끝나지 않는다면, 일정 자리 이후로 특정 패턴이 반복되어야 한다. 즉, 순환마디가 나타나야 한다. 우리가 흔히 소수의 나눗셈을 하는 방식에 따르면, 나눠지는 수(피제수)의 소숫점 아래자리에서 나누는 수의 배수만큼을 덜어내고, 그 나머지를 다시 나누게 된다. 이 때 나누는 수가 $$n$$이면 나머지는 [math(0)]부터 $$(n-1)$$까지 $$n$$개만이 가능하고, 똑같은 나머지가 다시 나온다면 그 뒤로의 나눗셈 과정 역시 반복되기 때문에 순환 패턴이 생기는 것.[11] 역으로 순환소수는 반드시 분수로 나타낼 수 있다.[12]
유리수가 반드시 순환소수로 표현된다는 위의 설명이 불충분하게 느껴진다면 다음과 같은 더 강력한 방법을 쓸 수도 있다. $$\dfrac mn$$($$m$$은 정수, $$n$$은 자연수)이 순환소수라는 것은 정수 $$a$$와 자연수 $$r$$, $$s$$를 이용하여 $$\dfrac a{10^s \left( 10^r - 1 \right)}$$의 꼴로 나타낼 수 있다는 것과 동치이다.[13] 왜냐하면 $$\dfrac 1{10^r - 1} = \dfrac 1{10^r} + \dfrac 1{10^{2r}} + \dfrac 1{10^{3r}} + \cdots\cdots$$ 이므로 다음과 같이 풀어쓸 수 있기 때문이다.
$$\dfrac mn = \dfrac c{10^s} + \dfrac 1{10^s} \left( \dfrac d{10^r} + \dfrac d{10^{2r}} + \dfrac d{10^{3r}} + \cdots\cdots \right)$$.
여기서 $$c$$, $$d$$는 각각 $$a$$를 $$10^r - 1$$로 나눠서 얻은 몫과 나머지[14]이며, $$d$$가 바로 순환구간에 해당한다는 것을 알 수 있다. 예를 들어 $$\dfrac 17 = 0.\dot14285\dot7$$ 같은 경우 $$r=6$$, $$s=c=0$$, $$d=142857$$이고 $$\dfrac{67}{55} = 1.2\dot1\dot8$$ 같은 경우 $$r=2$$, $$s=1$$, $$c=12$$, $$d=18$$이다.
한편, 여기서 $$s=c=0$$인 경우만 다뤄도 충분하다. 어차피 순환소수에 $$10$$의 거듭제곱을 곱하든 정수를 더하든 순환소수가 될 뿐이고 $$r$$과 $$d$$, 즉 순환구간의 길이와 내용은 바뀌지 않기 때문이다. 모든 혼순환소수는 어떤 순순환소수에 유한소수를 더한 것과 같기에 순순환소수만 다뤄도 충분한 것이다. 물론 $$m$$이 자연수여도 상관없다. 또한 $$n$$이 $$2$$와 $$5$$에 대해 서로소인 경우만 다뤄도 충분하다. 그렇지 않다 하더라도 분자와 분모에 적당한 $$2$$와 $$5$$의 거듭제곱을 곱하면 자연수 $$q$$, $$n'$$에 대해 $$2^k 5^l n = 10^q n'$$($$n'$$은 $$2$$, $$5$$에 대해 각각 서로소)꼴로 만들 수 있는데, 이는 곧 $$s=q$$인 혼순환소수이기 때문이다. 위의 $$\dfrac{67}{55} = \dfrac{134}{110} = \dfrac{134}{10\times 11}$$가 이에 해당한다. 당연히 $$n'=1$$인 경우는 고려하지 않아도 된다. 따라서 주어진 문제는 $$0<m<n$$이고, $$n \ (n>1)$$은 $$2$$와 $$5$$에 대해 서로소인 자연수인 경우로 좁혀진다. 그 결과 최종적으로 $$\dfrac mn = \dfrac a{10^r - 1}$$인 자연수 $$a$$, $$r$$을 찾는 것으로 좁혀진다.
이걸 확실하게 풀기 위해선 페르마의 소정리에 대한 오일러의 일반화가 필요하다. 이 명제는 다음과 같이 주어진다.
'''서로소인 두 자연수 $$\boldsymbol a$$, $$\boldsymbol n$$에 대해 $$\boldsymbol{a^{\phi \left( n \right)}}$$를 $$\boldsymbol n$$으로 나눈 나머지는 $$\boldsymbol 1$$이다.'''
($$\phi \left( n \right)$$는 오일러 파이 함수[15])
이 정리에서 $$a=10$$로 놓으면 다음을 알 수 있다. 앞서 놓은 가정에 의하여 $$n$$은 $$10$$과 서로소이므로 $$r = \phi \left( n \right)$$을 만족하는 자연수 $$r$$에 대해 $$10^r -1$$는 $$n$$의 배수이다. 이를 다르게 쓰자면 어떤 자연수 $$r$$, $$q$$에 대해 $$nq = 10^r - 1$$이다. 따라서 다음이 성립한다.
$$\dfrac mn = \dfrac{mq}{nq} = \dfrac{mq}{10^r - 1}$$.
이것은 정확히 우리가 원하던 꼴이다. 결국 정수가 아닌 모든 유리수는 순환소수임이 증명되었다.
- 비순환소수
3. 조밀성과 완비성
임의의 두 실수 $$a$$, $$b\left(a<b\right)$$ 사이에는 항상 유리수 $$c$$가 있다. 따라서 수직선에서 유리수는 아무리 작은 선분에도 항상 존재하는데, 이를 유리수의 조밀성이라 한다. 하지만 유리수가 이렇게 조밀하게 있는데도, 유리수가 아닌 무리수들도 조밀성을 만족한다. 즉, 서로 다른 두 무리수 사이에는 항상 또 다른 무리수가 존재한다. 심지어 무리수 쪽이 훨씬 조밀하다. 즉 수직선 위의 유리수는 '''빽빽하게 들어차 있는데도 빈틈투성이'''인 이상한 세계인 것이다.
수직선이 빈틈을 허용하지 않는다는 성질은 '완비성(completeness)'이라 부르는데, 이 완비성의 정의는 꽤나 복잡하다. 이 완비성이라는 성질과 유리수의 조밀성에 대해 더 알고 싶으면 실수 문서를 참고.
4. '유리수'는 잘못된 번역?
'유리수'라는 명칭은 잘못된 번역이라는 주장이 있다.
이 단어는 일본 수학계에서 유리수의 영어 명칭인 'rational number'를 사전적인 의미[16] 그대로 번역한 有理数가 중역되어 한국으로 넘어온 것인데, 단순히 사전적인 의미에 의존하여 번역하는 것은 잘못된 것이고 ''''ratio[17]'''-nal'로 나누어 번역해 '유비수'라고 해야 한다는 것이 이쪽의 주장. 사실 유리수 자체가 비(분수꼴)로 나타낼 수 있는 수를 뜻하므로 이쪽도 일리있는 주장이다. 무리수도 똑같은 이유로 '무비수'라고 해야 한다는 것.
이는 영어 irrational의 어원인 라틴어 irratiōnālis의 역사에서 더 명확히 드러나는데, 고대 그리스 시대에 아리스토텔레스가 $$\sqrt 2$$는 비로 나타낼 수 없음(incommensurable)을 증명하고 이를 'irratiōnālis'(도리에 어긋난, 비합리적인)이라고 한 것이 최초지만[18], 나중에 피타고라스 학파 출신 아르키타스(Archytas)의 제자 에우독소스(Eudoxus)[19]가 '''irratiōnālis라는 단어에 '비로 나타낼 수 없는'이라는 뜻을 재정립'''[20]해버렸다.출처 이와 더불어 라틴어 ratiō, ratiōnālis에도 '비'와 관련된 의미가 추가되긴 했지만 학문적 필요성에 의해 재정립된 의미이다보니 중세 시대까지도 라틴어 화자들은 '비'를 의미하는 단어로서 ratiō를 쓰지 않고 prōportiō[21]를 썼었다. 영어 ratio, rational, irrational 중 수학 용어로서 역사적으로 가장 먼저 등장[22]한 단어는 '''ratio가 아니고 irrational'''이다.[23] 영국의 수학자이자 의사인 로버트 레코드[24]가 그의 저서 《지혜로의 길》(The Pathway of Knowledge, 1551)에서 처음으로 이 단어를 썼고[25], 후에 에우클레이데스의 원론을 헨리 빌링슬리(Sir Henry Billingsley)가 최초로 번역(1570)할 때 로버트 레코드가 쓴 어휘를 참고하여 rational[26]을 썼으며, 마지막으로 아이작 배로(Isaac Barrow)가 번역(1660)할 때 ratio를 썼다. 즉, 수학 용어로서는 irrational → rational → ratio 순으로 의미가 재정의된 셈. 참고로 수학 외 분야에서는 rational('합리적인', 1398) → irrational('비합리적인', 1470) → ratio('판결이유'[27], 1636)순으로 등장했다.
그렇게 처음 단어가 만들어졌을 당시에는 '합리성'의 여부에 따라 단어가 만들어진 것이었으나, 이는 무리수를 수로 인정하지 않던 시대의 발상이기 때문에 오늘날의 수학계의 패러다임에서는 받아들이기 어렵다. 특히나 수학 용어에서는 지금 현재 나타내는 의미를 정확하게 나타내는 것이 더 중요하므로, '비'로 재편된 수학적 의미를 따라 번역하는 것이 더 적절할 수 있다.
5. 동음이의어
遊離水. 생체나 토양에 함유된 수분 가운데서 자유로이 이동이 가능한 물. 생체 반응이나 영양물ㆍ이온의 수송 따위에 중요한 역할을 한다. ‘자유수’(自由水)로 순화.
6. 관련 문서
[1] 이탈리아의 수학자 주제페 페아노(Giuseppe Peano)가 이 표기를 처음으로 도입했다. 유리수는 영어로 Rational number이지만 $$\mathbb R$$은 실수(Real number)의 집합을 나타내므로 다른 기호를 사용한다.[2] 그런데 더 작은 소체도 정의할 수 있다. 임의의 소수 $$p$$에 대해 [math(0)], $$1$$, $$2$$, $$\cdots\cdots$$, $$p-1$$을 모은 집합에 덧셈과 곱셈을 정수에서의 연산과 같게 하되, $$p$$로 나눈 나머지만 갖도록 하면 '''나누기도 잘 정의된다'''. 또한 이렇게 해서 정의된 체는 같은 수를 $$p$$번 연거푸 더했을 때 [math(0)]이 되는 모든 체가 포함하는 체(이런 체를 가리켜 characteristic이 $$p$$인 체라고 부른다)이기에 $$\{0, \ 1, \ 2, \cdots\cdots, \ p-1\}$$ 역시 소체가 된다. 이 세계는 유리수 같은 것과 관련이 있는 체들과 제법 다른 세계이다. 수 체계 참고.[3] 소수점 아래에 규칙성이 있다는 것과는 다른 말이다. 순환소수는 소수점 아래에 항상 순환마디라는 규칙성이 존재하지만, 규칙성이 있는 비순환소수도 존재한다.[4] 즉 기약분수꼴의 분모가 $$2$$나 $$5$$를 소인수로 가지면[5] 이것도 어디까지나 이산적인 계산에 의한 수치일 경우로 한정되고 측량으로 얻어지는 값은 계산 결과에서 유효숫자의 자릿수가 매우 중요하기 때문에 함부로 생략하면 안 된다. 특히 화학 등에서 $$\rm0.100\,mol$$ 같은 표기를 자주 접할 수 있는 이유가 바로 이것이다.[6] $$0.125 = \dfrac18$$은 $$9$$진법에서 $$0.111\cdots\cdots_{\left(9\right)} = 0.\dot1_{\left(9\right)}$$이다.[7] 이걸 'bar'라고 한다[8] 즉 분모로 $$10$$을 나눴을 때 약분이 되지 않는 경우. $$\dfrac 13 \rightarrow \dfrac{10}3$$(약분 불가), $$\dfrac 4{13} \rightarrow \dfrac{10}{13}$$(약분 불가), ……[9] 즉 분모로 $$10$$을 나눴을 때 약분이 한 번이라도 되는 경우. $$\dfrac 56 \rightarrow \dfrac{10}6 = \dfrac 53$$(약분 가능)[10] 계수가 유리수이고 유한개의 항으로 나타낼 수 있는 방정식의 해가 되는 수[11] 말이 어렵지 직접 나눗셈을 해 보면 바로 이해할 수 있다![12] 엄밀한 증명을 위해서는 무한등비급수의 합(극한)을 생각해야 하지만, 보통 수준에서는 10(순환마디의 길이)을 곱해 비교하는 중2 교과서의 설명으로 충분하다.[13] $$10$$진법이기 때문에 우변의 지수에서 밑이 $$10$$일 뿐이고 이를 $$1$$보다 큰 다른 자연수로 바꿔 써도 아래에 기술된 내용들은 변하는 게 없다. 위에서 언급한 '$$2$$와 $$5$$에 대해 서로소'라는 부분 역시 다른 진법에서는 그 수의 약수가 되는 소수들로 바꾸기만 하면 된다. 그래도 논리는 그대로 유지된다. 이로부터 얻을 수 있는 게 뭐냐면 '''$$\boldsymbol{10}$$진법이 아닌 다른 진법에서도 모든 유리수는 순환소수로 표현된다는 것이다'''.[14] 즉 $$a=c \left( 10^r -1 \right) + d$$[15] 그냥 뭔가 자연수인가보다라고 넘어가도 무방하다. 사실 이 함수의 값은 [math(0)]과 $$n$$ 사이의 자연수들 중에서 $$n$$과 서로소인 자연수들의 개수로 정의된다, 구체적으로 $$n = {p_1}^{r_1} {p_2}^{r_2} \cdots\cdots {p_s}^{r_s}$$과 같이 소인수분해가 되었을 때 $$\phi \left( n \right) = (p_1 - 1)(p_2 - 1) \cdots \cdots (p_s - 1) {p_1}^{r_1 - 1} {p_2}^{r_2 - 1} \cdots \cdots {p_s}^{r_s - 1}$$으로 쓸 수 있다.[16] rational: 이치(理致)에 맞는; 도리(道理)가 있는 → 有理[17] 비(比)[18] 무리수 문서에서도 알 수 있듯이 $$\sqrt 2$$는 이처럼 비합리적인 수였기 때문에 발견 당시에 수로 인정받지 못했다.[19] 플라톤의 제자이기도 하다.[20] 에우클레이데스의 원론 제5권에 등장한다.[21] 눈치가 빠른 위키러는 알겠지만 영어 proportion의 어원이다.[22] 정확히는 라틴어에서 차용한 것이므로 '번역'이 더 알맞은 표현이지만[23] 이렇게 복잡해보이는 단어에서 간단한 단어가 만들어지는 것을 역성법이라고 한다. 그렇게 드문 현상은 아니다.[24] 등호 기호(=)를 최초로 쓴 사람이다![25] 당시 철자법이 지금과 달라 'irrationa'''ll''''로 기록되어있다.[26] 역시 이 당시 철자는 rationa'''ll'''[27] ratio decidendi의 준말로 엄밀히 따지면 영어가 아니고 라틴어이다.