볼록
- 반대 문서: 오목
1. 일반적인 의미
凸[1]
어떤 물체의 일부분이 튀어나왔거나 도드라져 있는 상태를 일컫는 말이다.
2. 수학적인 의미
2.1. 볼록함수
수학에서 어떤 함수의 볼록함 (Convexity) 을 판정하는 방법은 다양하다.고교과정에서 정의되는 볼록은 다음과 같다.
이를 내분점을 이용하여 엄밀히 표현하면 다음과 같다.함수 $$ y=f(x)$$ 위의 임의의 점 $$P$$, $$Q$$를 잡고 둘 사이를 직선으로 연결했을 때, 함수가 그 직선보다 항상 아래에 있을때에는 '''아래로 볼록 (Convex downward)''' 혹은 '''위로 오목 (Concave upward)''', 항상 위에 있을 때에는 '''위로 볼록 (Convex upward)''' 혹은 '''아래로 오목 (Concave downward)''' 이라고 한다.
폐구간 $$[a, b]$$에 속하는 임의의 $$x, y$$와, $$0\leq t \leq 1$$를 만족하는 임의의 실수 $$t$$에 대하여, $$f\left(tx+\left(1-t\right)y\right)\leq tf\left(x\right)+\left(1-t\right)f\left(y\right)$$이면 함수 $$f$$가 이 구간에서 볼록함수 (Convex function) 라고 한다. 부등호 방향만 바꾸어 주면(등호 유지) 함수 $$f$$를 그 구간에서 오목함수 (Concave function) 라고 한다.
두번째 정의는 첫번째 정의에서 $$x = y$$, $$t=0$$, 또는 $$t=1$$일때 $$f(x) \leq f(x)$$ 또는 $$f(y) \leq f(y)$$ 라는 당연한 결과가 되는 부분을 빼준 것이다.폐구간 $$[a, b]$$에 속하는 임의의 서로 다른 $$x, y$$와, $$0< t < 1$$를 만족하는 임의의 실수 $$t$$에 대하여, $$f\left(tx+\left(1-t\right)y\right)\leq tf\left(x\right)+\left(1-t\right)f\left(y\right)$$이면 함수 $$f$$가 이 구간에서 볼록함수 (Convex function) 라고 한다. 부등호 방향만 바꾸어 주면(등호 유지) 함수 $$f$$를 그 구간에서 오목함수 (Concave function) 라고 한다.
참고로 중점만을 가지고 볼록함수를 판별하는 것은 충분하지 않다. 즉 $$\displaystyle {f(x)+f(y) \over 2} \ge \displaystyle f({x+y \over 2})$$(*) 라고 다 볼록함수가 아니라는 소리다. 예시로 코시 함수 방정식의 불연속해들이 여기 해당한다. 하지만 연속함수이며 (*)을 만족하면 볼록함수가 된다.
볼록함수가 구간 내에서 두번 미분가능하면 $$f''(x) \ge 0$$을 만족한다. 역으로 두번 미분가능한 함수가 열린 구간 내에서 $$f''(x) \ge 0$$을 만족하면 $$f$$는 그 구간 안에서 볼록이다. 증명은 평균값의 정리를 사용하면 된다.
한편, 일반적인 볼록함수 $$f$$에 대해서도 다음과 같은 사실이 알려져 있다. (고교과정 외 수준)
- $$f$$는 열린 구간에서 연속이다.
- 임의의 점 $$x$$에 대해 좌미분(left derivative) $$\partial_{-}f(x)= \lim_{h \rightarrow -0} \frac{f(x+h) - f(x))}{h} $$ 과 우미분(right derivative) $$\partial_{+}f(x) = \lim_{h \rightarrow +0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} $$ 이 존재하며, 임의의 $$\epsilon>0$$에 대해 $$\partial_{-}f(x) \le \partial_{+}f(x) \le \partial_{-}f(x+\epsilon)$$이다.
- $$\partial_{-}f(x_0) \le a \le \partial_{+}f(x_0) $$ 를 만족하는 상수 $$a$$에 대해서, 직선 $$ y = a(x-f(x_0)) + f(x_0) $$은 볼록함수 아래에 있다. 즉 $$ a(x-f(x_0)) + f(x_0) \ge f(x) $$ 가 성립한다. 이 $$a$$를 'subderivative'라 부르기도 한다.
- $$f$$는 가산개의(countable) 점을 제외하면 미분가능하다.
- 닫힌 구간 내에서 볼록함수의 최대점은 양끝 경계점 중 하나이고, 최소점은 유일하게 존재한다.
다변수함수 세팅에서도 함수의 볼록성을 다음과 같이 비슷하게 정의할 수 있다.
한편, 볼록함을 판정할 수 없는 함수도 있다. 이는 다음과 같다.볼록집합 $$C$$에 속하는 임의의 $$x, y$$와, $$0\leq t \leq 1$$를 만족하는 임의의 실수 $$t$$에 대하여, 함수 $$f : C \rightarrow \mathbb{R}$$가 $$f\left(tx+\left(1-t\right)y\right)\leq tf\left(x\right)+\left(1-t\right)f\left(y\right)$$을 만족하면 $$f$$를 볼록함수라고 한다. 부등호 방향만 바꾸어 주면(등호 유지) 함수 $$f$$를 그 구간에서 오목함수라고 한다.
- 모든 점에서 함숫값이 동일한 함수
- 완전 불연속함수 : 디리클레 함수가 대표적이다.
- 병리적 연속함수 : 바이어슈트라스 함수가 대표적이다.
2.2. 볼록다각형
우리가 보통 보게 되고, 또 다각형을 떠올려 보라 했을 때 떠오르는 대부분의 다각형들은 이 경우에 속한다.
위의 정의에 다각형이 부합하지 않으면 이 다각형을 오목다각형이라고 한다.어떤 내각도 180도보다 크지 않으며, 어떤 변을 연장해도 그 다각형의 내부를 지나지 않을 때, 이 다각형을 '''볼록다각형'''이라고 한다.
오목다각형 중 삼각형은 오직 타원 공간에서만 존재한다.
2.3. 볼록집합
어떤 집합의 임의의 두 점을 연결한 선분이 언제나 이 집합 안에 속할 때, 이 집합을 '''볼록집합'''(convex set)이라 한다. 즉, 집합 $$A$$가 다음의 성질을 만족하면 볼록집합이라 부른다:
유클리드 공간 $$\mathbb{R}^n$$에서 예 또는 성질을 들자면,임의의 $$x, y \in A$$와 $$t \in [0, 1]$$에 대해, $$tx + (1-t)y \in A$$.
- 공간 $$\mathbb{R}^n$$ 전체는 볼록집합이다.
- 임의의 원 또는 구는 볼록집합이다.
- 2차원 유클리드 공간에서 凸의 안쪽을 칠한 도형을 생각하면, 이는 볼록집합이 아니다.
- 임의의 초평면(hyperplane)은 볼록집합이다.
- 볼록집합들의 교집합은 볼록집합이다.
볼록집합은 볼록함수와 밀접히 연결되어있다. 볼록함수의 그래프 윗부분(epigraph)은 볼록집합이 된다. 역으로 어떤 함수의 그래프 윗부분이 볼록집합이라면, 그 함수는 볼록함수다. 학자에 따라서는 아예 후자를 볼록함수의 정의로 삼기도 한다.[2] 이 관계를 이용해 볼록함수나 볼록집합의 여러 성질들을 더 쉽게 유도할 수도 있다.