항등원

1. 개요

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'''항등원(Identity)'''은 임의의 수 a와 어떤 수를 연산했을 때 a가 나오게 하는 그 어떤 수를 의미한다. 예를 들어,

• 덧셈에서의 항등원은 0이다. 덧셈의 항등원은 달리 영원이라고도 한다.
• 곱셈에서의 항등원은 1이다.

기호로는 e 를 쓰며, 독일어로 einheit(단위)를 나타내는 단어에서 유래되었다. 표기가 같은 자연로그의 밑과 혼동에 주의.

2. 정의

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집합 $$ S $$와 이 집합 위에서 정의된 이항연산 $$ *:S \times S \to S $$가 있을 때, 어떤 $$ e \in S $$가 다음을 만족한다고 하자.

1. 모든 $$ x\in S $$에 대해, $$ e*x = x $$
2. 모든 $$ x\in S $$에 대해, $$ x*e = x $$

1을 만족하는 경우 $$e$$를 왼쪽 항등원(left indentity)라 하고, 2를 만족하는 경우에는 오른쪽 항등원(right indentity)라 한다. 1과 2를 동시에 만족시키면 $$e$$를 양쪽 항등원(two-sided identity) 또는 항등원이라 한다.

2.1. 역원

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연산결과로 항등원을 만드는 원소를 '''역원(Inverse element)'''이라고 한다. 보통 $$S^{-1}$$로 표기한다.

• 덧셈의 역원은 부호가 반대인 수(반수)이다. ($$a + (-a) =0$$)
• 곱셈의 역원은 지수의 부호가 반대인 수(역수)이다. ($$a \cdot a^{-1} =1$$)

한편, 역원이 존재하지 않는 군은 모노이드라고 한다. 대표적으로 자연수 집합 $$\mathbb{N}$$이 있다.[1]

2.2. 멱등원

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동일한 연산(대부분 거듭제곱)을 한 원소가 그 원소와 동일한 원소를 '''멱등원(Idempotent element)'''이라고 한다. 보통 $$S^2 = S$$로 표기한다.
위의 덧셈의 항등원 0, 곱셈의 항등원 1 모두 멱등원이며, 이외에도 멱등행렬, 멱등함수 등이 있다.
항등원과 멱등원이 동일한 경우도 있으나, 그렇지 않은 경우도 많다. 가령 곱셈에 대해서는 항등원이 아닌 0을 예로 들자면, 0을 곱한 횟수에 상관없이 결과값이 0으로 동일하므로 멱등원에 속한다.

3. 예시

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$$ S $$	$$ *:S \times S \to S $$	$$ e \in S $$	$$ S^{-1} $$	$$S^2=S$$
행렬의 집합	덧셈	영행렬	부호가 반대인 행렬	영행렬
$$ n \times n $$ 행렬의 집합	행렬곱	$$ n \times n $$ 단위행렬	역행렬[2]	멱등행렬
함수의 집합	함수의 합성	항등함수	역함수[3]	멱등함수

[1] 물론 순수 자연수 집합은 덧셈의 항등원이 없기 때문에 모노이드로서 다룰 때에는 여기에 0을 포함시킨다.

[2] 역행렬은 정사각행렬에서만 정의된다.

[3] 역함수는 치역과 공역이 동치여야 하고 정의역과 공역이 서로 일대일 대응이 되어야 정의된다.