깎은 정팔면체

1. 개요

2. 정보

3. 여담

1. 개요

깎은 正八面體 / Truncated octahedron[1]
한 꼭지점에 정사각형 한 개와 정육각형 두 개를 배치해 만든 반정다면체. 정팔면체의 각 꼭지점들을 각 모서리를 자른 단면이 정사각형이 되고, 정삼각형 면은 정육각형이 될 때까지[2] 깎아서 만들 수도 있다고 하여 '''깎은 정팔면체'''라고 불린다.

2. 정보

단위/특성	개수	비고
슐레플리 부호		t{3,4} t_0,1{3,4}[3] t0는 원본을 의미하고, t1은 절반까지 깎은 상태를 의미한다. t0,1은 그 사이에서 면들이 정다각형이 되는 상태를 의미한다. [4] 참고로 t1{3,4}은 육팔면체다. t_1,2{4,3}[5] t2는 쌍대 다면체를 의미하는데, t1,2는 그 사이에서 면들이 정다각형이 되는 상태이며, 이를 bitruncation이라고 칭한다.
꼭지점 형태		4.6.6[6] 한 꼭지점에 정사각형-정육각형-정육각형 순서대로 모인다는 뜻.
꼭지점(vertex, 0차원)	24
모서리(edge), 1차원)	36
면(face, 2차원)	14	정사각형×6, 정육각형×8
쌍대		사방육면체
포함 관계[7] 반드시 이 다면체를 지칭하지는 않으며, 해당 이름이 비슷하게 생긴 고르지 않은 다면체도 포함하는 경우 또는 '''다른 이름'''[8] 반드시 이 도형과 닮거나 합동인 도형을 지칭하는 이름		'''bitruncated cube'''

한 변의 길이가 $$a$$인 깎은 정팔면체가 있을 때
외접구의 반지름 = $$\displaystyle\frac{\sqrt{10}}{2}a$$
겉넓이(surface area) = $$(6+12\sqrt{3})a^2$$
부피(volume) = $$8\sqrt{2}a^3$$

3. 여담

[image]
깎은 정팔면체는 아르키메데스 다면체들 중 유일하게 단독으로 3차원 유클리드 공간을 채울 수 있는 도형이다.
주령구와 비슷하게 생겼으나, 완전히 같은 도형은 아니다. 정확히는 육팔면체와 깎은 정팔면체의 중간 형태이다. [9]
$$ S_4 $$의 각 원소를 꼭짓점으로 대응시키고 이웃한 원소의 호환을 모서리로 대응시키면 깎은 정팔면체가 된다.

[1] 복수는 truncated octahedra[2] 정삼각형으로 이루어진 정다면체의 경우, 정확히 한 모서리의 1/3 지점까지 깎으면 된다.[3] t₀는 원본을 의미하고, t₁은 절반까지 깎은 상태를 의미한다. t_0,1은 그 사이에서 면들이 정다각형이 되는 상태를 의미한다.[4] 참고로 t₁{3,4}은 육팔면체다.[5] t₂는 쌍대 다면체를 의미하는데, t_1,2는 그 사이에서 면들이 정다각형이 되는 상태이며, 이를 bitruncation이라고 칭한다.[6] 한 꼭지점에 정사각형-정육각형-정육각형 순서대로 모인다는 뜻.[7] 반드시 이 다면체를 지칭하지는 않으며, 해당 이름이 비슷하게 생긴 고르지 않은 다면체도 포함하는 경우[8] 반드시 이 도형과 닮거나 합동인 도형을 지칭하는 이름[9] 주령구는 정삼각형에 거의 가까운 육각형 면을 가지고 있다. 완전히 육팔면체형이나 깎은 정팔면체형으로 만들면 서로 다르게 생긴 면들이 나올 확률이 같지 않다. 이 확률 차이를 보완하기 위해 그렇게 만든 것으로 보인다.

분류

도형