아르키메데스 다면체
1. 개요
Archimedes 多面體/Archimedean solids
볼록한 준정다면체와 '''각기둥과 엇각기둥이 아닌'''[2] 반정다면체[3]를 포함하는 다면체들. 준정다면체 2종과 반정다면체 11종으로, 점추이[4]이나 면추이[5]는 아니다. 볼록 정다면체와 마찬가지로 고른 다면체에 포함된다.
유클리드 공간에 존재하는 모든 볼록 다면체들은 한 꼭짓점에서 만나는 다각형들의 내각의 합이 360º를 넘지 않아야 한다는 조건이 있다. 단, 아르키메데스 다면체는 한 꼭짓점에서 모이는 다각형이 모두 같을 필요가 없으므로 3개가 모이면 이미 360º가 되어버리는 정육각형도 정삼각형이나 정사각형과 조합하여 사용할 수 있고, 심지어 내각이 144º인 정십각형까지도 사용할 수 있다.[6][7] 이 때문에 정다면체보다도 더 다양한 다각형들의 조합을 만들 수 있다.
2. 종류[8]
- 준정다면체
- 반정다면체
[1] ()안의 숫자들은 한 꼭짓점에 모이는 정다각형의 구성이다.[2] 각기둥과 엇각기둥은 한 꼭짓점에 모이는 면들의 조합이 무수히 많으므로 포함하지 않는다.[3] 좌우대칭이 아닌 두 다면체인 다듬은 육팔면체와 다듬은 십이이십면체의 경우, 거울상은 중복 처리하여 포함하지 않으므로 11종류이다.[4] 임의의 꼭짓점에 모이는 면의 구성이 모두 같음[5] 임의의 한 면과 인접하는 면들의 구성이 모두 같음[6] 단, 내각이 정십각형보다도 작은 정칠각형과 정구각형은 사용할 경우 정확히 면끼리 맞아떨어지도록 만들 수 없으므로 제외된다. 마찬가지로 모든 정n각형은 한 내각의 크기가 180º를 넘지 않으므로 한 내각의 크기가 60º인 정삼각형 두 개, 또는 정삼각형과 정사각형, 또는 정삼각형과 정오각형을 조합하여 어떤 모양이든지 점추이 다면체로 만들 수 있을 것 같지만, 실제로는 그렇지 않다.[7] 이들 중 정n각형과 정삼각형 두 개가 한 꼭짓점에 모이게 만든 것은 다각뿔이 되며(단, 3≤n≤5), 정n각형과 정사각형 두 개가 한 꼭짓점에 모이게 만든 것은 각기둥이 되고, 정n각형과 정삼각형 세 개를 모으면 엇각기둥(Antiprism)이 된다.[8] ()안의 숫자들은 한 꼭짓점에 모이는 정다각형의 구성이다.[9] 정다면체의 꼭짓점을 깎아서 만들 수 있다.[10] 정다면체의 면과 면 사이를 띄우고 모서리에 생긴 간격을 정사각형으로 메우며, 꼭짓점은 꼭짓점 형태의 정다면체로 메우는 과정. 영어 명칭은 Rhombi-라는 접두사가 들어가므로 마름모육팔면체, 마름모십이이십면체라고 한다. 서로 쌍대인 정다면체를 사용하면 같은 다면체를 얻을 수 있다.[11] 만드는 과정은 부풀리기와 비슷하나, 면과 면 사이를 띄우고 모서리에 생긴 간격을 정사각형이 아닌 정삼각형 두 개로 메운다는 점에서 차이가 있다. 이 과정에서 정삼각형 면이 비틀린 방향이 서로 반대가 될 수도 있으므로 다듬은 준정다면체들은 좌우대칭이 아니다. 따라서 거울상이 자기자신과 겹쳐지지 않는다. 서로 쌍대인 정다면체를 사용하면 같은 다면체를 얻을 수 있다.[유의사항] 실제로는 아무리 잘 깎아도 깎은 면이 정다각형으로 나오지 않는다. 육팔면체의 경우 꼭짓점 형태가 3.4.3.4로 다각형들이 서로 같지 않기 때문에 단면이 정사각형이 아닌, 인접한 두 변의 길이의 비가 1:√2인 직사각형이 나오며, 십이이십면체의 경에도 꼭짓점 형태가 3.5.3.5이므로 꼭짓점의 단면은 1:(1+√5)/2인 직사각형이 나온다.