정팔면체
1. 개요
正八面體, Octahedron[1]
한 개의 꼭짓점에 네 개의 면이 만나고, 총 여덟 개의 삼각형면으로 이루어진 다면체. 3차원 정축체(orthoplex)[2]이다. 또한, 정사각쌍뿔(square bipyramid)이며, 윗면과 아랫면이 정삼각형인 엇각기둥이기도 하다.
2. 상세
정팔면체 단독으로만은 정육면체와 같이 공간을 빈틈 없이 공간을 채울 수 없으나, 정팔면체의 면과 정사면체의 면을 이어붙이는 방식으로 함께 배열할 경우 공간을 빈틈 없이 채울 수 있다.
정팔면체 24개를 한 모서리에 3개씩 만나게 만드는 방식으로 이어 붙여 4차원 도형인 정이십사포체를 만들 수 있다. 물론 4차원 방향으로 접어야하므로 현실에서는 불가능하다.
3. 정팔면체에 대한 정보
한 변의 길이가 $$a$$인 정팔면체가 있을 때
쌍뿔로서의 높이 = 대각선 길이 = 외접구의 지름 =$$\sqrt{2}a$$
내접구의 지름 = $$\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{3}a$$
총 모서리 길이(total edge length) = $$12a$$
겉넓이(surface area) = $$2\sqrt{3}a^2$$
부피(volume) = $$\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{3}a^3$$ [4]
3.1. 다른 정다면체들과의 관계
- 정팔면체는 정육면체와 쌍대(Dual)[5] 도형이다. [6]
- 정팔면체의 각 모서리들을 황금분할한 점들을 서로 이으면 정이십면체가 만들어진다.
- 정사면체의 6개 모서리의 중심을 꼭지점으로 하여 정다면체를 만들면 정팔면체가 된다.
- 정팔면체를 단위체로 만들 수 있는 정다포체로 정이십사포체가 있다.
4. 현실에서의 예시
[1] 복수는 Octahedra[2] n차원 도형들 중 중심을 원점으로 놓았을 때 직교좌표의 각 좌표축 방향으로 같은 거리에 있는 지점에 꼭지점이 존재하는 볼록 다면체[3] 정육면체와 정팔면체를 모서리의 절반 지점까지 절단하면 육팔면체가 되고 정십이면체와 정이십면체의 모서리의 절반 지점까지 절단하면 십이이십면체가 되듯, 사면체 모서리의 절반 지점까지 자르면 정팔면체가 된다. 즉, 사사면체(Tetratetrahedron)은 즉 정팔면체와도 같다.[4] 한 변의 길이가 같은 정사면체의 정확히 네 배이다.[5] 어떤 다면체의 꼭지점을 면으로, 면을 꼭지점으로 대체한 다면체를 쌍대 다면체라고 한다.[6] 정팔면체는 한 꼭지점에 네 개의 정삼각형이 만나기 때문에 {3, 4} 한 꼭지점에서 정사각형이 세 개 만나는 도형인 정육면체{4, 3}와 쌍대 도형이다.