나눗셈 정리
Division Algorithm
1. 개요
처음 나눗셈을 배울 때 몫과 나머지가 당연히 존재한다고 생각하고 나눗셈을 한다. 하지만 소인수분해의 존재성과 마찬가지로 몫과 나머지의 존재성은 당연한 결과가 아니며[1] 수학적인 증명이 필요하다. 나눗셈 정리는 우리가 나눗셈을 통해 몫과 나머지를 자연스럽게 구하게 할 수 있게 만들어 주는 정리이다. 자세한 정리는 아래와 같다.
임의의 양의 정수 $$a,b$$에 대하여, $$b=aq+r,\,\left(0\leq r<a\right)$$를 만족시키는 정수 $$q,r$$이 '''유일'''하게 '''존재'''한다.
2. 증명
크게 존재성과 유일성, 두 파트로 나뉜다.
2.1. 존재성
집합 $$A=\left\{b-na|n\in \mathbb{Z},\, b-an\geq0\right\}$$을 생각하자. 그럼 집합 $$A$$는 공집합이 아니고,[2] $$A\subseteq \mathbb{N}$$[3]이므로 well-ordering 원리에 의해 집합 $$A$$에는 가장 작은 원소가 존재한다. 그 원소를 $$r$$이라 하면 적당한 정수 $$q$$에 대해 $$r=b-aq$$로 표시된다. 즉, $$b=aq+r$$이고 $$r\geq0$$이다. 만약 $$r\geq a$$라 가정하면 $$b-\left(q+1\right)a=b-aq-a=r-a\geq0$$이므로 $$r-a\in A$$이다. 그런데 $$a>0$$이므로 $$r-a<r$$이고, 이는 곧 $$r$$이 집합 $$A$$의 가장 작은 원소라는 사실에 모순된다. 따라서 $$r<a$$이다.
2.2. 유일성
정수 $$p,s$$가 $$b=ap+s,\,\left(0\leq s<a\right)$$을 만족시킨다고 하자. 그러면 $$ap+s=aq+r$$로 부터 $$\left(p-q\right)a=r-s$$이다. 여기서 만약 $$p\neq q$$이라고 하면,[4] $$\left|a\right|\leq\left|p-q\right|\cdot\left|a\right|$$[5]$$=\left|\left(p-q\right)a\right|=\left|r-s\right|<\left|a\right|$$가 되어 모순이다. 따라서 $$p=q$$이어야 하고, 이는 곧 $$r=s$$를 의미한다. 즉, 몫과 나머지가 유일하게 존재한다.
3. 활용
이 당연해 보이는 성질을 어떻게 활용하냐면, 정수론에서의 유클리드 호제법이나 다항식에서의 나머지 정리 등, 여러 가지로 활용된다. 유클리드 호제법은 이 나눗셈 정리가 없다면 애초에 성립조차 할 수 없으며, 이 나눗셈 정리의 다항식 버전이 고등학교에서 배우는 나머지 정리가 되기 때문. 또한, 최대공약수의 성질의 증명에서도 활용된다. 즉, 나눗셈 정리는 정수론의 기초 중에 기초라고 할 수 있다.
4. 관련 문서
[1] 당장 정수에서 유리수로만 올라가도 나머지가 존재하지 않는다.[2] $$n=0$$일 때, $$b\in A$$이므로.[3] 집합론에서는 0도 자연수에 포함한다고 본다. 그러는 편이 덧셈의 항등원이 존재하니 더 풍부한 성질을 갖기고 하고...[4] 즉 몫과 나머지가 유일하지 않다고 하면[5] $$p,q$$가 둘 다 정수이고, $$p\neq q$$이므로, 두 수의 차의 절대값은 최소 1 이상이다.