나머지 정리
Polynomial Remainder Theorem
1. 개요
고등학교 수학에서 항등식의 개념 뒤에 나오는 내용. 한국의 수학 교육과정에서는 다루지 않고 당연하게 받아들이는 나눗셈 정리가 기본 바탕으로 깔려있는 정리이다. 나눗셈 정리를 간단하게 설명하자면, 자연수 $$b$$를 $$a$$로 나누었을 때 ($$b\geq a$$), $$b=aq+r$$($$0\leq r<a$$)를 만족하는 정수 $$q,r$$이 유일하게 존재한다는 내용. 이 나눗셈 정리는 다항식에 대해 확장 할 수 있으며, 다항식 버전의 정리는 아래와 같다.
나머지 정리는 위 나눗셈 정리의 특별한 경우에 대한 따름정리이다.정식 $$B\left(x\right)$$를 정식 $$A\left(x\right)$$로 나누었을 때 ($$\deg B\left(x\right)\geq\deg A\left(x\right)$$), $$B\left(x\right)=A\left(x\right)Q\left(x\right)+R\left(x\right),\,\left(0\leq\deg R\left(x\right)<\deg A\left(x\right)\right)$$를 만족시키는 정식 $$Q\left(x\right),R\left(x\right)$$가 유일하게 존재한다. 이 때, $$Q\left(x\right)$$를 몫, $$R\left(x\right)$$를 나머지라고 한다
2. 나머지 정리
위 정리는 일반적인 일차식 $$ax+b$$에 대해 일반화가 가능하며, 그 내용은 아래와 같다.$$x$$에 대한 다항식 $$f\left(x\right)$$를 일차식 $$x-a$$로 나누었을 때의 나머지는 $$f\left(a\right)$$이다.
$$x$$에 대한 다항식 $$f\left(x\right)$$를 일차식 $$ax+b$$로 나누었을 때의 나머지는 $$f\left(-\frac{b}{a}\right)$$이다.
3. 활용
나머지 정리는 고차식의 인수분해를 하는 데 쓸 수 있다. 만약 어떤 수 $$a$$를 대입했는데 값이 0이라면, 원 다항식 $$f\left(x\right)$$는 $$x-a$$를 인수로 가진다.[1] 이 과정을 빠르게 할 수 있는 것이 바로 조립제법이며, 조립제법에 대한 더 자세한 내용은 항목 참조.
4. 관련 항목
[1] 이를 인수정리(factor theorem) 이라고 부른다.