최대공약수
1. 개요
Greatest Common Divisor(Factor), GCD · 最大公約數
초등학교 때 배우는 숫자의 관련된 성질 중 하나. 약수 (divisor or factor) 에 대해서 먼저 배운 뒤, 바로 배우게 될 것이다. 먼저 공약수 (common divisor or common factor) 란, 이름에서 알 수 있듯이 두 수, 혹은 그 이상의 여러 수의 '''공통인 약수'''라는 뜻이다. 최대공약수 (greatest common divisor) 는 당연히 공약수 중 가장 큰 것. 두 수 $$a,b$$의 최대공약수를 수학적 기호로 표시하면, $$\gcd\left(a,b\right)$$이며,[1] 더욱 줄여서 $$\left(a,b\right)$$로 표기하기도 한다.[2] 특히, $$\gcd\left(a,b\right)=1$$이면 두 수 $$a,b$$는 서로소(relatively prime, coprime)라고 한다.
가끔 최'''소'''공약수라고 잘못 부르는 경우가 있는데, 최소공약수는 무조건 1이므로 논할 가치도 없다(...).[3]
2. 찾는 법
예시로 두 수 12, 18의 공약수 및 최대공약수를 찾고 싶다고 하자. 간단하게, 두 수의 약수를 모두 나열한다.
여기서 위아랫줄 모두 같이 있는 숫자가 '''공약수'''가 된다. 즉, 이 경우에는 1, 2, 3, 6이 공약수가 된다. '''최대공약수'''는, 찾은 공약수 중 가장 큰 것, 즉 이 경우에는 6이 최대공약수가 된다.12: 1, 2, 3, 4, '''6''', 12
18: 1, 2, 3, '''6''', 9, 18
하지만 두 수의 약수를 찾는 게 어렵다면 어떻게 될까? 2015와 246의 최대공약수를 약수를 나열하는 방법으로 찾으려면 한참이 걸릴 것이다.[4] 이 문제를 해결하기 위한 방법이 바로 유클리드 호제법. 놀랍게도 기원전에 발견된 인류 '''최초의 알고리즘'''이라고 한다. 자세한 것은 항목 참조.
최소공배수 $$\mathrm{lcm}$$를 이용하는 방법도 있다. 최소공배수와 다음과 같은 관계가 성립한다:
단, 최대공약수도 최소공배수도 모를 경우 순환논법이 될 수 있음을 주의해야 한다.$$\gcd(a,\,b) = \dfrac{|ab|}{\mathrm{lcm}(a,\,b)}$$
해석적인 방법[5]으로는 이렇게 된다.
여기서 $$c_n(t)$$는 라마누잔합 함수이다.$$\displaystyle \gcd(x,\,y) = \int_{n|x} \int_{1}^{x} e^{\frac{2}{x}i \pi ty} \frac{c_n(t)}{n}\ \mathrm{d}\lfloor t \rfloor \mathrm{d}\lfloor n \rfloor$$
3. 성질
두 정수 $$a,b$$에 대해서,
- $$\gcd\left(a,b\right)\geq1$$
- $$\gcd\left(a,b\right)=\gcd\left(\left|a\right|,\left|b\right|\right)$$
- $$\gcd\left(a,0\right)=\left|a\right|$$
- $$d=\gcd\left(a,b\right)$$라 하면, $$\gcd\left(\frac{a}{d},\frac{b}{d}\right)=1$$
- 임의의 정수 $$k$$에 대하여, $$\gcd\left(a,b\right)=\gcd\left(a+kb,b\right)$$
- 임의의 양의 정수 $$a,b$$에 대해서, $$ax+by=\gcd\left(a,b\right)$$를 만족하는 정수 $$x,y$$가 존재한다.[6]
4. 증명
- $$1\mid a,1\mid b$$이므로, 두 수의 최대공약수는 1보다 크거나 같다. 즉, $$\gcd\left(a,b\right)\geq1$$.
- $$x\mid a$$와 $$x\mid -a$$는 동치이다. 그런데 $$\left|a\right|$$는 $$a$$ 또는 $$-a$$이므로 $$a$$와 $$\left|a\right|$$는 같은 약수를 갖는다. 마찬가지로, $$b$$와 $$\left|b\right|$$는 같은 약수를 갖는다. 따라서, $$x$$가 $$a$$와 $$b$$의 공약수라는 것은 $$\left|a\right|$$와 $$\left|b\right|$$의 공약수라는 사실과 동치이다. $$\therefore\gcd\left(a,b\right)=\gcd\left(\left|a\right|,\left|b\right|\right)$$
- 2번으로 부터, $$\gcd\left(a,0\right)=\gcd\left(\left|a\right|,0\right)$$이다. $$\left|a\right|\cdot0=0$$이므로, $$\left|a\right|\mid0$$. 또한, $$\left|a\right|\mid\left|a\right|$$이므로, $$\left|a\right|$$는 $$\left|a\right|$$와 0의 공약수이다. 그러므로 $$\left|a\right|\leq\gcd\left(\left|a\right|,0\right)$$이다. 그런데 $$\gcd\left(\left|a\right|,0\right)\mid\left|a\right|$$이므로, $$\gcd\left(\left|a\right|,0\right)\leq\left|a\right|$$. 위 두 부등식으로 부터 $$\gcd\left(\left|a\right|,0\right)=\left|a\right|$$. 다시 한번 2번으로 부터, $$\gcd\left(a,0\right)=\gcd\left(\left|a\right|,0\right)=\left|a\right|$$.
- $$a=dm, b=dn$$라 하면, $$\gcd\left(\frac{a}{d},\frac{b}{d}\right)=\gcd\left(m,n\right)$$이다. 양의 정수 $$p$$가 $$p\mid m,p\mid n$$를 만족한다고 하자. 그러면 $$m=pe,n=pf$$를 만족하는 정수 $$e,f.$$가 존재한다. 따라서, $$a=dpe,b=dpf$$이고 $$dp$$는 $$a,b$$의 공약수이다. 한편, $$d$$는 최대공약수이므로, $$d\geq dp$$. 따라서 $$p\leq1$$이고 $$p=1$$일 수밖에 없다. 이로써 보이고자 하는 바가 증명되었다.
- 만약 $$x$$가 $$a,b$$의 공약수라면, $$x\mid a,x\mid b$$이다. 따라서 $$x\mid kb$$이고, $$x\mid a+kb$$이다. 따라서 $$x$$는 $$a+kb$$와 $$b$$의 공약수이다.
역으로, $$x$$가 $$a+kb$$와 $$b$$의 공약수라면, $$x\mid a+kb, x\mid b$$이다. 따라서 $$x\mid kb$$이고, $$x\mid\left(\left(a+kb\right)-kb\right)=a$$이다. 즉, $$x$$는 $$a,b$$의 공약수이다. 따라서 $$a,b$$와 $$a+kb,b$$는 같은 공약수 집합을 가지므로 최대공약수도 같아야 한다. - 집합 $$A=\left\{ax+by>0|x,y\in Z\right\}$$를 생각하자. 집합 $$A$$는 자연수의 부분집합이고 공집합이 아니므로 well-ordering 원리에 의해 가장 작은 원소가 존재한다. 이를 $$d$$라 하면 적당한 정수 $$x,y$$에 대해 $$d=ax+by$$이다. 여기서 $$d$$가 최대공약수임을 보이면 증명이 끝난다.
$$d>0$$이므로, 나눗셈 정리에 의하여 $$a=qd+r,\,0\leq r
5. 관련 문서
[1] gcd는 Greatest Common Divisor, 영어로 최대공약수의 약자이다.[2] 다만 $$\left(a,\,b\right)$$은 개구간 표현과 겹치므로 사용에 주의할 필요가 있다.[3] 반대로 최'''대'''공배수도 결국 무한으로 발산하므로 논할 가치 자체가 없다.[4] 이 점 때문에 특수함수에 속한다. 참고로 최대공약수/최소공배수는 교과과정상 가장 처음으로 접하는 특수함수이다.[5] 복소수까지 범위가 확장된다.[6] 베주 항등식이라고 불리는 정리이다. 자세한 증명과 내용은 베주 항등식 문서에서 볼 수 있다. 만약 a와 b가 서로소이면, $$ax+by=1$$를 만족하는 정수 $$x,y$$가 존재함을 의미한다. 역도 성립한다.[7] 5번 성질 참조