네퍼
1. 개요
네퍼(Neper, $$\rm Np$$)는 기준에 대한 비율에 자연로그를 취했을 때의 단위이다. 비SI 병용 단위에 등록되어있다. 자연로그의 값으로 정의되기 때문에 차원이 없다. 네퍼는 로가리듬에 대한 개념을 창시한 존 네이피어의 이름에서 따왔다.
2. 정의
기준 $$X_0$$에 대한 $$X$$의 증가 혹은 감소 레벨을 나타내는 네퍼 $$L_{\rm Np}$$는 다음과 같이 정의된다.
3. 데시벨과의 관계
어떤 비율의 로가리듬으로 정의되는 특성상 밑 변환 성질을 이용하여 네퍼의 수치를 데시벨의 수치로 용이하게 환산할 수 있다.
이때 약간의 주의가 필요한데, 데시벨이 전기 분야에서 자주 쓰이는 단위인 만큼 표준적으로는 '''전력의 비에 대한 상용로그'''로 정의되어있고, 네퍼는 '''전압 혹은 전류의 비에 대한 자연로그'''로 정의가 되어있다. 전력 $$P$$는 전압 $$V$$, 전류 $$I$$에 대해 $$P = VI$$이므로 저항을 $$R$$이라고 하면 옴의 법칙에 의해 $$P = VI = I^2R = \dfrac{V^2}R$$이다. 따라서 데시벨의 정의에서 가령 전압의 비에 대한 식으로 변형하면 $$L_{\rm dB}/{\rm dB} = 10\log_{10}\dfrac P{P_0} = 10\log_{10}\dfrac{V^2}{{V_0}^2} = {\bf20}\log_{10}\dfrac V{V_0}$$, 즉 전압 및 전류를 썼을 때에는 '''결과값이 2배가 된다!'''[1] $$\log_{10}x = \dfrac{\ln x}{\ln10}$$이므로 정리하면 데시벨 $$L_{\rm dB}$$과 네퍼 $$L_{\rm Np}$$의 관계는 다음과 같다.
요컨대 네퍼의 값에 $$\dfrac{10}{\ln10}$$(혹은 $$10\log_{10}e$$)만 곱하면 되는 것이 아니고[2] '''거기에 $$\bf2$$를 곱해야 한다.''' 약식 표기로 나타내면
이 된다.
4. 관련 문서
[1] 이런 이유 때문에 데시벨로 표기한 데이터를 읽을 때에도 구체적으로 무엇의 비에 대한 값인지 확인을 하면서 읽어야 한다. 전력에 대한 데시벨이 $$\rm20\,dB$$이라고 하면 기준에 대해 $$100$$배가 됐다는 뜻이지만 전압에 대한 값이라고 하면 '''기준에 대해 $$\bf10$$배가 됐다는 뜻'''이기 때문이다.[2] $$10$$이 붙은 이유는 '''데시'''($$\rm d$$-$$=10^{-1}$$)벨이기 때문이다. 단순히 밑 변환만 해주면 단위가 벨($$\rm B$$)이 된다.