무차원량
1. 개요
무차원량(無次元量; dimensionless quantity)은 측정학(metrology)에서 쓰이는 용어로, 차원 분석 시 모든 차원#측정학의 지수가 [math(0)]이 되는 물리량을 가리킨다. 수학적으로 이는 곱셈·나눗셈의 항등원이므로 차원 기호는 $$\sf 1$$로 나타낸다.
물리량은 수와 단위의 곱으로 이루어져있으므로 단위가 없는 수학 상수들은 $$1$$이라는 단위가 곱해진 물리량으로 간주할 수 있어 무차원량이며, 단위는 미지수의 계수 $$1$$을 생략해서 나타내듯이 $$1$$이 생략된 물리량으로 간주할 수 있으므로 차원이 없는 단위 역시 무차원량이다.
2. 상세
어떤 물리량 $$Q$$의 차원 $$\dim Q$$는 7가지의 기본 차원(base dimension), 즉 길이($$\sf L$$), 질량($$\sf M$$), 시간($$\sf T$$), 전류($$\sf I$$), 온도($$\sf\Theta$$), 물질량($$\sf N$$), 광도($$\sf J$$)를 각각 밑으로 하는 지수의 곱으로 나타낼 수 있다. 즉
$$Q$$가 2가지 이상의 물리량의 곱셈·나눗셈으로 이루어져 있을 경우 그 차원 역시 똑같은 연산의 영향을 받으므로 $$\dim Q$$의 식에서 각 차원의 차수가 어떻게 되는지를 수학적으로 계산할 수 있다. 이를 차원 분석(dimensional analysis) 또는 차원 해석이라고 하는데 계산 결과 모든 차원의 지수가 [math(0)]이면 $$Q$$는 '무차원량'이라고 한다.
단, 이들 기본 차원으로 나타낼 수 없거나 차원 분석이 불가능한 단위들(특히 셈 측도에 해당하는 것들[1])은 통상적으로 무차원량으로 약속한다.
3. 예시
3.1. 수학 상수
[math(1)], 원주율 [math(\pi)], 자연로그의 밑 [math(e)]을 포함한 모든 수학 상수는 무차원량이다. 심지어 허수 단위 [math(i)]를 포함한 사원수의 다른 허수 단위 $$j$$, $$k$$도 무차원량이며 이를 확장한 체계의 다른 단위들 역시 무차원량이다.
3.2. 로가리듬
로가리듬은 지수의 역함수, 즉 지수함수의 지수에 해당하기 때문에 항상 무차원량이다. 따라서 이들 수식을 바탕으로한 단위 역시 모두 무차원량이다. 거꾸로 지수의 결과값 역시 무차원량이기 때문에 각 로가리듬의 정의역에는 무차원량이 대입되어야 한다.
- 네퍼 $$\rm Np$$ - 분율에 자연로그를 취한 것의 단위.
- 데시벨 $$\rm dB$$ - 분율에 상용로그를 취한 것의 단위. 벨($$\rm B$$)의 $$1/10$$.
- [math(\rm pH)] - 수소 이온의 활동도의 역수에 상용로그를 취한 것. 이 밖에도 $$\rm pOH$$, 산이온화상수 $${\rm p}K_a$$, 염기이온화상수 $${\rm p}K_b$$, 등전점 $$\rm pI$$ 등 로가리듬을 이용한 모든 물리량 포함.
3.3. 계수량(counting quantity)
- 개수를 세는 데에 관련된 단위들은 모두 무차원량이다. 자세한 것은 셈 측도 참조.
- 분자생물학에서 핵산의 염기 개수를 나타내는 베이스($$\rm b$$) 혹은 염기쌍의 개수를 나타내는 베이스페어($$\rm bp$$).
- 양자역학에서의 축퇴(degeneracy).
3.4. 분율
단위가 같은 두 물리량의 율이기 때문에 분율에 속하는 모든 물리량은 무차원량이다.
- % - 전체를 $$100$$으로 놓았을 때의 비율.
- ‰ - 전체를 $$1000$$으로 놓았을 때의 비율.
- ppm, ppb, ppt - %, ‰을 확장한 개념으로 $$\rm1\,ppm$$은 전체를 $$10^6 = 100$$만으로 놓았을 때의 비율을 의미하며 $$\rm ppb$$, $$\rm ppt$$는 국가에 따라 그 의미가 다르다. milliard, billiard가 포함된 소위 long scale 체계를 쓰는 나라에서는 $$\rm1\,ppb = 1/10^{12}$$(1조분의 1), $$\rm1\,ppt = 1/10^{18}$$(100경분의 1)을 의미하지만 milliard, billiard가 없는 소위 short scale 체계를 쓰는 나라에서는 $$\rm1\,ppb = 1/10^9$$(10억분의 1), $$\rm1\,ppt = 1/10^{12}$$(1조분의 1)을 의미한다. 이 때문에 국제단위계에서는 $$\bf ppb$$, $$\bf ppt$$의 사용을 허용하지 않는다.
3.5. 각, 입체각
- 라디안($$\rm rad$$) - 반지름에 대한 호의 길이의 비로 나타낸 평면각의 단위.
- 스테라디안($$\rm sr$$) - 반지름 제곱에 대한 구 표면의 넓이 비로 나타낸 입체각의 단위.
3.6. 학문 분야에 따른 무차원량
3.6.1. 광학
- 굴절률 $$n$$
3.6.2. 물리화학
- 이온화도 $$\alpha$$
- 활동도 $$a$$
- 활동도 계수 $$\gamma$$
- 화학 반응의 모든 평형상수 $$K$$
3.6.3. 생물학
- 베버의 법칙에서 베버 상수 $$k$$
3.6.4. 소립자 물리학
- 미세구조상수 $$\alpha$$
3.6.5. 역학
- 반발계수 $$e$$ - 충돌 전후 상대속도의 비율.
3.6.6. 유체역학
- 레이놀즈 수 $$\rm Re$$ - 유체의 관성력과 점성력의 비율. 두 물리량의 단위는 $$\rm Pa = kg/(m{\cdot}s^2)$$이다.
- 레일리 수 $${\rm Ra}_x$$ - 확산에 의한 열 전달 속도와 대류에 의한 열 전달 속도의 비율.
- 마하 수 $$\rm Ma$$ - 음속에 대한 유체 흐름의 속도 비.
3.6.7. 재료공학
- 푸아송 비 $$\nu$$