디리클레 정리

1. 개요

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'''Dirichlet's theorem'''
어떤 an+b꼴(단, a와 b는 서로소인 정수)의 등차수열에서, 그 수열 안에 존재하는 소수의 개수는 무한하다는 해석적 정수론의 정리이다. 당연하겠지만 a,b가 서로소가 아니면 an+b는 gcd(a,b)를 약수로 가지기 때문에 의미없다.
예로 4n+1꼴의 소수와 4n+3꼴의 소수는 모두 무한히 있다는 사실을 알 수 있다.

2. 증명의 대략적 아이디어

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디리클레 정리의 증명에는 리만 제타 함수에서 따온 오일러 곱(Euler product)의 아이디어가 중요하게 사용된다. 예를 들어 4n+1꼴 소수와 4n+3 꼴 소수의 개수가 모두 무한히 많다는 것을 증명하기 위해서는, 다음과 같은 오일러 곱 둘을 생각할 수 있다.

$$ f_1(s)=\displaystyle 1 + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{5^s} + \frac{1}{7^s} + \cdots = \prod_{p \equiv 1} \left(1 - \frac{1}{p^s} \right)^{-1} \prod_{q \equiv 3} \left(1 - \frac{1}{q^s} \right)^{-1} $$
$$ f_2(s)=\displaystyle 1 - \frac{1}{3^s} + \frac{1}{5^s} - \frac{1}{7^s} +\cdots= \prod_{p \equiv 1} \left(1 - \frac{1}{p^s} \right)^{-1} \prod_{q \equiv 3} \left(1 + \frac{1}{q^s} \right)^{-1} $$

($$p,q$$는 모두 소수, 하단 곱에서 합동식 기호는 법 4에 대해서)
만약 4n+3꼴 소수들인 q의 개수가 유한하다고 하면, 두 함수의 비율 $$f_1/f_2$$는 유한개의 0이 아닌 수들의 곱으로 이루어져 있을 것이다. 한편 $$s \rightarrow 1$$의 극한을 생각하면, $$f_1(1)$$은 발산하는데 $$f_2(1)$$은 교대수렴한다. 이는 $$f_1(1)/f_2(1)$$이 0이 아닌 수가 된다는 것과 모순이므로 가정이 잘못되었고, 따라서 4n+3꼴 소수는 무한히 있어야 한다.
4n+1꼴 소수에 대해서는 대신 곱 $$f_1 f_2$$을 생각할 수 있고, 만약 p의 개수가 유한하다 하면 이 곱이 $$s \rightarrow 1$$일 때 0이 아닌 유한한 수로 수렴함을 보일 수 있는데, q에 대한 곱 $$\prod_{q} (1- q^{2s})^{-1}$$이 $$s=1$$에서 수렴하기 때문이다. 여기서 모순을 보이려면 $$f_2(1)$$의 값이 실제로 0이 아닌 것을 계산해서 보여야 하는 과정이 추가되긴 한다.
위에 예로 든 $$f_1, f_2$$는 모두 디리클레 지표(Dirichlet character)에 대해 정의되는 '''디리클레 L-함수'''(Dirichlet L-function)

$$ \displaystyle L(s, \chi) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\chi(n)}{n^s} = \prod_{p} \left( 1 - \frac{\chi(p)}{p^s} \right)^{-1} $$

의 일종이다. 여기서 디리클레 지표 $$\chi$$는 주어진 법 $$a$$에 대해

$$ \displaystyle \chi(mn) = \chi(m) \chi(n), \chi(n+ak)=\chi(n), \chi(n) = 0 \text{ if } \gcd(n,a)>1$$

을 만족하는 함수 $$\chi : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{C}$$이다.
위의 경우에선 법은 $$a=4$$였고, $$f_1, f_2$$는 법 4에 대해 가능한 모든 L-함수들이었다. 일반적인 법 $$a$$에 대해서 디리클레 지표는 정확히 기약잉여계 개수만큼 존재하고, 어떤 기약잉여계의 b에 대해서도 이들 지표의 L-함수들을 적절히 지수를 취해서 곱하면 (an+b꼴 소수만으로 이루어진 곱)*(수렴하는 곱) 꼴을 얻어낼 수 있다는 걸 보일 수 있다. 즉 여기까지 왔으면 "$$L(1,\chi)$$가 한 경우[1]만 제외하면 모두 0이 아닌 값으로 수렴한다"는 사실만 보여도 디리클레 정리를 증명할 수 있다. 물론 저게 가장 어려운 핵심 부분이지만...

[1] (a,n)=1이기만 하면 $$\chi(n)=1$$. 이런 경우를 자명한 지표(trivial character)라고 한다