일차함수
1. 개요
linear function · 一次函數
일차함수는 다항함수의 일종으로, 다음과 같이 정의된다.
$$f(x) = ax + b \qquad$$($$a \neq 0$$이고, $$a$$, $$b$$는 상수)
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일반적으로 다변수로 확장하면, 다음과 같이 된다. 이를 '''선형형식'''(linear form)이라고 한다. 이를 일반화한 개념이 다중선형형식이다.
$$\displaystyle f(x_1,\, x_2,\, \cdots,\, x_n) = \sum_{k=1}^{n}a_{k}x_{k} +b$$
1.1. 상세
함수 $$f(x)=ax+b$$는 다음을 만족시킨다.
- 기울기는 $$a$$이다.
- 좌표평면상의 그래프는 직선이다.
- $$a>0$$이면, $$x$$값이 증가하면 $$y$$값이 증가한다.
- $$a<0$$이면, $$x$$값이 증가하면 $$y$$값이 감소한다.
- $$x$$절편은 $$-\dfrac{b}{a}$$이다.
- $$y$$절편은 $$b$$이다.
- 도함수는 $$f'(x)=a$$로 상수함수이다.
- 역도함수는 $$\displaystyle \int f(x)\,{\rm d} x=\dfrac{ax^2}{2}+bx+C$$로 이차함수이다.(단, $$C$$는 적분 상수.)
- 극값을 갖지 않는다.[1]
2. 해석기하학적 의미
2.1. 직교좌표계에서
그래프가 직선을 그리기 때문에 '선형함수'라고도 부른다.
2.2. 극좌표계에서
극좌표계상에서
$$r(\theta) = a\theta + b \qquad$$($$a \neq 0$$이고, $$a$$, $$b$$는 상수)
[1] 그야말로 모든 경우에 극값을 갖지 않는 다항함수의 차수는 1차밖에 없다.
아래는 가장 간단한 경우인 $$b=0$$인 경우에 대하여 그래프의 개형을 그려본 것이다.
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3. 해석학적 의미
위 정의식에서 $$a=1$$, $$b=0$$일 경우[2]를 생각해보자.
이는 항등함수의 일종이며, 다음과 같은 성질을 가진다:
- 원점에 대칭인 홀함수이다. 즉 $$x =-(-x)$$가 성립한다.
- 역함수의 기준선이다. 즉 역함수 관계의 두 함수는 $$f(x) = x$$에 대칭이다.
- 역함수는 자기 자신이다.
- 정비례 관계이다. 즉 $$x$$가 증가하면 함숫값도 증가하는 증가함수이다.
- 도함수는 상수함수로, $$f'(x) =1$$이다.
- 역도함수는 이차함수로, $$\displaystyle \int x\,\mathrm{d}x = \dfrac{x^2}{2} +C$$이다.(단, $$C$$는 적분 상수.)
3.1. 등차수열
등차수열의 일반항은 일차식으로 나타나기 때문에, 공차를 일차항의 계수로 하는 일차함수로 볼 수 있다. 등차수열#s-4 참고.
3.2. 일차함수에 관한 추론
다항함수/추론 및 공식#s-2.2.2 참고.
3.3. 길이 및 거리(유클리드 노름)
다항함수/추론 및 공식#s-3.1 참고.
3.4. 미분가능성
수학에서 미분(영어: derivative, 微分) 또는 도함수(導函數)는 어떤 함수의 정의역 속 각 점에서 함숫값의 변화량과 독립 변숫값의 변화량 비의 극한 혹은 극한들로 치역이 구성되는 새로운 함수다.[1] 어떤 함수의 미분 계수 또는 순간 변화율을 구하는 것을 의미하며 미분 계수는 독립 변수 x의 증분에 관한 함숫값 ƒ(x)의 증분의 비가 한없이 일정한 값에 가까워질 때 그 일정한 값, 즉 함수에서 변수 x값의 변화량에 관한 함숫값 ƒ(x)의 변화량 비가 한없이 일정한 값에 가까워질 때 그 일정한 값 dy/dx로 나타낸다.
동사로서 미분(영어: differentiation)은 이러한 극한이나 도함수를 구하는 일, 즉 미분법을 뜻하기도 한다. 도함수에서 미분의 역연산을 통해 원시함수(antiderivative)를 구하는 것 역시 미분법(differential calculus)의 주요 주제다.
미분은 비선형 함수를 선형함수로 근사적으로 나타내려는 시도다. 비선형 함수를 미분하여 한 점 주변에서 1차 함수로 생각한다. 이를 반복하면 함수의 다항함수 근사를 얻으며 무한 번 하면 테일러 급수를 얻는다. 이는 14세기 인도 수학자의 저작에도 등장한다. 기하학적으로는, 비선형적인 함수로 표현되는 곡선의 한 점에서 그 곡선과 비슷한 직선인 접선을 구하는 것으로도 볼 수 있다. 일반적으로 미분기하학에서는 선형 공간인 접공간을 생각하여 미분다양체를 선형적으로 바라보며, 미분형식, 미분다양체에서 적분등은 모두 접공간이 필수적으로 고려되어야 한다.
4. 선형대수학적 의미
'''선형'''대수학의 알파이자 오메가로, 이것을 하나의 수(벡터)로 가정하고 이를 집합(벡터 공간)으로 삼아 이론을 전개한다.
5. 정수론적 의미
디리클레 정리가 일차함수 위의 소수를 다룬다.
6. 고전역학적 의미
등속직선운동이 일차함수의 형태를 띤다.