르베그 공간
Lebesgue space, $$L^p$$-space
측도 공간 $$ (X,\Sigma,\mu) $$및 실수 $$p \ge 1$$가 주어졌을 때 르베그 - $$p$$공간($$ L^{p}$$공간)은 다음을 만족시키는 보렐 가측함수 $$f : X \rightarrow \mathbb{R}$$ 혹은 $$f : X \rightarrow \mathbb{C}$$들의 집합을 말한다.
$$ L^p(\mu) := \{ f : ({\int_{X}}|f(x)|^p{{\rm{d}}\mu})^{1/p} < +\infty \}. $$.
이 $$L^p$$ 공간을 결정하는 다음의 식을 '''르베그 노름''' 혹은 '''$$L^p$$-노름'''이라 한다.
$$ {\lVert f \rVert}_{L_{p}} \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} ({\int_{X}}|f(x)|^p{{\rm{d}}\mu})^{1/p} $$
즉 $$L^p$$-공간은 이 $$L^p$$-노름이 유한한 함수들의 집합이다.
측도론의 관점에서는 $$L^p$$-노름은 함수가 0이 아니어도, 함수값이 0과 다른 집합이 측도 0이기만 하면 0이 된다. 이러한 함수들은 $$L^p$$-공간을 생각할 때는 0으로 간주한다. 엄밀하게 이야기하자면 $$\mathscr{L}^p$$를 $$L^p$$-노름이 유한한 함수들의 공간, $$\mathscr{N}$$을 $$L^p$$-노름이 0인 함수들의 공간으로 정의했을 때, $$L^p = \mathscr{L}^p/\mathscr{N}$$으로 생각할 수 있다. 이 관점에서는 $$L^p$$ 공간의 원소들은 거의 모든 곳에서 같은 함수들의 동치류인 셈이다.
$$L^{\infty}$$ 노름은 함수의 최대값을 측도 공간에 맞추어 일반화한 '실질적 최댓값'의 개념으로, 다음처럼 정의된다.
별도의 서술이 없으면 $$p \in [1, \infty]$$로 가정하자.
편미분방정식을 전공하지 않으면 흔히 보는 것은 $$L^1, L^2, L^{\infty}$$ 정도일 것이다.
이 중 $$L^2$$ 공간은 많은 분야에서 특별한 지위를 누리고 있는데, $$L^p$$ 공간 중에서 유일하게 내적을 논할 수 있는 공간이 $$L^2$$이기 때문이다. 일반적인 작용소를 분석하기 가장 쉬운 공간이 스펙트럼 정리의 위력을 자유자재로 사용할 수 있는 힐베르트 공간이며, 많은 이계 미분작용소[1]는 특정 가중치가 주어진 변형된 $$L^2$$ 공간에서의 에르미트 연산자로 간주될 수 있으므로 이 접근 방식은 상당히 범용적인 방법이다. 꼭 미분방정식이 아니더라도 $$L^2$$는 푸리에 변환이 연산자로 정의되는 유일한 공간인 등등의 여러 가지 특수성을 지니고 있다. 해석학 전공자가 아니라면 이러한 내용들의 응용 예시 중 제일 유명하고 중요한 경우인 양자역학에서 $$L^2$$ 공간을 제일 자주 보게 될 것이다. 양자역학 자체가 내적(브라켓)과 연산자를 힐베르트 공간[2], 위에서 다루는 내용 위에 쌓아올려진 학문이기 때문.
$$L^1$$과 $$L^{\infty}$$ 공간은 정의 자체가 매우 직관적이기 때문에 제일 먼저 배우기도 하며, 유계성을 다루는 곳에서 외려 $$L^2$$보다도 훨씬 자연스럽게 등장하는 경우가 많다. 다만 연산자로서의 성질을 다수 희생해야 하는 단점이 있어 의외로 $$L^2$$보다 다루기 불편한 상황들도 있다. 통계학이나 최적화 이론 등등의 응용수학에선 선형 계획법(linear programming) 형태의 대부분 문제에서 $$L^1$$이나 $$L^{\infty}$$ 노름이 적용되고, 이차형식과 유클리드 노름을 다룬다면 $$L^2$$ 공간이 나오는 경우가 많다. 보통 $$L^2$$ 노름은 미분에 대해 최적화하기가 쉽지만 계산하긴 어렵고, $$L^1$$이나 $$L^{\infty}$$ 노름은 반대의 성질을 가지게 된다.
확률론에서의 적률(모멘트, moment)을 높은 차수까지 요구한다면 그 차수만큼의 $$L^n$$을 요구할 수 있겠지만, 부득이한 상황이 아니고선 적절한 방법으로 꼬리를 잘라내고 일반적인 확률변수에 대해 확장하는 것이 요구되기 때문에 $$L^2$$를 넘어서는 공간이 잘 나오지는 않는 편이다.
해석학 내에선 $$L^p$$ 공간은 비교적 단순한 편으로, 더 다양한 상황을 묘사하기 위해선 도함수 등등에 조금 더 다양한 조건이 붙어 있는 여러 가지 함수공간을 생각하기도 한다. 모든 차수의 도함수가 $$L^p$$에 있는 소볼레프 공간(Sobolev space)이 대표적인 예이다. 이런 상황에서도 대부분의 사람들이 $$p=1,2,\infty$$가 아닌 다른 특정한 차수의($$L^3$$, $$L^4$$ 같은) 공간을 볼 일은 별로 없다. 특정 편미분방정식을 전공한다면 이야기는 또 달라질 수 있겠지만...
지수 $$p$$가 1보다 작아도 $$L^p$$공간을 비슷하게 정의할 수 있다. 다만 $$L^p$$-노름은 삼각부등식을 만족시키지 못해 더 이상 노름이 되지 못한다.
1. 개요
측도 공간 $$ (X,\Sigma,\mu) $$및 실수 $$p \ge 1$$가 주어졌을 때 르베그 - $$p$$공간($$ L^{p}$$공간)은 다음을 만족시키는 보렐 가측함수 $$f : X \rightarrow \mathbb{R}$$ 혹은 $$f : X \rightarrow \mathbb{C}$$들의 집합을 말한다.
$$ L^p(\mu) := \{ f : ({\int_{X}}|f(x)|^p{{\rm{d}}\mu})^{1/p} < +\infty \}. $$.
이 $$L^p$$ 공간을 결정하는 다음의 식을 '''르베그 노름''' 혹은 '''$$L^p$$-노름'''이라 한다.
$$ {\lVert f \rVert}_{L_{p}} \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} ({\int_{X}}|f(x)|^p{{\rm{d}}\mu})^{1/p} $$
즉 $$L^p$$-공간은 이 $$L^p$$-노름이 유한한 함수들의 집합이다.
유한개의 원소에 대해서는 초등적으로도 정의할 수 있는데 벡터 $$ x = (a_{1},a_{2},......a_{n}) $$에 대해 $$ {\lVert x \rVert}_{L_{p}} = (|a_{1}|^p+|a_{2}|^p+......+|a_{n}|^p)^{1/p} $$ 로 정의한다.
1.1. 정확한 정의
측도론의 관점에서는 $$L^p$$-노름은 함수가 0이 아니어도, 함수값이 0과 다른 집합이 측도 0이기만 하면 0이 된다. 이러한 함수들은 $$L^p$$-공간을 생각할 때는 0으로 간주한다. 엄밀하게 이야기하자면 $$\mathscr{L}^p$$를 $$L^p$$-노름이 유한한 함수들의 공간, $$\mathscr{N}$$을 $$L^p$$-노름이 0인 함수들의 공간으로 정의했을 때, $$L^p = \mathscr{L}^p/\mathscr{N}$$으로 생각할 수 있다. 이 관점에서는 $$L^p$$ 공간의 원소들은 거의 모든 곳에서 같은 함수들의 동치류인 셈이다.
1.2. $$L^{\infty}$$-공간
$$L^{\infty}$$ 노름은 함수의 최대값을 측도 공간에 맞추어 일반화한 '실질적 최댓값'의 개념으로, 다음처럼 정의된다.
$$\displaystyle \| f\|_{\infty} = \inf \{ M : \mu(|f|>M)=0 \}$$
통상적인 최대값의 경우 측도 0인 집합에서 함수값이 끝없이 커지면 거의 모든 점에서 $$f=g$$일지라도 최대값이 다를 수 있기 때문에, 그것을 막으려 변경된 정의이다. 거의 모든 점에서 $$f=g$$이면 $$L^{\infty}$$ 노름은 동일하며, 이것 덕분에 $$L^{\infty}$$ 노름이 유한한 집합 $$L^{\infty}$$-공간을 비슷하게 정의할 수 있다.2. 성질
별도의 서술이 없으면 $$p \in [1, \infty]$$로 가정하자.
- $$L^p$$-공간은 노름에 대한 완비 공간이다. 즉 임의의 코시 수열이 수렴한다.
완비인 노름 공간을 바나흐 공간(Banach space)이라 부른다.
- $$L^2$$-노름은 내적이 되고, $$L^2$$-공간은 완비 내적 공간인 힐베르트 공간(Hilbert space)이 된다.
2.1. $$L^p$$ 공간 사이의 관계
- 일반적으로 $$L^p$$공간 사이에는 포함관계가 없다. 하지만 $$1 < p_1 < q < p_2$$에 대해 $$L^{p_1} \cap L^{p_2} \subset L^q \subset L^{p_1} + L^{p_2}$$은 성립한다.
- 유한차원 공간이 아니면 $$p$$가 다를 때 $$L^p$$ 공간은 단순히 공간의 전체집합만 다른 것이 아니라 공간의 위상(topology)이 달라진다. 즉 $$f, f_i \in L^{p_1} \cap L^{p_2}$$에 대해 명제 $$ \| f - f_i\|_{p_1} \rightarrow 0$$과 $$ \| f - f_i\|_{p_2} \rightarrow 0$$ 사이에는 아무런 관계가 없다.
- 다만 확률공간($$\mu(X)=1$$인 공간)에선 $$p_1
- 리츠 쌍대성(Riesz duality): $$1 < p<\infty$$에 대해 $$L^p$$의 쌍대공간은 $$L^q$$로 주어진다. 여기서 $$q$$는 $$p^{-1}+q^{-1}=1$$을 만족하는 횔더 부등식에 등장하는 양수로, 보통 횔더 켤레(Holder conjugate)라 불린다. 이 쌍대성은 $$L^1$$과 $$L^{\infty}$$에선 성립하지 않는데, $$(L^1)^{*} = L^{\infty}$$이지만 $$(L^{\infty})^{*} \neq L^1$$이기 때문이다.
- $$L^p$$-노름은 로그-볼록(log-convex)이다. 즉 $$p>1$$에 대해 $$\log \|f\|_{p}$$는 볼록함수이다.
- 리츠 보간 정리(Riesz interpolation theorem)
- 푸리에 변환은 $$1 \le p \le 2$$이면 $$L^p \rightarrow L^q$$ 위에서 잘 정의되며, 특별히 $$L^2 \rightarrow L^2$$ 범위에서는 동형사상(isomorphism)이 된다.
2.2. 실수 위에서의 $$L^p$$-공간
- 연속함수나 매끄러운 함수(smooth functions)들의 집합은 $$L^p$$의 조밀한 부분집합을 이룬다. 즉 임의의 $$\epsilon>0$$과 $$f \in L^p$$에 대해, $$\|f - g\|_{p} \le \epsilon$$인 매끄러운 함수 $$g \in L^p$$가 존재한다.
3. 쓰임새
편미분방정식을 전공하지 않으면 흔히 보는 것은 $$L^1, L^2, L^{\infty}$$ 정도일 것이다.
이 중 $$L^2$$ 공간은 많은 분야에서 특별한 지위를 누리고 있는데, $$L^p$$ 공간 중에서 유일하게 내적을 논할 수 있는 공간이 $$L^2$$이기 때문이다. 일반적인 작용소를 분석하기 가장 쉬운 공간이 스펙트럼 정리의 위력을 자유자재로 사용할 수 있는 힐베르트 공간이며, 많은 이계 미분작용소[1]는 특정 가중치가 주어진 변형된 $$L^2$$ 공간에서의 에르미트 연산자로 간주될 수 있으므로 이 접근 방식은 상당히 범용적인 방법이다. 꼭 미분방정식이 아니더라도 $$L^2$$는 푸리에 변환이 연산자로 정의되는 유일한 공간인 등등의 여러 가지 특수성을 지니고 있다. 해석학 전공자가 아니라면 이러한 내용들의 응용 예시 중 제일 유명하고 중요한 경우인 양자역학에서 $$L^2$$ 공간을 제일 자주 보게 될 것이다. 양자역학 자체가 내적(브라켓)과 연산자를 힐베르트 공간[2], 위에서 다루는 내용 위에 쌓아올려진 학문이기 때문.
$$L^1$$과 $$L^{\infty}$$ 공간은 정의 자체가 매우 직관적이기 때문에 제일 먼저 배우기도 하며, 유계성을 다루는 곳에서 외려 $$L^2$$보다도 훨씬 자연스럽게 등장하는 경우가 많다. 다만 연산자로서의 성질을 다수 희생해야 하는 단점이 있어 의외로 $$L^2$$보다 다루기 불편한 상황들도 있다. 통계학이나 최적화 이론 등등의 응용수학에선 선형 계획법(linear programming) 형태의 대부분 문제에서 $$L^1$$이나 $$L^{\infty}$$ 노름이 적용되고, 이차형식과 유클리드 노름을 다룬다면 $$L^2$$ 공간이 나오는 경우가 많다. 보통 $$L^2$$ 노름은 미분에 대해 최적화하기가 쉽지만 계산하긴 어렵고, $$L^1$$이나 $$L^{\infty}$$ 노름은 반대의 성질을 가지게 된다.
확률론에서의 적률(모멘트, moment)을 높은 차수까지 요구한다면 그 차수만큼의 $$L^n$$을 요구할 수 있겠지만, 부득이한 상황이 아니고선 적절한 방법으로 꼬리를 잘라내고 일반적인 확률변수에 대해 확장하는 것이 요구되기 때문에 $$L^2$$를 넘어서는 공간이 잘 나오지는 않는 편이다.
해석학 내에선 $$L^p$$ 공간은 비교적 단순한 편으로, 더 다양한 상황을 묘사하기 위해선 도함수 등등에 조금 더 다양한 조건이 붙어 있는 여러 가지 함수공간을 생각하기도 한다. 모든 차수의 도함수가 $$L^p$$에 있는 소볼레프 공간(Sobolev space)이 대표적인 예이다. 이런 상황에서도 대부분의 사람들이 $$p=1,2,\infty$$가 아닌 다른 특정한 차수의($$L^3$$, $$L^4$$ 같은) 공간을 볼 일은 별로 없다. 특정 편미분방정식을 전공한다면 이야기는 또 달라질 수 있겠지만...
4. $$0<p<1$$이면?
지수 $$p$$가 1보다 작아도 $$L^p$$공간을 비슷하게 정의할 수 있다. 다만 $$L^p$$-노름은 삼각부등식을 만족시키지 못해 더 이상 노름이 되지 못한다.