매끄러움
smoothness
1. 미적분학과 해석학에서의 매끄러움
무한히 미분해도 계속 연속인 함수의 성질을 함수의 매끄러움이라고 한다. 예를 들자면 삼각함수 $$\sin x$$ 은 미분하면 $$ \cos x $$ 이 되고 다시 미분하면 $$-\sin x$$ 이 되고.. 가 계속 반복되는데, 이들은 모두 연속이기 때문에 매끄럽다고 할 수 있다. 다항함수는 (차수+1)만큼 미분하고 나면 [math(0)]이 되는데, 일종의 상수함수로 생각할 수 있고, 상수함수는 연속이기 때문에 다항함수는 모두 매끄럽다. 지수함수나 로그함수도 물론 매끄럽다. 연속인 함수의 합성함수가 연속이므로 초등함수는 모두 매끄럽다. 홀함수와 짝함수는 홀짝을 반복하는 형태로 매끄러운 함수이다.[1]
미분이 몇 번 되는가를 기준으로 함수를 분류하기도 하는데, $$C^{\infty}$$ 이 매끄러운 함수들의 집합을 의미하며,$$C^{k}$$는 k-계도함수가 연속함수로 존재하는 함수들의 집합이다. $$C^0$$은 연속인 함수의 집합이다.
한편 '''해석함수'''(analytic function)라는 함수의 클래스가 있는데, 이는 모든 점에 대해 그 점 근방에서 테일러 급수가 원래 함수로 수렴하는 함수들의 모임이다. 해석함수의 집합을 $$C^{\omega}$$라 쓰기도 한다. 이 다른 이름이 있는 이유는, 매끄럽지만 해석함수가 아닌 함수가 있기 때문이다. 다음의 조각적 정의된 함수가 자주 나오는 예시이다.
$$ f(x) = \begin{cases} e^{-1/x} & x > 0 \\ 0 & x \le 0 \end{cases}$$
이 함수 $$f$$는 $$x=0$$에서 무한번 미분할 수 있고 모든 미분계수가 0이다. 즉 매끄러운 함수이지만 $$x=0$$에서의 테일러 급수는 0이므로 0점의 어떤 근방에서도 $$f$$와 일치하지 않아 해석함수가 될 수 없다. 대신 복소수에서 복소수로 가는 열린 집합 위의 복소함수에 대해서는 $$C^1$$ = $$C^{\infty}$$ = $$C^{\omega}$$이 성립한다. 실수에서의 미분 가능보다 복소수에서 미분가능이 훨씬 까다로운 조건이기 때문. 교재에서 한 번 미분했을 때 연속인 함수인 경우 매끄럽다고 표현한다면 정의역을 한번 살펴보자. 덕분에 축복받은 복소해석학에서는 매끄러움이란 말을 쓰지 않고 한번 미분가능하면 그냥 복소해석적(complex analytic)이라 부르고 끝내버린다. 물론 정의역이 열린 집합이 아니면 (실수라던가) 전혀 성립하지 않는다.
다변수 미적분학에서는 비슷하게 모든 방향의 편도함수가 계속 연속이면 된다. 해석함수도 비슷하게 정의할 수 있고, 역시 위의 예시처럼 매끄럽지만 해석함수가 아닌 함수도 있다. 사실 위의 예시는 일부 구간에서 0이고 다른 구간에서 1인 매끄러운 함수라던가 등등을 마음대로 만들 수 있기 때문에 은근히 유용하게 쓰인다.
2. 기하학에서 도형의 매끄러움
어찌 보면 모양이 모난 데 없이 매끄럽다는 일상적인 의미에 보다 가깝지만, 이걸 엄밀히 전달하기 위해선 함수의 매끄러움이 필요하다.
간단히 얘기하면 매끄러운 함수로 도형을 나타낼 수 있고, 접평면을 생각할 수 있을 때 매끄럽다고 한다. 물론 세부적인 정의는 문맥과 상황에 따라 많이 다르다.
유클리드 공간 내부의 곡선의 경우 길이에 대해 매개화했을 때 그 함수가 매끄러우면 그 곡선도 매끄럽다고 한다. 이렇게 정의하는 이유는 절댓값 함수 $$y=|x|$$의 그래프같이 전혀 매끄럽지 않아 보이는 뾰족한 모양이라도 함수 자체는 매끄럽게 매개화할 수 있기 때문이다.[2][3] 다만 이 정의는 곡선을 제외한 다른 매개화된 도형으로 옮겨가기가 힘들다.
대신 국소적으로 유클리드 공간의 매끄러운 일대일대응이 양쪽 방향으로 있을 때, 즉 미분동형(diffeomorphic)의 조건으로 더 높은 차원의 매끄러움을 정의할 수 있다. 도형 $$M$$의 점 $$p$$에 대해, 근방 $$p \in U \subset M$$이 존재해 열린 집합 $$V \subset \mathbb{R}^n$$과의 일대일대응 $$f : U \rightarrow V$$이 있어 $$f, f^{-1}$$이 모두 매끄러운 함수이면 $$M$$은 점 $$p$$에서 매끄럽다고 말한다. 역함수 정리에 의해 도형의 매개화에서 미분이 일대일함수이기만 한다면 그 역함수도 매끄러운 함수가 되므로, 매끄러움을 판정하기는 생각보다 쉽다. 길이로 매개화하면 그 미분은 길이 1짜리 속도벡터가 되므로, 곡선에 대해서는 두 매끄러움의 정의가 동치라는 사실도 증명할 수 있다.
보다 고급과정에서는 이것의 일반화된 버전인 매끄러운 다양체(smooth manifold) 혹은 미분다양체를 생각한다. 미분다양체에서 매끄러움의 정확한 정의는 의외로 매우 귀찮지만, 유클리드 공간에 있지 않은 공간에서 매끄러움을 논하려면 어쩔 수 없이 이 버전이 필요하다. 기타 대수기하학 등 분야마다 조금씩 다른 매끄러움의 정의가 있다.
도형이 매끄럽지 않은 점을 특이점(singularity)이라고 한다.
[1] 물론 원래 함수가 매끄럽다는 가정 하에[2] 구체적인 예시를 들자면 위의 매끄럽지만 해석이 아닌 함수 예시 $$f$$를 사용하여, $$\gamma(t) = \begin{cases} (f(t),f(t)) & t \ge 0 \\ (-f(-t),f(-t)) & t \le 0 \end{cases}$$처럼 정의하면 $$\gamma$$의 궤적은 절대값 그래프를 그린다.[3] 실제로 절댓값의 미적분을 살펴본다면
미분: $$|x| \to \mathrm{sgn}(x) \to 2\delta(x) \to 2\delta'(x) \cdots$$
적분: $$|x| \to \dfrac{x^2}{2}\mathrm{sgn}(x) \to \dfrac{x^3}{6}\mathrm{sgn}(x) \to \dfrac{x^4}{24}\mathrm{sgn}(x)\cdots$$
같은 식으로 무한번 미분이나 적분이 가능한 것을 알 수 있다. 이게 가능한 이유는 분포 이론을 통한 디랙 델타 함수 정의의 수학적 토대를 마련한 로랑 슈바르츠의 공이 크다.
미분: $$|x| \to \mathrm{sgn}(x) \to 2\delta(x) \to 2\delta'(x) \cdots$$
적분: $$|x| \to \dfrac{x^2}{2}\mathrm{sgn}(x) \to \dfrac{x^3}{6}\mathrm{sgn}(x) \to \dfrac{x^4}{24}\mathrm{sgn}(x)\cdots$$
같은 식으로 무한번 미분이나 적분이 가능한 것을 알 수 있다. 이게 가능한 이유는 분포 이론을 통한 디랙 델타 함수 정의의 수학적 토대를 마련한 로랑 슈바르츠의 공이 크다.