체바 정리

 


1. 개요
2. 선에 관한 체바 정리
2.1. 증명
3. 각에 관한 체바 정리
3.1. 증명
4. 기타
5. 관련 항목


1. 개요

1678년 이탈리아의 기하학자 조반니 체바(Giovanni Ceva)가 발견한 정리이다. 크게 선에 관한 정리와 각에 관한 정리로 나뉜다.[1]

2. 선에 관한 체바 정리

[image]
$$\triangle \rm ABC$$에서 $$\overline{\rm BC}$$, $$\overline{\rm CA}$$, $$\overline{\rm AB}$$의 어느 위에 있지 않은 삼각형 내부의 한 점 $$\rm P$$와 $$\rm A$$, $$\rm B$$, $$\rm C$$를 이은 직선이 각각 $$\overline{\rm BC}$$, $$\overline{\rm CA}$$, $$\overline{\rm AB}$$에서 만나는 점을 각각 $$\rm D$$, $$\rm E$$, $$\rm F$$라 할 때, 다음이 성립한다.

$$\displaystyle \frac{\overline{\rm BD}}{\overline{\rm DC}}\cdot\frac{\overline{\rm CE}}{\overline{\rm EA}}\cdot\frac{\overline{\rm AF}}{\overline{\rm FB}}=1$$
또한, 역으로 $$\triangle \rm ABC$$에서 $$\overline{\rm BC}$$ 위에 $$\rm D$$, $$\overline{\rm CA}$$ 위에 $$\rm E$$, $$\overline{\rm AB}$$ 위에 $$\rm F$$를 잡은 후, 각각 $$\rm A$$, $$\rm B$$, $$\rm C$$와 이었을때,

$$\displaystyle \frac{\overline{\rm BD}}{\overline{\rm DC}}\cdot\frac{\overline{\rm CE}}{\overline{\rm EA}}\cdot\frac{\overline{\rm AF}}{\overline{\rm FB}}=1$$이 성립하면 $$\overline{\rm AD}$$, $$\overline{\rm BE}$$, $$\overline{\rm CF}$$가 한 점 $$\rm P$$에서 만나게 된다.
참고로 말하자면, '''$$\mathbf P$$가 외부에 있을 때도 동일하게 성립한다.''' 이 경우, $$\overline{\rm AP}$$, $$\overline{\rm BP}$$, $$\overline{\rm CP}$$가 각각 $$\overline{\rm BC}$$, $$\overline{\rm CA}$$, $$\overline{\rm AB}$$의 연장선상에서 만나는 점을 $$\rm D$$, $$\rm E$$, $$\rm F$$라 하며, 방향을 생각한 길이 표기를 도입하게 된다.[2]
  • $$\overline{\rm AP}$$가 $$\overline{\rm BC}$$를 $$\rm C$$쪽으로 연장한 반직선과 만난다면(그 때 교점을 $$\rm D$$라고 하면) $$\overline{\rm DC}$$는 음수로, $$\overline{\rm BD}$$는 양수로 표시하게 된다.
  • $$\overline{\rm AP}$$가 선분 $$\overline{\rm BC}$$와 만난다면 $$\overline{\rm BD}$$, $$\overline{\rm DC}$$ 모두 양수로 측정하게 된다.
  • $$\overline{\rm AP}$$가 $$\overline{\rm BC}$$를 $$\rm B$$ 쪽으로 연장한 반직선과 만난다면 반대로 $$\overline{\rm BC}$$는 음수, $$\overline{\rm DC}$$는 양수이다.

2.1. 증명

위에서 설명한, 방향이 고려된 길이 표기를 사용하기로 한다. 즉 길이는 음수가 될 수 있다.
$$\displaystyle \triangle\rm ABC$$에서 $$\displaystyle \overline{\rm BC}$$ 위에 $$\displaystyle \rm D$$, $$\displaystyle \overline{\rm CA}$$ 위에 $$\displaystyle \rm E$$, $$\displaystyle \overline{\rm AB}$$ 위에 $$\displaystyle \rm F$$를 잡은 후, $$\displaystyle \overline{\rm AD}$$, $$\displaystyle \overline{\rm BE}$$, $$\displaystyle \overline{\rm CF}$$가 한 점 $$\displaystyle \rm P$$에서 만난다고 하자. 삼각형의 넓이비를 생각하면,

$$\displaystyle \begin{aligned} \displaystyle \frac{\overline{\rm BD}}{\overline{\rm DC}}&=\frac{\triangle\rm ABP}{\triangle\rm ACP} \\\frac{\overline{\rm CE}}{\overline{\rm EA}}&=\frac{\triangle\rm BCP}{\triangle\rm BAP} \\ \frac{\overline{\rm AF}}{\overline{\rm FB}}&=\frac{\triangle\rm CAP}{\triangle\rm CBP} \end{aligned}$$
[1] 따로 각 체바 정리라고도 하나 승인되지 않은 용어이며, 일반적인 선에 관한 체바 정리와 대등한 하위 관계에 있다.[2] 그냥 연장선이 변을 지나치는 경우를 양으로 생각하고, 반대방향을 음으로 생각하면 된다. 이는 아주 자연스러운 일이다.
이것을 모두 곱하면 1이 된다.
역정리를 보이자.

$$\displaystyle \frac{\overline{\rm BD}}{\overline{\rm DC}}\cdot\frac{\overline{\rm CE}}{\overline{\rm EA}}\cdot\frac{\overline{\rm AF}}{\overline{\rm FB}}=1$$
라 가정하자. $$\displaystyle \overline{\rm AD}$$와 $$\displaystyle \overline{\rm BE}$$의 교점을 $$\displaystyle \rm Q$$라고 하고 $$\displaystyle \overline{\rm CQ}$$를 연장시켜 $$\displaystyle \overline{\rm AB}$$와의 교점을 $$\displaystyle \rm F'$$라고 하자. 그럼 원래 체바의 정리에 의해

$$\displaystyle \frac{\overline{\rm BD}}{\overline{\rm DC}}\cdot\frac{\overline{\rm CE}}{\overline{\rm EA}}\cdot\frac{\overline{\rm AF'}}{\overline{\rm F'B}}=1$$
이 성립하는데,

$$\displaystyle \frac{\overline{\rm BD}}{\overline{\rm DC}}\cdot\frac{\overline{\rm CE}}{\overline{\rm EA}}\cdot\frac{\overline{\rm AF}}{\overline{\rm FB}}=1$$
도 성립하므로 결국

$$\displaystyle \frac{\overline{\rm AF'}}{\overline{\rm F'B}}=\frac{\overline{\rm AF}}{\overline{\rm FB}}$$
여야 한다. 따라서, $$\displaystyle \rm{F}$$는 $$\displaystyle \rm{F'}$$과 같다는 결론을 얻는다.

3. 각에 관한 체바 정리

$$\triangle \rm ABC$$에서 $$\overline{\rm AD}$$, $$\overline{\rm BE}$$, $$\overline{\rm CF}$$가 한 점 $$\rm P$$에서 만날 때 다음이 성립한다. 이 경우 외에도 방향이 고려된 각도를 사용하게 된다.[3] 점 P가 외부에 있어도 성립한다.

$$\displaystyle \frac{\sin\angle\rm CAD}{\sin\angle\rm BAD}\cdot\frac{\sin\angle\rm BCF}{\sin\angle\rm ACF}\cdot\frac{\sin\angle\rm ABE}{\sin\angle\rm CBE}=1$$이것의 역 또한 성립한다.

3.1. 증명

$$\overline{\rm AD}$$, $$\overline{\rm BE}$$, $$\overline{\rm CF}$$가 한 점 $$\rm P$$에서 만난다면 $$\triangle\rm PAB$$, $$\triangle\rm PBC$$, $$\triangle\rm PCA$$에서 사인 법칙을 적용하면

$$\displaystyle \begin{aligned} \frac{\overline{\rm PA}}{\overline{\rm PB}}&=\frac{\sin\angle\rm PBA}{\sin\angle\rm PAB}=\frac{\sin\angle\rm ABE}{\sin\angle\rm BAD} \\ \frac{\overline{\rm PB}}{\overline{\rm PC}}&=\frac{\sin\angle\rm PCB}{\sin\angle\rm PBC}=\frac{\sin\angle\rm BCF}{\sin\angle\rm CBE} \\ \frac{\overline{\rm PC}}{\overline{\rm PA}}&=\frac{\sin\angle\rm PCA}{\sin\angle\rm PAC}=\frac{\sin\angle\rm CAD}{\sin\angle\rm ACF}\end{aligned}$$
[3] 이에 대해서는 각을 참조하여라.
이고, 변변 곱하면 된다.
각에 관한 역정리 증명도 선에 관한 체바 역정리와 같은 방법을 사용할 수 있다.

4. 기타

  • 교과 과정에 포함되지는 않았지만 그 심플함과 편리성으로 인해 KMO를 준비한 학생들은 고등학교의 복잡한 기하 문제들을 심히 편히 풀어나갈 수 있도록 도와주기도 한다. 메넬라오스 정리와 함께 조금만 복잡한 삼각형 기하를 푸는 데 필수로 필요한 도구.
  • 이탈리아어에서 유래되었으므로 외래어표기법 상 '체바'로 표기하는 게 옳으며 ‘세바’는 영어권 사람들의 발음법이다. 일본에서는 이를 고려하고 체바 정리로 지은 것. 왜 일본 이야기를 꺼내냐면, 우리나라의 수학 용어 대부분이 일본을 경유하여 들여왔기 때문이다. 대한수학회에서도 '체바 정리'를 밀고 있다.
  • 영어에서는 세바라고 발음한다. 발음 듣기1 발음 듣기2 참고로 교육과정에 들어온다면 '-의 정리'는 채택되지 않을 가능성이 높다. 소유격 조사 '-의'를 모두 빼는 추세이기 때문이다.(그 예로 피타고라스 정리, 아보가드로 법칙, 맥스웰 방정식 등이 있다.)

5. 관련 항목