원주각

1. 개요

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inscribed angle · 圓周角

그림과 같이 $$\stackrel\frown{\mathrm{AB}}$$에 대해 $$\angle \alpha$$를 $$\stackrel\frown{\mathrm{AB}}$$에 대한 '''원주각'''이라 하며, 이때, $$\angle \beta$$를 $$\stackrel\frown{\mathrm{AB}}$$에 대한 '''중심각'''이라 한다.
뒤에서 증명하겠지만, 원주각과 중심각의 관계는 아래와 같다.

$$\displaystyle \angle \alpha = \frac{\angle \beta}{2} $$

참고로 이 문서의 각은 호도법으로 정의된 것을 사용한다. 해당 각에 $$ 180^{\circ}/\pi $$을 곱해주면, 육십분법으로 정의된 각을 알 수 있다. 또한 닮음 기호는 국제적으로 통용되는 $$\sim$$을 썼다.

2. 원주각의 성질

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2.1. 성질 1

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원주각은 호가 같다면, 점 $$\mathrm{P}$$에 관계 없이 일정하다. 즉,

위 그림에서

$$\displaystyle \alpha_{1}=\alpha_{2}=\alpha_{3} $$

이다.
이것은 다음과 같이 세 경우로 나누어 증명 가능하다.
'''[1]''' 원의 중심이 원주각 내부에 있을 때

호 $$\mathrm{AB}$$에 대한 원주각 $$\angle \mathrm{APB}$$를 고려하고, 보조선으로 지름 $$\overline{\mathrm{PQ}}$$를 사용하자. 이때, 원의 반지름으로써 $$\overline{\mathrm{OP}}=\overline{\mathrm{OA}}=\overline{\mathrm{OB}}$$가 성립하므로 삼각형 $$\mathrm{PAO}$$, 삼각형 $$\mathrm{POB}$$는 이등변삼각형임을 알 수 있다. 따라서

$$\displaystyle \angle \mathrm{APO}=\angle \mathrm{PAO} $$, $$\displaystyle \angle \mathrm{OPB}=\angle \mathrm{OBP} $$

가 성립한다. 그런데, 삼각형 $$\mathrm{PAO}$$의 $$\angle \mathrm{AOP}$$에 대한 외각은 $$\angle \mathrm{AOQ}$$이고,

$$\displaystyle \angle \mathrm{AOQ}=\angle \mathrm{APO}+\angle \mathrm{PAO}=2\angle \mathrm{APO} $$

이다. 마찬가지의 논법으로

$$\displaystyle \angle \mathrm{QOB}=\angle \mathrm{OPB}+\angle \mathrm{OBP}=2\angle \mathrm{OPB}$$

임을 증명할 수 있다. 위를 종합하면,

$$\displaystyle \angle \mathrm{APB}=\frac{1}{2}\angle \mathrm{AOB} $$

임을 얻는다.
'''[2]''' 원의 중심이 원주각 직선 위에 있을 때

호 $$\mathrm{AB}$$에 대한 원주각 $$\angle \mathrm{APB}$$를 고려하자. 원의 반지름으로써 $$\overline{\mathrm{OP}}=\overline{\mathrm{OA}}=\overline{\mathrm{OB}}$$가 성립하므로 삼각형 $$\mathrm{OAB}$$, 삼각형 $$\mathrm{POB}$$는 이등변삼각형임을 알 수 있다. 따라서 삼각형 $$\mathrm{POB}$$에 대하여

$$\displaystyle \angle \mathrm{OPB}=\angle \mathrm{OBP} $$

이 성립한다. 또한, $$\angle \mathrm{POB}$$의 외각은 $$\angle \mathrm{AOB}$$이고,

$$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{OPB}+\angle \mathrm{OBP}=2\angle \mathrm{OPB} $$

이 성립하므로 결국

$$\displaystyle \angle \mathrm{APB}=\frac{1}{2}\angle \mathrm{AOB} $$

임을 얻는다.
'''[3]''' 원의 중심이 원주각 외부에 있을 때

호 $$\mathrm{AB}$$에 대한 원주각 $$\angle \mathrm{APB}$$를 고려하고, 보조선으로 반지름 $$\overline{\mathrm{OP}}$$를 사용하자. 이때, 원의 반지름으로써 $$\overline{\mathrm{OP}}=\overline{\mathrm{OA}}=\overline{\mathrm{OB}}$$가 성립하므로 삼각형 $$\mathrm{PAO}$$, 삼각형 $$\mathrm{POB}$$는 이등변삼각형임을 알 수 있다. 따라서 삼각형 $$\mathrm{OAP}$$와 삼각형 $$\mathrm{OBP}$$는 이등변삼각형이다. 따라서 다음이 성립한다:

$$\displaystyle \angle \mathrm{OAP}=\angle \mathrm{OPA} $$, $$\displaystyle \angle \mathrm{OPB}=\angle \mathrm{OBP} $$

따라서

$$\displaystyle \begin{aligned} \angle \mathrm{OBP}&=\angle \mathrm{OPA} +\angle \mathrm{APB} \\&=\angle \mathrm{OAP} +\angle \mathrm{APB} \end{aligned} $$

이고, 삼각형 $$\mathrm{QPB}$$의 $$\angle \mathrm{PQB}$$에 대한 외각은 $$\angle \mathrm{AQB}$$이므로

$$\displaystyle \angle \mathrm{AQB}= \angle \mathrm{OAP} +2\angle \mathrm{APB} $$

또, 삼각형 $$\mathrm{OAQ}$$의 $$\angle \mathrm{OQA}$$에 대한 외각은 $$\angle \mathrm{AQB}$$임에 따라

$$\displaystyle \angle \mathrm{AQB}= \angle \mathrm{OAP}+\angle \mathrm{AOB} $$

이상에서

$$\displaystyle \angle \mathrm{OAP}+\angle \mathrm{AOB}= \angle \mathrm{OAP} +2\angle \mathrm{APB} $$

의 결과를 얻으므로 정리하면,

$$\displaystyle \angle \mathrm{APB}=\frac{1}{2}\angle \mathrm{AOB} $$

임을 얻는다.
따라서 우리는 '''[1]'''~'''[3]'''의 과정을 통해 원주각의 크기는 호의 길이만 같다면, 크기는 원주각의 위치에 무관함을 증명했다.
사실 $$\alpha$$가 $$\pi /2$$보다 큰 지 작은지 알면 $$\sin \alpha =\overline\mathrm{AB} /2R$$임을 이용하면 한 번에 나온다.

2.2. 성질 2

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위의 개요 문단에서도 다뤘지만, 원주각은 중심각의 크기에 절반의 크기를 가진다. 이것의 증명 원주각이 예각, 직각, 둔각일 때를 나누어 증명한다.
'''[1] 원주각이 예각일 때'''

우리는 보조선으로 선분 $$\mathrm{PQ}$$를 긋는 것부터 시작하자. 원의 반지름인 세 선분의 길이는 같다. 즉,

$$\displaystyle \overline{\mathrm{AO}}=\overline{\mathrm{PO}}=\overline{\mathrm{BO}} $$

이에 두 삼각형 $$\mathrm{PAO}$$와 $$\mathrm{PBO}$$는 이등변 삼각형이다. 따라서 위 그림과 같이 양끝각은 같다. 이상에서

$$\displaystyle \angle{\mathrm{AOB}}=\angle{\mathrm{AOQ}}+\angle{\mathrm{QOB}} $$

이고, 삼각형의 외각은 삼각형 내부의 두 각의 크기의 합과 같으므로

$$\displaystyle \angle{\mathrm{AOQ}}=2\angle{\mathrm{APO}}, \qquad \qquad \angle{\mathrm{QOB}}=2\angle{\mathrm{OPB}} $$

이상에서

$$\displaystyle \angle{\mathrm{AOB}}=2({\mathrm{APO}}+\angle{\mathrm{OPB}})=2 \angle{\mathrm{APB}} $$

임을 알 수 있다.
'''[2] 원주각이 직각일 때'''

우리는 보조선으로 선분 $$\mathrm{PO}$$를 긋는 것부터 시작하자. 원의 반지름인 세 선분의 길이는 같다. 즉,

$$\displaystyle \overline{\mathrm{AO}}=\overline{\mathrm{PO}}=\overline{\mathrm{BO}} $$

이에 두 삼각형 $$\mathrm{PAO}$$와 $$\mathrm{PBO}$$는 이등변 삼각형이다. 따라서 위 그림과 같이 양끝각은 같다. 이상에서

$$\displaystyle \angle{\mathrm{AOB}}=\angle{\mathrm{AOP}}+\angle{\mathrm{POB}} $$

그런데, 삼각형의 외각은 삼각형 내부의 두 각의 크기의 합과 같으므로

$$\displaystyle \angle{\mathrm{AOP}}=2\angle{\mathrm{OPB}}, \qquad \qquad \angle{\mathrm{POB}}=2\angle{\mathrm{APO}} $$

이상에서

$$\displaystyle \angle{\mathrm{AOB}}=2(\angle{\mathrm{APO}}+\angle{\mathrm{OPB}})=2 \angle{\mathrm{APB}} $$

가 됨을 알 수 있다.
'''[3] 원주각이 둔각일 때'''

우리는 보조선으로 선분 $$\mathrm{PO}$$를 긋는 것부터 시작하자. 원의 반지름인 세 선분의 길이는 같다. 즉,

$$\displaystyle \overline{\mathrm{AO}}=\overline{\mathrm{PO}}=\overline{\mathrm{BO}} $$

이에 두 삼각형 $$\mathrm{PAO}$$와 $$\mathrm{PBO}$$는 이등변 삼각형이다. 따라서 위 그림과 같이 양끝각은 같다. 이상에서

$$\displaystyle \angle{\mathrm{AOB}}=2\pi-(\angle{\mathrm{AOP}}+\angle{\mathrm{POB}}) $$

삼각형의 외각은 삼각형 내부의 두 각의 크기의 합과 같음을 이용하면,

$$\displaystyle \angle{\mathrm{AOP}}=\pi-2\angle{\mathrm{APO}}, \qquad \qquad \angle{\mathrm{POB}}=\pi-2\angle{\mathrm{OPB}} $$

이상에서

$$\displaystyle \angle{\mathrm{AOB}}=2(\angle{\mathrm{APO}}+\angle{\mathrm{OPB}})=2 \angle{\mathrm{APB}} $$

가 됨을 알 수 있다.

2.3. 기타 성질

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• 지름에 대한 원주각의 크기는 직각이 된다. 이것은 성질 2를 이용하면, 지름의 경우 직선이고, 원의 중심을 통과하기 때문에 중심각은 $$\pi$$가 되므로, 원주각은 그 반은 직각이 되는 것이다. 아래의 그림을 참고하라:

• 한 원에서 같은 원주각을 가지는 두 현은 길이가 같다.
• 원주각 및 중심각은 대응하는 호의 길이에 비례한다.
  • 
    

상단의 그림을 해석기하학적으로 접근하면, 선분 $$\overline{\rm AB}$$를 그을 때 다음과 같은 관계를 도출할 수 있다:

$${\rm acrd}$$는 할선으로부터 그 중심각을 구하는 역할선 함수이며, $$\arcsin$$은 역사인 함수이다. $$\rm Log$$는 복소로그함수, $$i$$는 허수단위이다.

3. 응용

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3.1. 원에 내접하는 사각형

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위 그림과 같이 원에 내접하는 사각형 $$\mathrm{APBQ}$$를 고려하자. 이때, $$\theta$$와 $$\theta'$$는 호 $$\mathrm{AB}$$의 원주각이다. 따라서 두 원주각에 대한 중심각의 합은 $$2\pi$$가 되므로

$$\displaystyle \theta+\theta'=\pi $$

의 결론을 얻는데, 이는 '''원에 내접하는 사각형의 두 대각의 합은 $$\boldsymbol{\pi}$$가 됨'''을 보여준다.

위 그림과 같이 원에 내접하는 사각형 $$\mathrm{ABCD}$$과 이 사각형의 $$\angle {\mathrm{CAB}}$$의 외각 $$\angle {\mathrm{PAC}}$$를 고려하면

$$\displaystyle \angle {\mathrm{CAB}}=\pi-\angle {\mathrm{PAC}} $$

이때, 원에 내접하는 사각형의 두 대각의 합은 $$\pi$$가 됨을 증명했으므로

$$\displaystyle \begin{aligned} \angle{\mathrm{CDB}}&=\pi-\angle {\mathrm{CAB}} \\&=\pi-(\pi-\angle {\mathrm{PAC}}) \\&=\angle {\mathrm{PAC}} \end{aligned} $$

이 성립함을 알 수 있다. 이때, $$\angle{\mathrm{CDB}}$$를 $$\angle {\mathrm{PAC}}$$의 '''내대각'''이라 한다.
이상의 결과를 정리하면, '''원에 내접하는 사각형의 한 외각의 크기와 내대각의 크기는 서로 같음'''을 알 수 있고, 이 명제는 그 역도 성립함이 알려져있다.

3.2. 네 점이 한 원 위에 있을 조건

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그림과 같이 네 점 $$\rm A$$, $$\rm B$$, $$\rm C$$, $$\rm D$$가 한 원 위에 있으려면 다음 두 조건을 만족해야 한다.

• 두 점 $$\rm C$$, $$\rm D$$가 직선 $$\rm{AB}$$에 대하여 같은 쪽에 존재한다.
• $$\angle{\rm{ACB}}=\angle{\rm{ADB}}$$

3.3. 접선과 현이 이루는 각

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위 그림과 같이 원 외부의 점 $$\mathrm{P}$$에서 그은 원의 접선을 고려해보자. 이때, 해당 접선의 접점은 $$\mathrm{T}$$이다. 또, 접점을 지나는 한 현을 고려할 때, 이 현에 대한 호 $$\mathrm{AT}$$에 대한 원주각 $$\angle \mathrm{AQT}$$는 $$\angle \mathrm{PTA}$$와 같다. 즉,

$$\displaystyle \angle \mathrm{AQT}=\angle \mathrm{PTA} $$

가 성립한다.
이것의 증명은 아래와 같이 할 수 있다.

점 $$\mathrm{Q}$$를 $$\mathrm{Q'}$$으로 옮겨도 그 원주각은 같으므로

$$\displaystyle \angle \mathrm{AQT}=\angle \mathrm{AQ'T} $$

이때, $$\overline{\mathrm{TQ'}}$$이 원의 지름이라면, 지름에 대한 원주각 $$\angle \mathrm{TAQ'}=\pi/2$$임에 따라, $$\triangle \mathrm{TAQ'}$$은 직각삼각형임을 알 수 있다. 또한, 원의 지름과 접선은 수직으로 만남에 따라 $$\angle \mathrm{PTQ'}=\pi/2$$이다. 따라서 다음이 성립한다.

$$\displaystyle \pi-\left( \frac{\pi}{2}+\angle{\mathrm{AQ'T}} \right)=\frac{\pi}{2}-\angle \mathrm{AQT} $$

이상에서

$$\displaystyle \angle \mathrm{AQ'T}=\angle \mathrm{AQT}=\angle \mathrm{PTA} $$

임을 얻는다.
이러한 성질을 흔히 '''접현각 성질'''이라고 줄여 부른다.

3.4. 방멱 정리 (원과 비례)

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4. 기타

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• 현행 대한민국 교육과정에서는 중학교 3학년 2학기 후반부에 다루게 된다. 단원 특성 상 3년간 배웠던 기하학의 내용인 합동・닮음 등의 많은 내용들을 써먹어야 하기 때문에 3년 간 본인이 학습했던 기하학 실력을 알 수 있는 단원이며, 이에 많은 학생들이 어려워하는 단원이다.

5. 관련 문서

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• 수학 관련 정보
• 원(도형)
• 기하학