범주론
範疇論, 圏論[1]
Category Theory
1. 개요
수학 전반에서 등장하는 각종 수학적 구조와 그들간의 관계를 메타 개념으로 생각하여, 그들을 범주(Category)라는 추상적인 개념으로 묶어서 다루는 이론.
2. 내용
수학을 공부하다 보면 배우는 분야마다 해당 분야에서 관심이 있는 '특정 구조를 가지는 집합'들과 '그 집합들 사이의 대응관계'라는 비슷한 구조가 나타난다는 것을 알 것이다. 예를 들면, 군과 군 사이의 준동형 사상 혹은 동형 사상, 벡터 공간 사이의 선형 변환, 위상 공간 사이의 연속함수 등이 그러하다. 이러한 각 수학 분야들에서 나타나는 공통된 구조를 다시 한번 추상화시켜서 다룰 수 있지 않을까 하는 데에 착안해서 범주(Category)라는 개념이 처음으로 등장하게 된다.[2]
범주론에서 다루는 범주(Category)는 쉽게 말하면 아주 간단한 몇몇 조건을 만족하는 대상(Object)과 그 대상들 사이의 관계를 나타내는 사상(Morphism)의 모음인데, 이 대상과 사상은 그 조건만 만족하면 말 그대로 무엇이든 가능해서, 대상은 굳이 어떠한 집합일 필요가 없고 사상도 굳이 어떠한 함수일 필요도 없다. 물론 이렇게 정의된 범주들 사이의 대응관계도 생각해볼 수 있는데, 두 범주를 대응시키는 사상을 '함자(Functor)'라고 한다. 물론 이 범주들과 함자들을 또 하나의 범주로 보고(...) 범주의 범주를 정의할 수도 있다.
이렇듯 고도로 추상적인 분야이지만 기존 집합론이 한계를 보여줬던 많은 분야에서 범주론이 그 대안으로 인식되기 시작되면서 수학 전반에 걸쳐 사용되기 시작하고, 심지어는 컴퓨터 공학과 같은 응용 학문에서도 범주론을 끌어다 쓰기까지 한다. 대표적으로 하스켈이라는 프로그래밍 언어에서는 범주론에 등장하는 개념들이 아주 중요하게 사용된다.
3. 참고 서적
보통 이 분야의 창시자 중 한명인 Saunders Mac Lane이 집필한 《Categories for the working mathematician》이 스탠다드 교재로 평가받지만 제목에서 알 수 있듯이 업계 종사자(?)들을 주 타겟으로 쓰인 책이라 처음 카테고리 이론을 배우려는 학생들 눈높이와는 조금 괴리감이 있을 수 있다. 그 외에도 Lane의 제자인 Steve Awodey 의 《Category Theory》도 참고서로 종종 언급되는 편. 그리고 대학원 수준 대수학 교재에서는 한 소챕터나 부록 등에 간단한 카테고리 이론이 들어가 있는 경우도 많으니 참고하자. 예를 들면 대수학의 명저 중 하나인 Lang, Serge의 《Algebra》에서도 카테고리 이론 챕터가 나오는데, 정말 핵심적인 내용만 소개하고 넘어가지만 그것만으로도 평이 상당히 좋다(!).
다만 아예 이 쪽을 전공으로 하지 않는다면 굳이 카테고리 이론만 들입다 팔 필요는 없고, 다른 수학분야(주로 대수학)를 공부하면서 해당 개념이 등장할 때 관련 서적을 찾아서 개념을 보충하는 정도로 공부해서 이미지를 잡아가도 충분하다. 물론 대수기하학이나 호몰로지 대수와 같은 고도로 추상적인 분야를 공부하게 되면 반드시라고 해도 좋을 정도로 카테고리 이론의 철학이 끼어들어가니 공부하다 보면 언젠가는 부딛치게 되는 분야이다.
4. 관련 항목
[1] 권(圈)론. 주로 일본에서 쓰이는 명칭이다.[2] 실제로 1940년대에 새뮤얼 에일린버그와 손더스 맥클래인이라는 두 학자가 대수적 위상수학, 특히 호몰로지 이론을 연구하면서 이 개념을 떠올렸다고 한다.